平面解析几何讲义.docx
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1、平面解析几何讲义1 .直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角定义:当直线/与X轴相交时,我们取X轴作为基准,X轴正向与直线/向上方向之间所成的角叫做直线/的倾斜角;规定:当直线/与X轴平行或重合时,规定它的倾斜角为S范围:直线的倾斜角Cr的取值范围是0,11).直线的斜率定义:当直线/的倾斜角以名时,其倾斜角的正切值tan”叫做这条直线的斜率,斜率通常用小写字母A表示,即&=tan;斜率公式:经过两点小,对,P?/,力心喝的直线的斜率公式为A=总.2 .直线方程的五种形式名称几何条件方程适用条件点斜式过一点、斜率J-Jo=Ar(X-Xo)与X轴不垂直的直线斜截式纵截距、斜率y=kx+b两点式过两点J-
2、JlX-XiJ2-Jl-X2-Xl与两坐标轴均不垂直的宜线截距式纵、横截距a+b=1不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式Ax+By+C=Q(A2+B20)所有直线注:(1)求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在;每条直线都有倾斜角,但不一定每条直线都存在斜率.(2)根据斜率求倾斜角,一是要注意倾斜角的范围;二是要考虑正切函数的单调性.(3)截距为一个实数,既可以为正数,也可以为负数,还可以为0,这是解题时容易忽略的一点.3 .线段的中点坐标公式若点尸1,尸2的坐标分别为(处,y),(X2,九),线段P1P2的中点M的坐标为(By)9,此公式为线段PiPz的中点坐标公式.4 .两条直线的位置
3、关系两条直线平行与垂直两条直线平行:a.对于两条不重合的直线小2,若其斜率分别为肌、k29则有八,2-1=幻.b.当直线小/2不重合且斜率都不存在时,两条直线垂直:a.如果两条直线小/2的斜率存在,设为右、k19则有UbUh也=一1.b.当其中一条直线的斜率不存在,而另一条的斜率为。时,1Z2.两条直线的交点直线人Alx+B1y+C=()9l2iA2x+B2y+C2=(9则/1与,2的交点坐标就是方程的解.Ax+Bj+C=Oa2x+C2=O5 .几种距离两点P(x,Vl),P2(2,y2)之间的距离IPPzl=yxr-xiH-y-y点PO(X,yo)到直线/:4x+8y+C=0的距离d=;?一
4、yA2-rB2(3)两条平行线Ax+By+Ci=0与Ax+By+C2=O(其中C1C2)间的距离d=q-C2Ai+Bi*6 ,几个重要的结论(1)一般地,与直线AX+By+C=O平行的直线方程可设为Ar+By+/%=。;与之垂直的直线方程可设为B-Ay+n=().(2)过直线小4x+By+G=O与A2x+34+C2=0的交点的直线系方程为Ax+Bj+C+2(A2x+2j+C2)=0UR),但不包括Z2.(3):Ax+Bj+C=O,Z2:A2x+B2y+C2=则/i/2QA%-A23i=0,AiC2-A2Ci0.lA.l2AA27.圆的定义和圆的方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
5、方程标准式(工一a)2+。一)2=r2(r0)圆心C3,b)半径为r一般式x2+y2+Dx+Ey+F=0充要条件:O2f2-4F0圆心坐标:(一芋,一9半径r=D2+E2-4F8.点与圆的位置关系平面上的一点M(X,加)与圆C:(Xa)?+。-b)2=rz之间存在着下列关系:()drM在圆外,即(XO)2+(yo-)22qM在圆外;(2)d=r=f在圆上,即(XO-。尸+。-b)2=r2M在圆上;(3)dvr=M在圆内,即(XO+0。一bpVr2QAf在圆内.9 .直线与圆的位置关系(-a2+y-b2=29由L+&+C=O(1)设圆。:(X。/+。一。)2=户,直线AAx+By+C=0,圆心C
6、(,5)到直线/的距离为d,消去y(或X),得到关于x(或y)的一元二次方程,其判别式为4则直线与圆的位置关系如下表一_方法位置关系几何法代数法相交d0相切d=rA=O相离drJr9圆心距为心则两圆的位置关系可用下表来表示:位置关系外离外切相交内切内含几何特征dR+rd=R-rR-rdR+rd=R-rd0)上一点M(XO,yo)的切线方程为xox+w=r2;过圆x2+y2+Ey+尸=O(D2+加一4户0)外一点N(,b)引切线,有两条,求方程的方法是待定系数法,切点为万的切线长公式为INTl=NC2一3(其中C为圆C的圆心,为其半径).(3)求圆的弦长的常用方法几何法:设圆的半径为r,弦心距为
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