专题1阿波罗尼斯圆及其应用微点4阿波罗尼斯圆与圆锥曲线.docx

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1、专题1阿波罗尼斯圆及其应用微点4阿波罗尼斯圆与圆锥曲线专题1阿波罗尼斯圆及其应用微点4阿波罗尼斯圆与圆锥曲线【微点综述】有些涉及圆锥曲线与圆的综合题，其中已知条件含有阿波罗尼斯圆的背景，可以结合阿波罗尼斯圆以及圆锥曲线的几何性质解决问题.【典例刨析】221 .设双曲线看-点=1的左右两个焦点分别为A、F2,是双曲线上任意一点，过R的直线与NKP6的平分线垂直，垂足为Q,则点。的轨迹曲线E的方程；历在曲线E上，点48,0),3(5,6),则JAMl+忸Ml的最小值.【答案】X2+/=1635【分析】延长耳。与P6的延长线交于点M,计算OQ=PFi-PF2=4得到轨迹方程，取点C(2,0),1A+

2、BM=C+三BC,解得答案.【详解】如图所示：延长耳。与PK的延长线交于点M，则OQ=3m玛=Jpm一尸鸟)=；归4_2用=4,故轨迹方程为V+y2=16.取点C(2,0),则QM=QA-=5OC-AMOA故MC=IPA,AM+BM=MC+BMBC=36，当BMC共线时等号成立.故答案为：+=16;35【点睛】本题考查了轨迹方程,长度的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力，取点C(2,0)证明相似是解题的关键.(2022广东梅州.高二月考)2 .希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点4B的距离之比为定值2UHI)的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以

3、他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系XQy中，A(-2,l),6(-2,4),点尸是满足；I=；的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为一；若点Q为抛物线丁=4x上的动点，。在N轴上的射影为“，则IF+PQ+QM的最小值为.【答案】(x+2)2+=41#-1+加【分析】设点尸坐标，根据题意写出关于X与N的关系式化简即可；利用抛物线的定义可知IQM=IQ月一1,进而可得(IPAl+PQ+QM)mi=AF-,即得.【详解】设点P(,y),A=I,.PAJ(X+2)2+(kI)二,丽=5=6+2)2+(D2=/(x+2)2+2=4.抛物线的焦点为点尸,由题意知尸(LO),|

4、。Wl=IaI-1,(P4+P+QM)m=(M+PQ+QP7)niin=APT=231)rF7=M.故答窠为：(x+2p+y2=4;i-l.(2022安徽黄山一模)3 .在平面上给定相异两点A,8,设点尸在同一平面上且满足品二%,当几0且ll时，P点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆.现有双曲线5-g=lS(U0),耳分别为双曲线的左、右焦点，A,B为双曲线虚轴的上、下端点，动点P满足震=2,dRS面积的最大值为4 .点M,N在双曲线上，且关于原点。对称，。是双曲线上一点，直线。例和QN的斜率满足kQM%N=3,则双曲线方程是；过6的直线与双

5、曲线右支交于C,D两点(其中。点在第一象限)，设点M、N分别为CFlF2、的内心，则M的范围是.【答案】x2-=I竽)【分析】设AQbB(O,-b),PHy),根据需j=2,求得W+(y一争=9)2,结合.PAB的最大面积得到从=3,再根据QW%n=3,得出/-1.=1,设边CGCE,尸伤上的切点分别为RST,根据内心的性质，得到MNLx轴，设直线8的倾斜角为。，在中，得到IMNI=A进而求得|网的取值范围.【详解】设40,圾B(O,-b),P(xiy),由题意知需=2,可得归B=2,即&+()，+力)2=2+()2,整理得V+(y-m2=冷2,可得圆心为(0耳),半径二?,1 4bX?y所以

6、小钻的最大面积为77x2力xr=4,解得=3,即二+j=l,2 3a3设(x,y),M(X,y),则N(-xl,-),则4+E=l,可得犬=3(4丁：),同理,2=%=Ia3a-a则=言小=流则降%=寻3(a2 -X2) 3(2 -xi2)22acr_o22一 3X -X1整理得=】，所以双曲线的方程为炉q=L如图所示，设边C%CK,K鸟上的切点分别为KS,7,则M,r横坐标相等，则?I=ICSbI耳M=I耳r,内Sl=I耳r,由闭TA玛I=2,即ICRI+1跃I-(ICS|+|SEI)=2,即ImITSq=2,即国7-|玛刀=2,即点M的横坐标为为,则T（%,0）,于是为+C-(C-Xo)=

7、2,可得XD=1,同样内心N的横坐标也为1,则MNJ_X轴，设直线8的倾斜角为内则NOKN=NMKO=90gAMll-一在MF1N,MN=(c-)tan-+tan(90-)=(c-a)(1+卷).22sin+cos-2=()J。J=J)sincos22由双曲线的方程，可得=l,b=L则C=JT/=2,2可得IMNl=，sm6又由直线8为双曲线右支上的点，且渐近线的斜率为2=6,倾斜角为60,a万可得6（）99O,即N-5-25/2【点睛】关键点点睛：（i）问解题的关键是根据阿氏圆的定义，得“满足IMq=（2）问解题的关键是当过点M的圆的切线与直线小平行且离直线FC近时，MC+F取得最小值.（2

8、022湖北武汉新洲区城关高中高二开学考试）5,阿波罗尼斯（古希腊数学家，公元前262-190年）的著作圆锥曲线论是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（20,且女工1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.现有椭圆5+*4=1（。力0）,A,8为椭aIrMA圆的长轴端点，C,。为椭圆的短轴端点，动点/满足标=2,zMA8面积的最大值为6,AWCO面积的最小值为1,则椭圆的方程为【答案】+=92【分析】求得定点M的轨迹方程（X-手尸+丁=IL可得;2g=6,；x26x：a=l,解得。，b即得解.【

9、详解】设4（一。，0），83,0）,M（x,y）,动点M满足器=2,则J（X+/）2+y2=W（-a）2+y2,化简得*-，）2+y2=警zM4B面积的最大值为8,ZXMCQ面积的最小值为1,/.2=6,-2b-a=,解得/=,b=五,椭圆的方程为生+亡=192故答案为：+=l.92（2022河北衡水二中高二期中）|PQQ-BQ6.公元前三世纪，阿波罗尼斯在圆锥曲线论中明确给出了椭圆的一个基本性质:如图，过椭圆上任意一点P（不同于48）作长轴AB的垂线，垂足为。，则为常数匕若T，则该椭圆的离心率为【分析】设椭圆方程为AJ2F=1、P(X,y)并确定 4B 坐标，可得 I PQl=IylJAQl

10、=CHHlBQl=a-x,代入题设等式，结合椭圆参数的关系列方程求离心率即可.【详解】设椭圆方程为5+%=】且若尸(x,y),A(-。,0),8(4,0),则I?QI=IyI,IAQl=+x,8Q=-x,所以湍总11S?”而丁=宗（春），即=-2,7.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作圆锥曲线一书中.阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点用与两定点Q,尸的距离之比7才=4俱0,4工1）,义是一个常数，那么动点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线PQ上.己知动点”的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为V+/=%定点分别为椭圆U*=l（bO）的右焦点尸与右顶点A,且椭圆C的离心率为e=g（2022江苏高二单元测试）（2）如图，过右焦点尸斜率为左卜0）的直线/与椭圆C相交于8,D（点8在X轴上方），点S,T是椭圆C上异于B,。的两点，SF平分ABSD，TF平分NBTr.求扁的取值范围；将点S、F、T看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若aSF7外接圆的面积为蜉，求O直线/的方程.【答案】