专题19计数原理与二项式定理（解析版）.docx

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1、专题19计数原理与二项式定理一、知识速览二、考点速览知识点1两个计数原理1、分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案.在第1类方案中有旭种不同的方法，在笫2类方案中有种不同的方法，完成这件事共有N=m+n种不同的方法。2、分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤.做第1步有，种不同的方法，做第2步有种不同的方法，完成这件事共有N=%种不同的方法。3、两个计数原理的综合应用如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理.如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理.知识点2排列与

2、组合1、排列与排列数(1)定义：从个不同元素中取出m(m)个元素排成一列，叫做从个不同元素中取出6个元素的一个排列.从个不同元素中取出m(m)个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出用个元素的排列数，用符号M表示.(2)排列数的公式：=w(w-1)(w-2)(-wl)=-.n-ny.特例：当M=H时,=!=11(w-1)(w-2)321；规定：0!=1.(3)排列数的性质：4；=吮小M=J-止=一心;然=m一n-mn-m2、组合与组合数(1)定义：从个不同元素中取出?(m)个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出加个元素的一个组合.从个不同元素中取出次(相个元素的所有组合的个数，叫做从个不

3、同元素中取出用个元素的组合数，用符号C：表示.(2)组合数公式及其推导求从个不同元素中取出加个元素的排列数，可以按以下两步来考虑：第一步，先求出从这个不同元素中取出M个元素的组合数C：；第二步，求每一个组合中m个元素的全排列数；根据分步计数原理，得到4：=Cr4因此CJ翌/()(2)(+1).A：m这里，加M,且m*这个公式叫做组合数公式.因为M=7,所以组合数公式还可表示为：特例：c=c1nvn-my.注意：组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法！在以后学习排列组合的混合问题时，一般都是按先取后排(先组合后排列)的顺序解决问题.公式c；=(T)52)(-切+1)常用于具体数字计算,mC：=

4、一片二常用于含字母算式的化简或证明.m(n-m)(3)组合数的主要性质：C：=CL；C：+C；M=C2.3、排列和组合的区别(1)组合：取出的元素地位平等，没有不同去向和分工.(2)排列：取出的元素地位不同，去向、分工或职位不同.【注意】排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置数目问题，它们之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题.排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排列组合综合问题的基本思维是“先组合，后排列”.知识点3二项式定理1、二项式定理(1)二项式定理：(a+b)n=Can+11rt+Cna

5、n-rhr+q,Zw(wr)，通项公式：T=Crnan-rbr,表示展开式的第+1项：，(3)二项式系数：系数C：(r=0,1,2,，)叫做二项式系数，(4)两个常用的二项展开式：(-b)n=Can-Cnan-lb+(-l)rCnanr+(-l)n)(l+x)=l+C%+CM+C+x2、二项式展开式中的最值问题(1)二项式系数的性质：每一行两端都是I,即c：=c：；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即CM=CA设笫厂+1项系数最大，应有；“一，从而解出，来.R3、二项展开式中的系数和问题（1）二项式系数和令=）=1,则二项式系数的和为C）+C+C+q+禺=2”，变形式C+c；+c;+q=2

6、-.（2）奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令=l,b=-1,贝IJdY+C：Y.+（-rq=（i-r=o,从而得到：C：+Q+C：+Cf+=C：+C；+。；川+=；-2=2”.（3）若f（x）=anxn+aa_1xn,+an,2xn2+a1x+a0,则常数项：令X=0,得%=（0）各项系数和：令x=l,得/=+q+/+%+%.一、求解排列应用问题的六种常用方法1、直接法：把符合条件的排列数直接列式计算；2、优先法：优先安排特殊元素或特殊位置；3、捆绑法：相隔问题把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列；4、插空法：不相邻问题，先考虑不受限

7、制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中；5、定序问题除法处理：对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列6、间接法：正难则反、等价转化的方法【典例11（2023上贵州贵阳高三校联考阶段练习）贵州省首届“美丽乡村”篮球联赛总决赛在黔东南苗族侗族自治州台江县台盘村开赛.该联赛由台盘村“六月六”吃新节篮球赛发展演变而来，被网友称为“村BA”.村BA给全国人民展现的不仅是贵州人热爱生活的精神，更展现了如今欣欣向荣的贵州山水人文，同时给贵州的旅游带来巨大的收益.2023年8月20日晚上村BA西南大区赛总决赛落下帷幕，为庆祝比赛顺利结束，主办方设置一场扣篮表演，分别由

8、重庆、贵州、四川、云南代表队每队各选出2名球员参加扣篮表演，贵州队作为东道主，扣篮表演必须在第一位及最后一位，那么一共有（）种表演顺序.A.A；B.C；A：C.A；A：D.A；A：【答案】C【解析】由题意易知，一共有8个人需要排列.先确定贵州两名球员的顺序为A；,在确定其余6人顺序为A3由分步乘法原理可得一共有A；A：种顺序.故选：C.【典例2】（2023上重庆高三重庆一中校考阶段练习）现有4男3女共7个人排成一排照相，其中三个女生不全相邻的排法种数为（）A.A；A；B.A；-A；A；C.A：A；D.A；-A；【答案】B【解析】7个人全排列诚去3个女生全部相邻的情形，即A；-A；A；,故选：B

9、.【典例3】（2022上贵州贵阳高三贵阳一中校考阶段练习）高三年级某班组织元旦晚会，共准备了甲、乙、丙、丁、戊五个节目，出场时要求甲、乙、丙三个节目顺序为“甲、乙、丙”或“丙、乙、甲”（可以不相邻）,则这样的出场排序有（）A.24种B.40种C.60种D.84种【答案】B【解析】五个元素的全排列数为A；,由于要求甲、乙、丙在排列中顺序为“甲、乙、丙”或“丙、乙、甲”2种排法，所以满足条件的排法有年x2=40.故选：B.【典例4】（2023湖南永州统考一模）为全面推进乡村振兴，永州市举办了“村晚兴乡村”活动，晚会有走,去永州扬鞭催马运粮忙数幸福乡村振兴唱起来四个节目，若要对这四个节目进行排序，要

10、求数幸福与乡村振兴唱起来相邻，则不同的排列种数为（用数字作答）.【答案】12【解析】由于数幸福与乡村振兴唱起来相邻，所以两者“捆绑”，则不同的排列种数为=12种.【典例5】（2023上上海高三延安中学校考期中）从甲、乙等5人中任选3人参加三个不同项目的比赛，要求每个项目都有人参加，则甲、乙中至少有1人入选的不同参赛方案共有种.【答案】54【解析】若甲、乙等5人中任选3人参加三个不同项目的比赛，共有A；=60种不同参赛方案.若没有甲、乙入选的不同参赛方案共有A；=6种，所以甲、乙中至少有1人入选的不同参赛方案共有60-6=54种.二、组合问题的常见类型与处理方法（1）含有或不含有”某些元素的组合

11、题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取.（2）“至少”或“至多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解.【典例1】（2023上河北邢台高三校联考期中）现有红色、黄色、蓝色的小球各4个，每个小球上都标有不同的编号.从中任取3个小球，若这3个小球颜色不全相同，且至少有一个红色小球，不同取法有（A.160种B.220种C.256种D.472种【答案】A【解析】若取出的球中有1个红球，不同的取法有C；c；=112种；若取出的球中有2个红球，不同的取法有C：C；=48种.故不同取法有112+48=160种.故选：A.【典

12、例2】（2023云南高三校联考模拟预测）2023年的五一劳动节是疫情后的第一个小长假，公司筹备优秀员工假期免费旅游.除常见的五个旅游热门地北京、上海、广州、深圳、成都外，淄博烧烤火爆全国，则甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数共有（）A.1800B.1080C.720D.360【答案】B【解析】恰有2个部门所选的旅游地相同，第步，先将选相同的2个部门取出，有C：=6种；第二步，从6个旅游地中选出3个排序，有A：=120种，根据分步计数原理可得，方法有6x120=720种；4个部门所选的旅游地都不相同的方法有A：=360种，根据分类加法计数原理得，甲、乙、丙、丁四个部

13、门至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数共有720+360=1080种.故选：B三、分组分配问题的解题思路分组、分配问题是排列组合的综合问题，解题思想是先分组后分配（1）分组问题属于“组合”问题，常见的分组方法有三种：完全均匀分组，每组元素的个数都相等；部分均匀分组，应注意不要重复；完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象.（2）分配问题属于“排列”问题，常见的分配方法有三种：相同元素的分配问题，常用“挡板法不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组，后分配；有限制条件的分配问题，采用分类求解.【典例1】（2023上江苏常州高三统考期中）将5本不同的书分发给4位同学，其中甲、乙两本书不

14、能同时发给某一位同学，每位同学都发到书，每本书只能给一位同学，则不同的分配方案数为（用数字作答）【答案】216【解析】5本书送4人，每位同学都发到书，每本书只能给位同学，共有240种方案，甲乙两本书同时发给某一个同学，每位同学都发到书，每本书只能给一位同学,则剩余3本书分别给3位同学，有A：=24种方案，综上，不同的分配方案数为240-24=216种.【典例2】（2023上广东广州高三空港实验中学校考期中）将甲、乙、丙、丁四人安排到篮球与演讲比赛现场进行任务工作，每个比赛现场需要两人，则甲、乙安排在一起的概率为.【答案】;【解析】将四人分成两人两组共有裳=3种,再安排四人到篮球与演讲比赛现场进行服务工作有3xA；=6种，又甲、乙安排在一起共有C；A；=2种，所以甲、乙安排在一起的概率为尸=9=：.63【典例3】（2023上安徽高三宿城一中校联考阶段练习）某高校开设了乒乓球，羽毛球，篮球，