专题12.1概率、条件概率与全概率公式【解析版】.docx

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1、专题12.1概率、条件概率与全概率公式【核心素养】1 .考查简单排列组合计算及古典概率的计算，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养.2.结合独立性考查条件概率的计算，凸显数学运算及数学应用的核心素养.知识点一）样本空间和随机事件（1）样本点和有限样本空间样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，常用3表示.全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用。表示.有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果31,32,，11,则称样本空间Q=al,2,sn为有限样本空间.（2）随机事件定义：将样本空间。的子集称为随机事件，简称事件.表示：大写字母A,B,C,.随机事件的极端情形：必然事件、不可能事

2、件.知识点二事件的关系和运算含义符号表示包含若事件4发生，则事件8一定发生B三A（或46）相等事件B包含事件A,事件A也包含事件8A=B并事件（和事件）事件A与事件B至少有一个发生4UB（或4+3）交事件（积事件）事件4与事件8同时发生ACiB（或AB）互斥（互不相容）事件4与事件8不能同时发生ACB=0互为对立事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生AUB=f且力3=0知识点三古典概型（1）具有以下特征的试验叫做古典概型实验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.有限性：样本空间的样本点只有有限个:等可能性：每个样本点发生的可能性相签.(2)古典概型的概率公式一般地，设试验E是古典

3、概型，样木空间0包含个样本点，事件4包含其中的h个样本点，则定义事件力的概率尸(N)=K=她.nn()其中，和(。)分别表示事件A和样本空间。包含的样本点个数.知识点四概率的基本性质性质1：对任意的事件/,都有PQ)20.性质2：必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(O)=I,尸(=0.性质3：如果事件/与事件8互斥，那么P(AUB)=P（八）+P(B).性质4：如果事件4与事件8互为对立事件，那么48)=1PQ),PL4)=1-P(B).性质5：如果那么PQ)WP(B).特别地，对任意事件力，因为。口力与。，所以OWP(X)WL性质6：设力，8是一个随机试验中的两个事件，我们有PQ

4、UBI=P（八）+P(B)-P(4GB).显然，性质3是性质6的特殊情况.知识点五事件的独立性(1)两个事件相互独立的定义：对任意两个事件A与B,如果P(AB)=P（八）P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.必然事件。，不可能事件。都与任意事件相互独立.(2)相互独立的性质：如果事件A与B相互独立，那么A与B,A与B,A与B也都相互独立.知识点六频率与概率(I)频率的稳定性一般地，随着试验次数的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件力发生的频率工(4)会逐渐稳定王事件/发生的概率Pa),我们称频率的这个性质为频率的稳定性.(2)频率稳定性的作用：可以用频率以力)估计概率P（八）

5、.知识点七条件概率1 .条件概率定义一般地，当事件3发生的概率大于0时(即尸(8)0),已知事件里发生的条件下事件4发生的概率，称为事件概率表示P(AB)计算。(4|8)=?C0,公式2 .条件概率的性质(1)O0,/-1,2,，n.则对0中的任意事件从都有8=8+12+-+84,且P(8)=p(84)=p(4)P(5|4).知识点九)贝叶斯公式(1)一般地，当0VP(I)Vl且P(8)0时，有P(B)_PQ)Zw)P（八）P(BlA)+P(A)P(BA)(2)定理2若样本空间。中的事件4,42，4满足：任意两个事件均互斥，即&=0,i,/=1,2，的*4+心+.+4=0；1尸(4)0，/=1

6、,2则对0中的任意概率非零的事件8,有*ImP(4)P(B14)(4)尸(8同)r(Afljtf)n.P(B)y(4)P(84)【拓展】贝叶斯公式充分体现了P(AlB)fP（八）,P(B),P(BA)tP(BA)f尸(力5)之间的转化.即尸(4|8)=口她,P(B)P(AB)=P(AB)P(B)=P(BA)P（八）fP(8)=P(4)P(5J)+P(I)P(8|彳)之间的内在联系.常考题型弱析/题型一：有限样本空间【典例分析】例11.(2022上高二校考单元测试)有下列事件：连续掷一枚硬币两次，两次都出现正面朝上；异性电荷相互吸引；在标准大气压下，水在1。C结冰；买了注彩票就得了特等奖.其中是

7、随机事件的有()A.B.C.D.【答案】B【分析】根据事件的知识求得正确答案.【详解】是随机事件，为必然事件，为不可能事件.故选：B例12.(2023上上海闵行高二校考期末)将一颗骰子先后抛掷2次，记向上的点数分别为。和6,设事件/：“+6是3的倍数，事件8：“+b=8,事件C3和b均为偶数写出该试验的一个等可能的样本空间,并求事件A发生的概率；求事件B与事件C至少有一个发生的概率.【答案】样本空间Q见解析，a力)=；(2)11.36【分析】(1)列举法写出样本空间C，占典概型的概率求法求事件力发生的概率;（2）列举由犷件8+C的基本小件（d6）,即Ur求犷件4与多件C至少有个发生的概率.【详

8、解】（1）如下表格，行表示明列表示6,a+h123456123456723456783456789456789105678910116789101112由表格知：样本空间中基本事件(明力有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6

9、,5),(6,6),共有36种；事件A的基本事件(%b)有(1,2),(1,5),(2,1),(2,4),(3,3),(3,6),(4,2),(4,5),(5,1),(5,4),(6,3),(6,6),共有12种；121所以PP)=S=9363(2)事件8的基本事件SM有(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),共有5种;事件C的基本事件()有(2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(4,4),(4,6),(6,2),(6,4),(6,6),共有9种;所以，事件5+C的基本事件本方)有(2,2),(2,4),(2,6),(3,5),(4,2),(4,4),(5,3),

10、(4,6),(6,2),(6,4),(6,6),共有11种，所以尸(8+C)=J.36【总结提升】确定样本空间的方法(1)必须明确事件发生的条件.(2)根据题意，按一定的次序列出问题的答案.特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏.【变式训练】变式11.（2023上新疆高二八一中学校考阶段练习）对掷一粒骰子的试验，在概率论中把“出现零点称为（）A.样本空间B.必然事件C.不可能事件D.随机事件【答案】C【分析】列出试验中的样本点数，即可求解.【详解】解：对掷一粒骰子的试验，出现的点数分别为：1,2,3,4,5,6,所以在掷一枚骰子的试验中，出现零点是不可能事件，故选

11、：C.变式12.（2023上河南信阳高二潢川一中校考阶段练习）同时掷两枚硬币，“向上的面都是正面为事件A,“向上的面至少有一枚是正面为事件3,则有（）(1) A=BB.C.AcBD.A与8之间没有关系【答案】C【分析】根据题意，结合列举法求得事件A和货件6,进而得到两中件的关系，得到答案.【详解】山同时抛掷两枚硬币，基本事件的空间为。=（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）,其中事件/=（正，正），事件8=（正，正），（正，反），（反，正）,所以jUB.故选：C.题型二：随机事件的关系与运算【典例分析】例21./=两次出现的点数相同,事件8=两次出现的点数之和为4,事件C=两次出现的点

12、数之差的绝对值为4,事件。二两次出现的点数之和为6.用样本点表示事件CCO,AkjBx若事件E=（l,3）,（1,5）,（2,2）,（2,6）,（3,1）,（5,1）,（6,2）,则事件E与已知事件是什么运算关系？【答案】Crw=（1,5）,（5,1）,4U8=（1,1）,（1,3）,（2,2）,（3,1）,（3,3）,（4,4）,（5,5）,（6,6）（2）E=5UC【分析】（1）由随机事件，求出样本点，然后求解即可；（2）由事件E,结合已知事件4、B、C。求解即可.【详解】由题意得，事件4=（1,1），（2,2）,（3,3）,（4,4）,（5,5）,（6,6）,骅件5=(1,3),(2,2

13、),(3,1),事件C=(l,5),(2,6),(5,l,(6,2),事件O=(l,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,l).则CnO=(1,5),(5,1),JB=(1,1),(1,3),(2,2),(3,1),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)；(2)由(1)知，事件8=(1,3),(2,2),(3,1),C=(1,5),(2,6),(5,1),(6,2),因为E=5),(2,2),(2,6),(3,1),(5,1),(6,2),所以E=BUC.例22.(2023全国高一随堂练习)设某人向一个目标连续射击3次，用事件4表示随机事件“笫，次射击命中目标”(i=l,2,3),指出下列事件的含义：4八4；4cJ2c4；(3) AluA2;4c,c4.【答案】答案见解析；答案见解析；答案见解析；答案见解析.【分析】(1)根据事件交的定义说明；(2)根据事件的交与补的定义说明；(3)根据事件并与补的定义说明；(4)根据事件补与交的定义说明.【详解】(1)4c4表示