一轮复习学案2.3函数的奇偶性与周期性.docx

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1、2.3函数的奇偶性与周期性必备知识预案自诊知识梳理1 .函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数正)的定义域内任意一个X,都有Ax)是偶函数,那么函数关于称对行函如果对于函数Ar)的定义域内任意一个X,都有一_,那么函数关于_一对数AX)是奇函数称2 .函数的周期性(1)周期函数:r为函数Ar)的一个周期,则需满足条件:7和;对定义域内的任意X都成立.(2)最小正周期:如果在周期函数危)的所有周期中存在一个,那么这个.就叫做段)的最小正周期.(3)周期不唯一:若T是函数y=於)(X七R)的个周期,则T(7Z,且和)也是函数/(X)的周期,即於+Q=於).常用结论1 .函数奇偶性的五个重

2、要结论如果个奇函数兀V)在X=O处有定义,即/(O)有意义,那么i定有型)=0.(2)如果函数兀V)是偶函数,那么x)=(W).(3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.(4)在公共定义域内有:奇土奇=奇,偶土偶=偶,奇X奇=偶,偶X偶=偶,奇X偶=奇.(5)只有/x)=0(定义域是关于原点对称的非空数集)既是奇函数又是偶函数.2 .周期性的三个常用结论对凡0定义域内任一自变量的值力为非零常数)：若/(x+)=(x),则T-2a若J(xU)=土卷则T=2c(3)若y(x+Q)Mx-b),则T=a+h.3 .对称性的四个常用结论若函数y=(

3、x+)是偶函数,即Aa-X)可(+x),则函数y=(x)的图象关于直线xa对根若对于R上的任意X都有H2-)=()或/(-x)=%+x),则y=(x)的图象关于直线x=对称.(3)若函数y=_/0+)是奇函数,即H-X+8)+於+3=0,则函数y=(x)的图象关于点g,0)中心对称；(4)若丁习对任意的R,都有人-x)=(力+x),则函数y=(x)的图象关于直线X=手对称;都有(-x)=(x),即x)+Ar)=A则函数)，守5)的图象关于点X2-M时J(XI)习(X2)；若/(%)在区间(州,+8)上单调递减,则当IM制2-M时J(Xl)勺(X2).考点自诊1 .判断下列结论是否正确,正确的画

4、“”,错误的画“X”.(1)函数y=x2在区间(0,+8)内是偶函数.()(2)偶函数的图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.()(3)若函数y=(x-2)是偶函数,则函数y=(x)的图象关于直线x=2对称.()(4)如果函数/W,g(x)是定义域相同的偶函数,那么Fa)=U)+g(x)是偶函数.()(5)已知函数y=(x)是定义在R上的偶函数,若/尤)在(。,0)上单调递减,则火X)在(0,+8)上单调递增.()(6)若T为产加)的一个周期,则仃5Z)是函数於)的周期.()2 .已知於)是定义在R上的奇函数,当QO时於)=Hnx+若氏e)=4,则旭)+川)=()A.-lB.0C.-2D.

5、13 .(2019全国2,文6)设Kt)为奇函数,且当x0时於)二口1,则当XVO时於)=()AepB.ej+1C.-er-lD.-er+l4.(2020全国2,文10)设函数段)=P*,则火幻()A.是奇函数,且在(0,+8)单调递增B.是奇函数,且在(0,+8)单调递减C.是偶函数,且在(0,+8)单调递增D.是偶函数,且在(0,+8)单调递减25.(2020江苏,7)已知yx)是奇函数,当x0时lU)=婚,则1-8)的值是.关键能力学案突破考函数奇偶性点的判断【例1】判断下列函数的奇偶性：(1次T)Klga+E);CS、f22Ia)，(2)J(x)=2W+2x-l(x0时lW=xlnx,

6、则x0时曲)=()A,xlnXB.xln(-x)C.-xlnXD.-xln(-x)(2)已知函数Tu)=-岛(aR)为奇函数,则U)=()A-B-C-D-03332(3)(2020湖南师大附中一模,理13)己知函数yW=ov-log2(2x+l)+cosx(R)为偶函数,则K考点函数的周期性的应用13(1)(2018全国2,理11)已知/W是定义域为(-8,+8)的奇函数,满足川田二川+外，若M)=2,则,/(l)+A2)+(3)+/(50)=()A.-50B.0C.2D.50(2)(2020江西名校大联考,理13)已知函数M4则K5+log26)的值为.解题心得利用函数的周期性,可将其他区间

7、上的求值、求零点个数、求解析式等问题,转化为已知区间上的相应问题,再进行求解.对点训练3(1)(2020陕西西安中学八模,理8)已知函数Kr)定义域为R且满足/(-X)=处)x)=(2f),若式1)=4,则/(6)t(7)=()A.-8B.-4C.0D.4(2)(2020陕西二模,文6)设函数/U)是定义在R上的周期为2的奇函数,当OvXVl时j=4,则/(-，+42019)=()A.-2B.2C.4D.6考点函数的对称性例4已知函数兀V)(XWR)满足(-x)=2W,若函数y=号与y=(x)的图象的交点为m(xJl)G2J2),(Jm),则(Xi+jr)=()Z=IA.0BtmC.2mDAi

8、n逗I你知道的函数的对称性的结论有哪些？解题心得函数对称性的判断与应用(1)对定义域的要求:无论是轴对称还是中心对称,均要求函数的定义域要关于对称轴或对称中心对称.(2)轴对称的等价描述:/(4-x)=(+x)=MX)的图象关于直线x=a轴对称(当。=0时,恰好就是偶函数);/(x)=S+x)=(x)的图象关于直线X=竽轴对称;U+)是偶函数,则J(x+a)力(-x+),进而可得到人幻的图象关于直线x=a轴对称.(3)中心对称的等价描述:f)=(+x)uU)的图象关于点(,0)中心对称(当a=0时,恰好就是奇函数);/加x)=()+x)u(x)的图象关于点(竽,0)中心对称;领什。)是奇函数,

9、则J(x+a)=-J-x+a)M而可得到/(x)的图象关于点3,0)中心对称.对点训练4已知定义在R上的奇函数府)满足AjI)=2,且在区间0,2上单调递增.若方程火X)=?(心0)在区间-8,8上有四个不同的根XlU2“3网则Xi+x2+x3+x4=.善函数性质的综点合应用例5(1)(2020江西名校大联考,理9)已知奇函数兀0在R上是增函数,g(x)=犷.若=g(log24.1)力=g(-202),c=gE),则a,b,c的大小关系为()A.abcB.cbaC.bacD.bca(2)(2020安徽合肥一中模拟,理5)已知函数於)的图象为-1,1上连续不断的曲线,且20。M=-Jr%W在0,

10、1上单调递减若/(log?/0的解集为()A.(-8,l)B.(-8,JC.(g,+8)D.(l,+)愎圄解有关函数的单调性、奇偶性、周期性综合问题的策略有哪些？解题心得函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性结合.注意奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反.(2)周期性与奇偶性结合.此类问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行转换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的定义域内求解.(3)周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间,再利用奇偶性和单调性求解.对点训练5(1)(2020河南开封三模,文12,理

11、11)若函数Kr)对WR,同时满足当+b=0时有0时有。)47(6)0,则称/(1)为C函数.下列函数:/(x)=x-sinxef,x=0,y(x)=ex-e-r,(g)/(x)=er+e-A；(3Mx)=1Tn是。函数的为()-5A.B.C.D.(2)(2020河北张家口二模,文6,理6)已知函数段)是偶函数(x+l)为奇函数,并且当x1,2时(x)=-M2,则下列选项正确的是()A(x)在(-3,-2)上为减函数,且Kr)0BJ(X)在(-3,-2)上为减函数,且於)ODr)在(-3,-2)上为增函数,且Ar)0要点归纳小结1 .正确理解在函数和偶函数的定义,必须把握好两个关键点：(1)“定义域关于原点对称”是“函数人)为奇的数或偶函数”的必要不充分条件;(2(-x)=次X)或/(-x)Mx)是定义域上的恒等式.2 .在函数、偶