论线性规划在求解最值中的应用.docx

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1、论线性规划在求解最值中的应用泰州技师学院余安娜在高中数学的学习过程中，求解最值是一大重点和难点，也是每年高考的一大热点，题型和方法多种多样。而利用线性规划求解最值也是我们常运用的一种较简单的手段，它需要学生建立数形结合，转化与化归的思想，而且还能体现学生的综合分析能力，逻辑思维能力以及解决实际问题的能力，故本文就对利用线性规划求解最值问题进行浅析。（题型一）求与目标函数有关的最值问题：当目标函数的关系式如z=ax:+b），+c（人工0）时，可把目标函数变形为y=+二,则目标函数表示斜率为-J在），轴上的截距为的bbbb直线/,然后通过平移y=-0寻找最优解.一般步骤如下：（1）作出可b行域；（

2、2）平移目标函数的直线系，根据截距求出最优解.y2x例1.已知实数x、y满足y-2x则求目标函数Z=-2y的最小值.x3【解析】画出满足不等式组的可行域如下图:x=3目标函数化为：y=-z,画直线y=白及其平行线，可知当此直线经过点A时，一z的值最大，Z的值最小，解方程组二2X得到A点的坐标为(3,6),所以，Z的最小值为：3-2X6=-90(题型二)求比值的最值问题：当目标函数形如Z=二艺时，可把Z看作是动点M(X,y)与定点Nm向连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为MN连线斜率的最值。x-y-20,例2设实数第y满足x+2y-420,则求z=的最大值.Y2y-3【解析】画出不等式组所确定

3、的平面区域如下图，x-y-2=O2y-3=O夕J2N产6ZB+2)4=Xx-0Z=2=匕2表示两点May),O(W)确定的直线的斜率，要求Z的最大值，即求可行域内的点与原点连线的斜率的最大值.由上图可以看出直线OA的斜率最大，故M为x+2y-4=0与2y-3=0的交点，即力点.故z=的最大值为J2)X2(题型三)求与距离有关的最值问题：当目标函数形如Z=(X-a+(y-b)2时,可把Z看作是定点M(C1力)与动点、NEy)距离的平方，这样目标函数的最值就转化为MN距离平方的最值。x-+2O,例3.已知x+y-420,求Z=X2+y2-i25的最小值.2x-y-50,【解析】作出可行域如下图:x

4、+v-4=0-5并求出顶点的坐标A(1.3),8(3,1),C(7,9),fz=x2+y2-10y+25=x2+(y-5)2表示定点M(0,5)到可行域内任一点N(X,y)的距离的平方，过定点M作直线AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，故Z的最小值是W)2号(题型四)求与截距有关的最值问题：x+y0例4.不等式组卜-y0表示的平面区域面积为81,求V+y的最小值.x05)故当=1.5,)，=0.5时，心州=960X1.5+420X0.5=1650即水稻种1.5亩，花生种0.5亩时所得到利润最大为1650元。利用线性规划思想去理解高中数学中一些求最值问题，实际上是对数形结合思想的提升，是从一个新的角度对求最值问题的理解，对于学生最优化思想的形成是非常有益的。