7.4三角函数应用（五大题型）.docx

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1、7.4三角函数应用课程标准学习目标（1）数学抽象：实际问题抽象为三角函数模型问题；（2）数据分析：分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模（3）数学建模：体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学建模思想，提高学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力.（1）会用三角函数解决一些简单的实际问题.（2）体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.知识点Ol函数y=Asin（5+G）（A0M0）中，A9,0的物理意义1、简谐运动的振幅就是A.2、简谐运动的周期T=四.3、简谐运动的频率/=L=乌.T24、的十称为相位.5、X=O时的相位称为初相.【即学即练1】已知正弦

2、交流电i（单位：A）与时间，（单位：S）的函数关系为i=220sin（100R+?）,求电流的峰值、周期、频率和初相位.解析】正弦交流电i=220Sin（IOom+：电流i的峰值是220,周期是T=T=2,频率是74=6卷=50，初相位是O知识点02三角函数模型的应用三角函数作为描述现实世界中周期现象的种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用.实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要使用信息技术.1、三角函数模型应用的步骤（1）建模问题步骤：审读题意一建立三角函数式一根据题意求出某点的三角函数值一解决实际问题.(2)建立数学模型的关键，先根据

3、题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数式.2、三角函数应用题的三种模式(1)给定呈周期变化规律的三角函数模型，根据所给模型，结合三角函数的性质，解决一些实际问题.(2)给定呈周期变化的图象，利用待定系数法求出函数模型，再解决其他问题.(3)整理一个实际问题的调查数据，根据数据作出散点图，通过拟合函数图象，求出可以近似表示变化规律的函数模型，进一步用函数模型来解决问题.3、三角函数模型应用注意点(1)一般地，所求出的函数模型只能近似地刻画实际情况，因此应特别注意自变量的取值范围.(2)应用数学知识解决实际问题时，应注意从背景中提取基本的数学关系，并利用相关知识来理解.【

4、即学即练2】(2023湖南高一校联考期中)筒车是我国古代发明的种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用.明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了筒车的工作原理.如图是一个半径为6m的筒车，筒车转轮的中心到水面的距离为3m,每2分钟逆时针匀速旋转一圈.筒车上的一个盛水筒P(视为质点)从水中浮现(图中点A)时开始记时.建立如图平面直角坐标系，将P到水面距离y(m)表示为时间，(s)的函数y=/(，)，则f(t)=.【答案】6sinf-z-+3(r0)V606)【解析】由题意周期7=2x60=120秒，所以角速度/=2=义(rads),12060当经过时间f秒。0),质点户从A运动到如

5、图M所在位置，如图，此时NMoA=0=W/,60因为水车半径OA=6米，水车中心离水面距离AC=3米，所以ZAoC=二，ZOB=-Z-,6606所以P到水面距离y=6sin(力-g+AC=6sinj力-当+3,Vo0o)VoUo)即/(f)=6sin-4+3(re),故答案为：6sin(gf-+3(，20)VoO6)题型一：三角函数模型在物理学中的应用例1.(2023重庆统考模拟预测)己知某弹簧振子的位移(单位：Cm)与时间单位：S)满足y=Asn(ct+)0),初始时将弹簧振子下压至MCm后松开，经过测量发现弹簧振子每IOS往复振动5次，则在第45s时，弹簧振子的位移是cm.【答案】4即0

6、= -5 + 2AZ,【解析】由题意，且最小正周期T=*2J吟=2,故。r所以y=4sin(+e),且4sin9=-4,不妨令3=-，故y=4sin（-）=-4CoSf,当E=45,则y=-4cos45=4.故答案为：4例2.（2023广东揭阳高三统考期末）如图，一台发电机产生的电流是正弦式电流，即电压U（单位：V）和时间1（单位：s）满足U=311sin（m+e）（0O,网V?.在一个周期内，电压的绝对值超过空的时间为.（答案用分数表示）.喀案】s【解析】由已知T=O.02,0=盘=IOo,*=0,0.02t/=31lsin（l（Xto）.在区间0,002内，令311Sin（IOoM=?,1

7、00Eq或100加/,，曰151口I得.=,r,=：1 6002600120同理令311Sin（IO0）=-芋，可得4=焉，f4=羔.综上，电压的绝对值超过”的时间为2x（工-人=右（s）.2 112UOlHJ）/J故答案为：s.例3.（2023北京西城高一北京师大附中校考期中）从本质上来讲，声音实际上是一种简谐振动产生的机械波，也称声波.声音两个最主要的要素：响度和音调，分别由振动的振幅和频率刻画.其中最基本的声波就是简谐振动所产生的正弦波.纯音是以某个固定频率进行简谐振动所产生的声波，且纯音的函数可以表示为：y=Asin（2x）f其中A0,ty（）,则这个函数的频率/为（写出表达式即可）（

8、注：频率是周期的倒数）一般说的d。，re,mi,fa,SO,la,Si又是什么呢？这些唱名是音调的一种记法，音调P与频率f之间的关系为了=440x2管已知标准音Ia（也是纯音）的音调为。=69,那么标准音Ia对应的函数中口=.已知标准音do和标准音Ia的频率比为3:5,那么标准音do的音调为.（取lg2=0.30,g3=0.48,结果精确到小数点后两位）.【答案】-(Ar0)44Ok(k0)k【解析】一知I：最小正周期r=3=L,故周期为&(k0),故/=(&*0),269-69当夕=69时，=4402-i-=440，则0=4f=44O2因为标准音do的频率和标准音Ia的频率比为3:5,所以标

9、准音do的频率为440=264,设标准音do的音调为自，.A-69则440x2F=264,解得:p,-69 Ig3-lg512 lg2pl 60.20解得# =匹 + 2Jbr,女Z,故/(f) = 100sin 6故答案为：0),44(MZH0),K变式1.(2023高一课时练习)电流/（八）随时间仆)变化的函数=Asin(d+e)(A0,o0)的图象如图所示，则，二高S时的电流为.【答案】O（八）【解析】由函数的图象可得A=Io0,且至xg=L，故G=100乃，(O2300I(X)而,岛卜通故嘿+联2KeZ,100z+-6故答案为：0（八）.变式2.(2023上海嘉定高一上海市嘉定区第一中

10、学校考期中)如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在，秒时相对于平衡位置(即静止时的位置)的高度人厘米满足下列关系：=2sin+,0,+),则每秒钟小球能振动次.【答案】42【解析】函数力=2Sin(/+,0,0)的周期丁=2万，故频率为所以每秒钟小球能振动，-次.2故答案为：-.2变式3.（2023高一课时练习）如果音叉发出的声波可以用函数/（x）=0.001sin420G描述，那么音叉声波的频率是【答案】210【解析】由题可得音叉声波的周期为了二/一二二7,所以音叉声波的频率为f=2=210420;F210/故答案为:210.【方法技巧与总结】处理物理学问题的策略（I）常涉及的物理学问题有单摆

11、、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性.（2）明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题.题型二：三角函数模型的实际应用例4.（2023全国高一随堂练习）某地为发展旅游业，在旅游手册中给出了当地一年每个月的月平均气温表，根据图中提供的数据，试用y=Asin（w+p）+b近似地拟合出月平均气温y（单位：C）与时间，（单位：月）的函数关系，并求出其周期和振幅，以及气温达到最大值和最小值的时间.（答案不唯一）【解析】不妨设A0m0,由图象可知Z=I时，ymin=15,当f=8时，Jinax=27,结合图象可知A=275=6,T=

12、2(8-l)=14=-=y,b=21,又当f=8时，y=6sin（x8+9）+21=27=Sin与+*=1=e=一招+2（AwZ）,-T-UA9兀不妨令9=-77，故y=6sin（夕-碧）+21,周期为14,振幅为6,1月取得最小值15,8月取得最大值27.例5.（2023全国高一随堂练习）某昆虫种群数量1月1日低到700只，其数量随着时间变化逐渐增加,到当年7月1日高达900只，其数量在这两个值之间按正弦曲线规律改变.（1）求出这种昆虫种群数量y（单位：只）关于时间f（单位：月）的函数解析式；（2）画出这个函数的图象.【解析】(1)设y=Asin(+e)+(AO,tyO),由题意90 ,解得

13、 A = K)O-A+ 6 = 7006 = 800,且解得,又因为当1=1时，y=Asin(d+e)+b,(A0,30)取最小值,所以Zl+9=二+2k,kZ,gp=-+2k,kZ,62311J=-y,所以y=100sin修T)+800;(2)列表:t014710122t632T2024Ty8OO-5O37008009008008OO-5O3作出函数图象如下：例6.(2023全国高随堂练习)北京天安门广场的国旗每天是在日出时随太阳升起，在日落时降旗.请根据年鉴或其他参考资料，统计过去一年不同日期的日出和日落时间.(1)在同一直角坐标系中，以日期为横轴，画出散点图，并用曲线去拟合这些数据，同时

14、找到函数模型；(2)某同学准备在五一长假时去看升旗，他应当几点到达天安门广场？【解析】(1)日期1月1日2月1日3月IIl4J105月I日6月1日日出时间6:506:406:306:206:106:05日落时间5:305:405:506:006:057:00日期7月1日8月1日9月IH10月1日11月1日12月1日日出时间6:006:106:206:306:406:5011落时间7:107:006:506:406:3()6:20散点图如下:该图象近似看作正弦型函数的模型.(2)从所得表格可以看出，在五月份的时候，日出时间在6：10,而天安门升旗时间是日出的时候，所以某同学想看升旗的话，应该在6：10前到达天安门广场.变式4.(2023高一课时练习)如图，某动物种群数量在某年1月1日低至700,7月1日高至900,其总量在此两值之间呈正弦型曲线变化.(1)求出种群数量y关于时间，的函数表达式；(其中f以年初以来的月份为计量单位，如1月用f=0表示)(2)估计当年3