6流体力学动力学规律都具有伽利略变换的不变性.docx

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1、流体力学动力学规律都具有伽利略变换的不变性对称性的研究在物理学中占有十分重要的地位，并已成为认识物质形体构造及其相互作用规律的基础。在物理学的研究中，基本物理规律（方程）所包含的对称性起着非常重要的作用。对称性分两大类：一类是时空对称性，它们是与描述物理事件的时空坐标变换（例如时空坐标的平移和Lorent变换）相联系的；另一类对称性是内部对称性。在场论中，它们是与不改变时空坐标的场的变换相联系的。这种变换称为内部空间的变换，物理学中的变换构成变换群。物理规律的对称性归结为基本方程在这些变换群下的不变性。现代物理的一个基本要求是描述自然规律的数学形式应与坐标系的选择无关,称为广义相对性原理或广义

2、协变原理，协变一词的含义是协调变化，如果一个物理规律的表达式（方程）在某种变化的前后保持其形式不变，则我们称物理规律对于这种变换是协变的，或者说具有某种协变性。我们知道，凡是能用张量形式表述的自然规律的数学表达式必然与坐标系的选择无关，这正是张量的重要作用。而这里的协变性与协变矢量、协变张量没有任何关联。在场论中可以对不同时空点的场作独立的变换，相应的群元素是时空坐标的函数，这种变换称为定域规范变换，常简称为规范变换。物理定律（方程）在定域变换下不变，我们就称为定律具有规范不变性。当物理规律（方程）在定域规范变换下没有不变性或者说在对物理规律（方程）进行定域规范变换时，物理规律（方程）发生变化

3、，不再具有不变性。为了保证描写的物理规律（方程）在某种对称变换下具有不变性，引入一个或一些新场，则可以恢复其规范不变性。这些场被称为规范场。亦即规范变换不是随意的，而是由被变换的物质体系的各种性质决定的，这些变换所遵循的规则使全体变换构成了一个规范场的规范群。为了得到在某种变换下保持不变的物理规律理论要求存在一种规范场，所谓规范场就是传递相互作用的场，不同的规范场传递不同的相互作用。不难看出，一个物理规律（方程）的对称性与其协变性、规范不变的关系是统一的,对称性是最根本的,共同的。规范不变和协变性是对称性的具体体现，协变性是一种对称性，规范不变性也是一种对称性，它们既有相同点又有不同点，一个物

4、理规律同时可以有多种对称性，如规范不变性和协变性。SU（N）变换首先是协变的，然后满足规范不变的，广义相对论既满足协变性又满足某种规范不变性。爱因斯坦认为：当我们的知识之圆扩大之时，我们所面临的未知的圆周也一样。我认为只有大胆的臆测（主观地推测、猜测、凭想象揣测），而不是事实的积累，才能引领我们往前迈进。流体力学有一些基本假设，基本假设以方程的形式表示。例如，在三维的不可压缩流体中，质量守恒的假设的方程如下:在任意封闭曲面（例如球体）中，由曲面进入封闭曲面内的质量速率，需和由曲面离开封闭曲面内的质量速率相等。(换句话说，曲面内的质量为定值,曲面外的质量也是定值)以上方程可以用曲面上的积分式表示

5、。流体力学假设所有流体满足以下的假设:质量守恒、动量守恒、连续体假设，在流体力学中常会假设流体是不可压缩流体,也就是流体的密度为一定值。液体可以算是不可压缩流体，气体则不是。有时也会假设流体的黏度为零，此时流体即为非粘性流体。气体常常可视为非粘性流体。若流体黏度不为零，而且流体被容器包围(如管子)，则在边界处流体的速度为零。一.连续性方程(质量守恒)的推导连续性方程可由四种方法得到，分别为拉格朗日法下对有限体积和体积元应用质量守恒定律、在欧拉法下对有限体积应用质量守恒定律及在直角坐标系中直接应用质量守恒定律。1.1L法有限体积分析取体积为7,质量为加的一定流体质点团，则有：tn=2、=0=-f

6、pd=f-d+fp-7=O(1)JrDtDfLDILDtJTDl因为速度散度的物理意义是相对体积膨胀率及密度随体导数，即：divv=-Jr(2)dDtW=氾十优氾十，氾+w氾=氾+WpDttxyzt代入式(1)得-7+p-r=(+vVp)+pdivv)fr=+div(pv)Jr=O(4)运用奥高定理JJJ(-=udydz+vdzdx+wdxdy=JjS(ucosa+vcos+vvcos)dS(5)=JJsMdS=JJsXdS得(华+div(pv)tr=Td+pvndS=O(6)上式即是连续性方程的积分形式。假定被积函数连续，而且体积7是任意选取的，由此可知被积函数必须等于零，即：+pdivv=

7、O+p=O(7)DtDtx1或空+div(6)=0o久+血=0(8)ttxi在直角坐标系中连续性方程为：字+华。+%必+且”=o(9)txyzrDp.uvwx/、或一=+)(10)Dtxyz连续性方程(10)表明，密度变化(随时间和位置)等于密度和体积变形的乘积。1.2L法体积元分析考虑质量为向2的体积元对其用拉格朗日观点，根据质量守恒定律有：O 。万 )=Jr 公 + (pJr D一Dz2Dr O ) Pn O-D/两边同除以0d,得-J-2dr+-2=0(13)dDtpDt或写成divu+=0(14)pDt上式表明要维持质量守恒定律，相对体积变化率必须等于负的相对密度变化率。1.3E法有限

8、体积分析着眼坐标空间，取空间中以S面为界的有限体积r,则称S面为控制面，T为控制体。取外法线方向为法线的正方向，为外法线方向的单位矢量。考虑该体积内流体质量的变化,该变化主要以下两方面原因引起。第一，通过表面S有流体流出或流入，单位时间内流出-奥高公式r(15)流入变化的总和为：p,ldS=npvdS=div(pv)Jr第二，由于密度场的不定常性(注意，欧拉观点下空间点是固定的，密度的变化只由场的不定常性刻画)，单位时间内体积工的质量将变化，变化量为：-f组ZZ(16)Jrt上述两者应相等，即JdiV(PU)d=-19苓d(17)由于体积了是任意的，且被积函数连续，则纵+div(0u)=O(1

9、8)1.4E法直角坐标系分析单位时间内通过表面EFGH的通量为:pudydz通过表面ABCD的通量为：(pu),.pu+-dxdydz_x_其他三对表面类似，另外，该控制体内质量的变化率为：-dxdydzt则+)+)+)三0(txyz特殊情况下的连续性方程：(1) 定常态：=O=div(pv)=Ot(2) 不可压缩流体：=0=divv=ODt下面将写出它在曲线坐标下的形式.因为据”一驷四+%回+典”中(20)HH3S(PW”2”3)I 8(。岭3乜)+ 3(夕匕两的3(21)H1H2H3两q2将(21)式代入矍=，(j*r)=j(与+山口()卜=O得到曲线坐标下连续性方程的形式为：3j1PSK

10、H/3)I式夕岭4吊)I附2)O(22)tHIH2&两q2q3二.欧拉方程的推导1755年，瑞士数学家L欧拉在流体运动的一般原理一书中首先提出这个方程。形如：xy00P国IyST)+01孙=fM(1)的方程称为欧拉方程，其中p,“2,P为常数。欧拉方程的特点是：方程中各项未知函数导数的阶数与其乘积因子自变量的某次相同。瑞士的欧拉采用了连续介质的概念，把静力学中压力的概念推广到运动流体中，建立了欧拉方程，正确地用微分方程组描述了无粘流体的运动。流体静力学着重研究流体在外力作用下处于平衡状态的规律及其在工程实际中的应用。以地球作为惯性参考坐标系，当流体相对于惯性坐标系静止时或当流体相对于非惯性参考

11、坐标系静止时，称流体处于静止状态，两者都表现不出黏性作用，即切向应力都等于零。所以，流体静力学中所得的结论，无论对实际流体还是理想流体都是适用的。流体静压强的特性1静压强的方向一沿作用面的内法线方向由上图可以推到出流体平衡微分方程式，即欧拉平衡方程P fxdpxdpSyP fzdpz当流体处于平衡状态时，单位体积质量力在某一轴向上的分力，与压强沿该轴的递增率相平衡。这里的fx、fyfz是流体质量力在X、y、Z轴上的投影，且质量力中包含以下两项：重力和惯性力。在这里如果假定fx、fy、fz仅仅是重力在三个坐标轴上的投影，那么惯性力在x、y、Z轴上的投影分别为:-dudt,-dv/dt和-dw/d

12、t。于是，上式便可写成xSPSySPz上式整理后可得:du1dpJx-d/poxdv_1dpd7=fypdw1dpT=J27-drpz将加速度展开成欧拉表达式ulluu1dpU+V+IV=f-tx3yzpxvvvv1dp一+U+VW=f-txzjypSyww1dp+U+V+W=f.-tx6zpz-+(vV)v=fVp-=-=-=O用矢量表示为P,对于恒定流动dtdt%,称为流动欧拉运动微分方程式。三.欧拉方程具有伽利略变换的不变性”对称是美的化身”。李政道教授认为：“物理定律一定是对称的，失去的对称性应该到物理真空中去找”。这足以说明，对称性是物理学中广泛存在的一种美的属性。对称性既是爱因斯坦

13、科学研究的一种方法论原则，又是他科学创造的一个美学思想。在理想流体力学中动力学基本方程是欧拉方程：+(vV)v=G-VP(1)P+-Vv2-Vx(Vxv)=G-VP2P下面证明欧拉方程在惯性坐标系变换下的协变性:在方程(1)中G、p、P、t是不变量，可直接变换为G、P、P、1；V变换v_3(v+u)_v,为v+u。其中u是常矢，故记一Ot一f(vV)v=(v,+u)V(vr+u)=(v,+u)Vv,再考虑算符V=ig+jg+kg的坐标变换，单位矢i、j、k都是不变量，可oxyz用KKkZ代入,y、Z用y、Z代入。但=7=Md(X渭)=(i)M，CXOXxCXxOXOX当算符所作用场量为压强P时

14、，t与X可认为是独立坐标，从而=0,=P=V,P,xxx,当算符作用于场量V时，t与X是相关的，=vt,从而Z=(IJL)乌tdtxVxx,/.V=(1)i，+j,+k,=V=Vzi,(2)vvx,y,zvxx匕+Sr将(2)式代入vV=(v,+u)V=(v,+u)(V,i,-)=vzV,+uV,-(v,+u)-v,x+Ux,v,x+Ux,=v,V,+uV,-M-=v,V,x,欧拉方程最终变换为：+(v/V,)v,=G,-7V,o可见欧拉方程在X系中的tP形式与在X系中形式完全相同。欧拉方程在惯性坐标系变换下协变是意料中的，因为欧拉方程是牛顿运动定律在流体力学中的表达，而牛顿运动定律对伽利略变换是协变的，故对欧拉方程自然也协变。四.纳斯斯托克斯方程(N-S方程)在所