6弹性势能的外势能不具有伽利略变换的不变性.docx
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1、弹性势能的外势能不具有伽利略变换的不变性摘要:分析了关于外势能的弹性势能机械能守恒定律满足力学相对性原理,也具有单独的协变性,弹性势能不具有伽利略不变性,解决了关于这个问题的争论.关键词:轻质弹簧;伽利略不变性;力学相对性原理;机械能守恒中图分类号:0313.1文献标识码:A参考文献118都有这样一个题目:一质量为7的小球与一劲度系数为人的轻质弹簧相连组成一体系,置于光滑水平桌面上,弹簧的另一端与固定墙面相连,小球做一维自由振动.试问在一沿此弹簧长度方向以速度相对于作匀速运动的参考系里观察,此体系的机械能是否守恒,并说明理由.小球与弹簧组成弹簧振子体系,所以小球的机械能就是弹簧振子体系的机械能
2、(因为弹簧质量为0,没有质量代表没有能量,与实验中的弹簧不一致.);在这里的研究对象只有一个质点(不能认为是一个准多体动力模型),在弹簧振子中的势能是一种特殊形式的势能,由于不考虑弹簧的质量,因此可以类比场能(在经典力学里场不考虑质量,可以不用考虑场一一轻质弹簧的能量,例如质点在重力场中运动我们只考虑质点的势能,没有考虑重力场的能量,在弹簧振子问题中是振子的弹性势能,不是弹簧的弹性势能.这和实验中的弹簧不一样,实验中的弹簧都有质量,也具有弹性势能,这是理解这个问题的关键点所在.).在某种意义上可以和重力场类比,只不过这里可以吸引和排斥,力的强度与位移成正比.我们研究重力场质点的运动时,我们并没
3、有把地球对于重力场的作用力和重力场对于质点的作用力说成是两个力,类似地在单摆问题中我们并没有把悬挂点对于摆线的作用力和摆线对于摆锤的作用力看成是两个力,在这个问题中约束力和保守力是同一个力,笔者认为单摆的摆线(也认为质量为0)可以认为是劲度系数充分大的弹簧.本题假设地球质量为充分大,忽略地球能量的变化,按照外场计算,此时一个保守力的功等于质点势能的减少.牛顿力学建立之初,物理学还没有引入场的概念,不过今天来看,近似看做是一种场是最合适的表达,此时不用考虑场的质量.弹簧固定在墙上,墙对弹簧的约束反力是被动力,依赖弹力而存在,不可单独考虑墙壁的作用力,弹力是稳定的周期力,振动的弹簧小球系统是一个稳
4、定态系统,不能误认为是显含时间的力(朗道的书力学中说,在惯性参考系中自由运动的质点,由于时间和空间的均匀性和各向同性,表征它所用的拉格朗日函数不显含时间和广义坐标和速度的方向).在物理中,稳态和静态还不同,例如重力场是静态场,在本题中的弹力场是稳态场.对于力场不随时间改变的稳定力场来说,等时路径积分与随体积分是相等的,所以势函数的定义就没有积分的等时间性要求,甚至也没有根据质点实际的动力学随体计算的要求,完全可以随轨迹以任何速度计算积分,结果都一样,并且为简单起见,势能的零点位置应该固定不变.我们当初定义弹簧的劲度系数的时候,利用一端受力,另一端虽然受力但是我们当作固定端不予考虑,所以在本题中
5、如果再单独计算墙对于弹簧做功就重复了,才出现了机械能不守恒的错误.如果考虑墙对于弹簧所做的功,显然可以测量出小车相对于墙的运动速度,这与力学相对性原理(不可能借助在惯性系中所做的力学实验来确定该参考系做匀速直线运动的速度)是不符合的.解:(地球的质量视为充分大,从而稳定地保持为惯性系)在水平面上受稳定约束的弹簧振子运动模型,实质上是一个与距离r成正比有心力作用下质点的运动问题.在地面参照系上观察时,小球的平衡位置为坐标原点,以水平向右的直线以为X轴,建立直线坐标系如图1所示.墙4JC11LJ(.LICCr光滑水平地面图1弹簧振动握子机械能守恒问题新解当仁O时刻,将小球向右拉至最大振幅并放手,使
6、之做简谐振动,则小球的位移为:x=Acos(),其中2=km,k=m1.设小球的速度为。,加速度为m受到的力为f动能为EQ),势能为当,机械能为戊力则有:dxdu(1)v=一=-sin(),a=一=-2Acos(),f=ma=-m2Acos(t)=-kx.drdrEk(O=mv2=m-Asin()2=m2A2sin2(t)=M2sin2().2222dEp()=*dx=kxdx=d(g&dEPa)=;kx1+C.将初始条件UO时,AA,Ep(O)M2,代入上式得:-M2=Ep(O)=-JlA2+C,C=0,Ep(r)=-kx2+C=-kx2+O=-M2cos2().(2)22222Ea)=EP
7、(D+瓦=;M2cos2()+;M2sin2()=;乂2=常数.(3)设地面参照系和沿此弹簧长度方向以速度作匀速运动的参考系(设为小车,见图1)刚开始相对运动时完全重合,开始相对运动后,当仁0时刻,将小球向右拉至最大振幅并放手,使之做简谐振动.从上面的计算可以看出,在弹簧振子中弹性势能本质上是小球的势能,不是弹簧的弹性势能,很多人误认为是弹簧的弹性势能,也是造成这个问题讨论多年出现失误的原因,文献114坚持错误认为是弹簧的弹性势能,才设计出所谓的反证法的实例.实验中的弹簧具有势能是因为具有质量,与弹簧振子中的弹簧有着本质的区别.Ep=12=1mc022,如果这样表达弹性势能,就可以看出弹性势能
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