6力的保守性具有伽利略变换的不变性.docx

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1、力的保守性具有伽利略变换的不变性摘要：通过数学推导验证了保守力经过伽利略变换后仍然是保守力，加深了对“力是伽利略变换的不变量”的理解，广义相对论的成果之一在于证明了惯性力都是保守力。关镇词：保守力；显含时间的力场；相对性原理；伽利略变换不变性：惯性力中图分类号：0313.1文献标识码：A一、问题的提出伽利略在反驳地心说的支持者提出的问题时提出了力学相对性原理，他的相对性原理是一种朴素性的表达，即并没有体系性的概念支撑。伽利略之后，惠更斯把相对性原理作为基本假设之一研究了碰撞问题。在伽利略和惠更斯的工作基础上，牛顿基于绝对空间概念以及他的力学基本定律把相对性原理处理为一个推论，即第五推论。18世

2、纪40、50年代，参照框架随着运动的代数化表征方式的发展被引入。进而，基于时间参量的绝对性，同一物理过程在两个相互作匀速直线运动的参照框架中对应的物理参量之间的变换关系被给出。此变换关系今天被称为伽利略变换。同时，欧拉认识到动力学方程的形式（主要指牛顿第二定律）在伽利略变换下具有不变性。到这里,经典力学中与相对性原理有关的知识框架是基本形成。另外，欧拉否定了绝对运动，但保留了绝对空间与绝对时间。19世纪中后期，路德维希朗格受到卡尔诺伊曼工作的启发，基于自由质点的概念对惯性定律进行了重新表述，提出惯性时间标度和惯性参照系的概念。因而，作为参照者的绝对空间被取消了，而力学定律被认为对于所有的惯性参

3、照系都成立。1904年彭加勒把相对性原理表述为物理学基本原理之一。另一方面，面对力学相对性原理与电磁理论的矛盾，基于坚持相对性原理的普遍有效性，并假定光速不变性，爱因斯坦建立了新的理论框架，得到了与相对性原理对应的新的惯性系之间的变换关系：洛伦兹变换。更进一步，在处理引力理论时，通过广义相对性原理以及等效原理，爱因斯坦解决了引力问题。可以说，无论是经典力学还是相对论，处理相对性运动问题的核心原理都是相对性原理。而要使得原理得以实施则需要变换不变量或绝对量作为不同参照框架的共同基础。在经典力学里，这个不变量是同时的绝对性或称为绝对时间。相对论中的变换不变量则是光速，它的物理基础是电磁理论。从对称

4、的角度看，相对性原理是最重要的对称性原理之一。一般认为相对性原理体现的是时空对称性，在经典力学与狭义相对论中，伽利略变换和洛伦兹变换关涉的是整体对称性，而在广义相对论中，对称性只在局域成立，因而相应的变换是局域性变换或无穷小变换。相对性原理给予我们一个启示，那就是也许我们永远不知道什么才是物理世界的真正规律，但或许可以肯定的是，理论的形式必不依赖于研究者所选取的参照框架间的相对运动。现在的力学教材都是利用环路积分为O定义保守力的，文献18指出如果力的保守性可随参照系而变，那么在不同的惯性系中做关于某力的保守性的物理实验，将可根据该力在一惯性系中做功是否与路径有关,从而判断该惯性系相对施加该力的

5、作为另一惯性系的物体是否在运动一一这是相对性原理不能允许的。力是伽利略变换的不变量就不成立了，经典力学理论本身就出现了矛盾。二、正确理解保守力与显含时间的力显含时间力场的定义：对于力F=F(r,t),如果时间t不能通过恒等变换消去，只能表示为位置和时间的二元函数，或者说力F对于时间的偏导数不恒等于0,那么力F就是一个显含时间的力场或者说是一个不稳定场。定理1：稳定场都是保守力场证明：对于稳定场F=F(r)而言，F=F(r)都是连续函数，黎曼可积，假设U(r)=F(r),质点从A点沿任意路径从A点到B点，再从B点到A点环绕一周，力F对该质点所做的功为RA0F(r).dr=j(r)d+jF(r)0

6、=U(B)-U（八）+U（八）-U(B)=O,因此稳定场都是保守AB力场。对于非稳定场环路积分一定不等于0,可以把保守力的定义简化为：只与空间位置有关的力。静电场是保守力场，动电场、磁场是非保守力场。广义能量守恒要求的不显含时间和拉氏量不与时间有关是完全不同的。能量守恒往往是普遍的，因为拉氏量通常是在稳定约束下写出的，也就是系统建立在稳定约束之上。但是每个拉氏量的广义坐标，因为彼此的独立性，本身只是一个与时间有关的函数。但是这不意味着拉氏量就必须显含时间，如果拉氏量不显含时间，固定系统在某一时刻的位形，也即广义坐标，同时给定广义速度不变，那么平移时间坐标，也就是说6L=O,这就是时间平移不变。

7、三、力的保守性具有伽利略变换的不变性定理2：在两个相对匀速运动的惯性系。、0,中，如果。系中力/是保守力，那么在。系中该力f也是保守力。证明：设0时刻惯性系。、。完全重合，且。/系相对于。系以正常数的匀速开始运动。设/时刻，质量为的质点在惯性系。的位矢、速度、加速度、受的力、做的功中分别为：r,vfa,/,w,在。系中分别为：R,V,A,尸，W,则据微分运算有R=r-uttV=v-u,A=-O=a,F=nA=ma=f(1)dR=Vdt=vdt-udt=dr-udtr,(2)dW=F6R=f(dr-udt)=fdr-unadt=dw-nudv=dw-md(u),(3)WwuvJdW=JdZo-d

8、(p),W=w-muv+muvQ,(4)OOMV0由dv=adt和dr=vdt知，W=w-nuv+muvo=w(t)-muq(t)+muva=(t)f(5)由于R=r-ut=r(t)-Ut=(t)(6)是关于时间t的连续函数，质点在任何时刻的速度都是唯一存在的，因此R=O(t)也是可导函数，如果该函数出现常值函数区间，质点静止，受到的力是0,不是显含时间的力，下面不研究这个区间，去掉该常值函数区间，该函数的极值点可以把它划分为若干个单调区间，设D是该函数的任意一个单调区间,根据反函数的定义在该区间上存在反函数I二eYR),在区间D上聆Ja)=Z(另是位置的函数，对时间的偏导数等于0,尸是保守力

9、。由于在任意单调区间上成立，所以该结论在任何位置都成立，尸=寸是0/系中的保守力。另证：F(r)=Ei(R-ut),由于R=ruZN+uL(t)是关于时间I的连续函数，质点在任何时刻的速度都是唯一存在的，因此R=(t)是可导函数，如果该函数出现常值函数区间，质点做匀速直线运动，受到的力是恒力，不是显含时间的力，下面不研究这个区间，去掉该常值函数区间，该函数的极值点可以把它划分为若干个单调区间，设D是该函数的任意一个单调区间，根据反函数的定义在该区间上存在反函数Ld)I(R),所以F(r)=R(R-Ul)=Fi(R-ul(R)=F2(R)(7)仍然是位置的一元函数，对时间的偏导数等于0,不是显含

10、时间的力。有些文献仅仅从F*(r)=件(R-ut)出发得出显含时间的力，其实经过数学变换可以消去时间3力经过伽利略变换后仍然可以表示为位置的函数，此时只能说是隐含时间的一元函数，文献9的观点是错误的。力的保守性具有伽利略变换的不变性，才具有科学美。济慈所说：“凡想象为美的东西必然是真实的一一不管它以前是否存在”。韦尔也说过：“我的工作总是力求把真和美统一起来，但是当我必须两者选一时，我通常选择美J不要认为在力的解析式中有时间变量就认为一定是显含时间的力场，必须分析一下能否消去变量,表示为位置的一元函数，例如当把弹簧振子固定在地面上时，在地面系观察弹力F=-kx=-k-kAsin（3加6）,但不

11、是显含时间的力场，否则地面系机械能也不守恒。22只要力不是显含时间的力，场也不是显含时间的力场。从分析力学角度来看，只要所研究系统的拉格朗日函数和哈密顿函数不显含时间，系统的机械能一定守恒，与矢量力学的结论完全一致，因为根据Gf）dr可知只有力场显含时间，势能才能显含时间，从而机械能显含时间。力场显含时间是指场的坐标含有时间参量t，是指质点的坐标，含有时间参量I是必然的，通过坐标变换可以完全消去，不叫做显含时间。由于牛顿力学适用于绝对时空，因此场或者力的坐标必须是相对于力源静止坐标系里的坐标（因此力是伽利略变换的不变量包括力场的性质不变），质点坐标是观察者坐标系里的坐标，这一点和相对论不同，在

12、相对论中场的坐标和质点坐标都是观察者坐标系里的坐标，伽利略变换和洛伦兹变换在这一点上是有区别的，不能仅仅看做是洛伦兹变换的低速近似，伽利略变换只研究质点坐标，不研究场（或者力）的坐标。朗道的书力学中说，在惯性参考系中自由运动的质点，由于时间和空间的均匀性和各向同性，表征它所用的拉格朗日函数不显含时间和广义坐标和速度的方向。四、几个实例的具体分析保守力利用环路积分为O定义，注意这里的环路积分是对于同一个坐标系而言，而不是同一个参照系。参照系和坐标系有时是相同的，有时可以不同。例如在一个相对于地面匀速运动的传送带上放一块小木块，小木块在滑动摩擦力的作用下，从皮带的A点向后运动到B点，然后和皮带一起

13、运动一段距离，在某一个时刻皮带突然停止，小木块由于惯性向前运动,在滑动摩擦力的作用下从B点运动到A点，如果以皮带为参照系，小木块受到摩擦力的环路积分为0,滑动摩擦力成为了保守力。可是小木块的动能不变，内能增加，能量守恒定律不成立。在这里问题的症结在于皮带这个参照系其实代表两个惯性系，开始时相对于地面匀速运动，后来相对于地面静止，其实对于其中任何一个惯性系小木块都没有形成环路。在这里参照系和惯性系不是一回事，这个问题搞不明白，容易出错，把耗散力变成保守力，也可以把保守力变成非保守力，文献10就是出现类似错误。下面以简谐振动为例说明一下这个情况一一假设弹簧振子固定在地面上，小车相对于地面的速度为u

14、,取简化假设k=l,u=l,m=l,A二乃/2,=i在地面上看小球的坐标随时间变化是（r）=2si11r（8）小车上看小球的坐标的变化是x(f)=ISinrT(9)小球往程出发时(t=0)的坐标是X(0)=x(0)=0,那么在地面上看，从(8)式显然可见，在时间0t兀/2中，小球的坐标X随着时间I增加，直至t=兀/2,X(t)达到最大值2o在小车上看，从(9)式容易证明，在时间0tarccos(2/T)内x随着时间t增加，直至t=arccos(2/冗)，此时x(t)达到最大值XmaX=sin(arccos(2/)-arccos(2/)(10)然后x(t)随着时间减小，至时间t=n2,达到x=0

15、,即回到出发点。两者比较，由于arccos(2n)n2,所以在小车上看小球达到(4)式所表示的最大坐标XMJ时，地面上看小球还未达到它的振幅呢！而当在小车上看，小球已经从最大坐标值回到出发点x=0时(t=兀/2),地面上的观察者看到小球正好第一次达到它的振幅。所以，在小车上看，小球在时间0到/2内完成了一个往返。力的往返路径积分是KmIX0Ql=J彘程,为c+J程,*(11)0*2这等式的等号右边两个积分的被积力函数/往程(/)和九程(x)有不同的函数形式。因为f=-kx=Z()=-(x,+r),将此式代入式(1D得Xnm02=(X+r)公+(x+t)dx(12)0。两个积分的被积函数中的f项可以互相抵消，但是/作为T的函数f(x)是函数f(t)的反函数，在f的区间(0,Vmax)和(xmax,0)中的表示式是不同的，分别记为%(x,)和“(V),它们不能相互抵消，所以Qz不是零。具体计算就是：从(11)出发。注意到在(11)中，积分的自变量是x,其往程和返程的转折点在XW由(10)式表示。现在做变量代换xy=-ut,往程和返程的转折点就要用XB所对应的X和，来表示了。上面式(9)和式(10)之间的文字已经说明，往程和返程的时间转折点是arcos(2/),而根据得此时X达到x(f)=Sinf=sin(arccos(2/