数列求和的各种方法.docx

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1、效列求和的方法教学目标1 .熟练掌握等差、等比数列的前项和公式.2 .掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法.3 .能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题.教学内容知识梳理1.求数列的前项和的方法(1)公式法等差数列的前项和公式S-幽山=W+也必22等比数列的前项和公式(I)当q=l时，Slt=M;(11)当产1时，S尸乳=守.-qIq常见的数列的前n项和：1+2+3+n=心包,1+3+5+(2n-l)=22122232+n2=M+D(2D,13+2s+33+/=型刊T等6L2_(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，

2、再求解.(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾假设干项.(4)倒序相加法这是推导等差数列前项和时所用的方法，将一个数列倒过来排序，如果原数列相加时，假设有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，那么这样的数列可用倒序相加法求和.(5)错位相减法这是推导等比数列的前项和公式时所用的方法，主要用于求m4的前项和，其中斯和儿分别是等差数列和等比数列.(6)并项求和法一个数列的前项和中，可两两结合求解，那么称之为并项求和.形如知=(Iy力I)类型，可采用两项合并求解.例如，Sn=1002-992+982-972+22-l2=(100+99)+(98+97)+(2+1)=5050.2

3、.常见的裂项公式,八1而产一布；就VMh(3)(2n-lX2n+l)=T-51 =111()伍+1)(+2)2n(n+1)(+1)(+2)(5)班+扁).设等差数列词的公差为那么就4一)数列求和题型考点一公式法求和1 .(2016新课标全国I)“是公差为3的等差数列，数列九满足b=l,Z?2=|，a,bn+1+bll+1=nbn.(1)求”的通项公式；(2)求仇的前项和.2 .(2013新课标全国11,17)等差数列优的公差不为零，0=25,且s，即，03成等比数列.(1)求知的通项公式；(2)求0+4+7+。3-2-变式训练1 .(2015四川，16)设数列m(=l,2,3,)的前项和S满足

4、5二2小一外，且。1，敢+1，6成等差数列.(1)求数列斯的通项公式；(2)设数列岗的前n项和为Tnf求Tn.2 .(2014福建，17)在等比数列斯中，例=3,的=81.求an；(2)设瓦=IogMn,求数列瓦的前n项和Sn.考点二错位相减法1 .(山东)数列6的前项和S产32+8，是等差数列，且%(I)求数列的通项公式；(II)令C=(；.求数列q的前项和2 .(2015天津，18)数列。满足4+2=”0为实数，且行1),“WN,=l,a=2f且例+的，6+以，s+的成等差数列.(1)求q的值和的通项公式；(2)设仇=122巴N*,求数列儿的前项和.(Aln-变式训练1 .（2014.江西

5、，17）首项都是1的两个数列,九（儿0,N）满足生+1-研也+M+也=0.令Cn=并求数列C的通项公式；（2）假设bn=3n-lt求数列m的前项和Sn.2 .（2014四川，19）设等差数列斯的公差为d,点（即，为）在函数段）=2，的图象上5N）.假设0=2,点（俏，46）在函数/）的图象上，求数列如的前项和S“；（2）假设m=l,函数人外的图象在点32,历）处的切线在X轴上的截距为2一6，求数歹fl的前项和北.3 .（2015湖北，18）设等差数列m的公差为d,前项和为S，等比数列与的公比为4，b=a,历=2,q=d,Sio=100.(1)求数列%,5的通项公式;(2)当d时，记cn=ii,

6、求数列金的前n项和Tn.4 .(2015山东，18)设数列&的前项和为S.2S=3+3.(1)求为的通项公式；(2)假设数列与满足a曲n=Kg3all,求加的前n项和Tn.5 .(2015浙江，17)数列斯和出满足0=2,b=l,如+产加6+/+/+，=1(N).求。与bn;(2)记数列斯瓦的前项和为义,求.6 .(2015湖南,19)设数列为的前项和为S”m=l,a2=2f且诙+2=3S-Szf+3,N.(1)证明：斯+2=3。”；求Sn.考点三分组求和法1 .(2015福建，17)在等差数列斯中，2=4,w+m=15.(1)求数列为的通项公式；(2)设设=22+，求Q+岳+岳+bo的值.2

7、 .(2014湖南，16)数列“的前项和S“=F,N.(1)求数列伍的通项公式；(2)设瓦=2%+(-l)rtn,求数列瓦的前2项和.变式训练1.(2014北京，15)%是等差数列，满足0=3,=12,数列瓦满足历=4,九=20,且仇一小为等比数列.(1)求数列m和仇的通项公式；(2)求数列儿的前项和.考点四裂项相消法1.(2015新课标全国I,17)S为数列小的前项和.an0,*+2%=4S+3.(1)求”的通项公式；(2)设儿求数列九的前项和.ClnCln+2.(2011新课标全国，17)等比数列优的各项均为正数，且2+3s=l,d=9a6.(1)求数列。”的通项公式；设bn=log3I+

8、Iog3n2.log3n,求数歹IJ假的前n项和.3.(2015安徽,18)数列%是递增的等比数列,且。1+g=9,42。3=8.(1)求数列斯的通项公式；(2)设S为数列为的前项和,b=黑J求数列d)的前。项和心.十I变式训练1.(2013江西，16)正项数列“满足：al-(2n-)af-2n=0.(1)求数列小的通项公式如；令%=、斯,求数列九的前项和Tn.2.(2013大纲全国，17)等差数列%中，7=4,。9=29.(1)求斯的通项公式；(2)设瓦=今，求数列屹的前项和S“.3.在数列小中，1=1,当22时，其前项和S满足忌=Z（Szt0.（1）求S的表达式；q（2）设为=BrP求仇的

9、前项和Tn.考点五倒序相加法函数段）=*R）.证明：危）+*-X）=/（2）假设S=/历器）+坛施）+人瑞3）,那么S变式训练1 .设段）=舟假设S=/（刀宗）+犬了条）+火瑞!），那么S=.考点六并项求和2 .（2012新课标，16）数列斯满足斯+|+（-1）“斯=2-1,那么斯的前60项和为.3 .(2014山东,19)在等差数列斯中，公差d=2,做是力与久的等比中项.(1)求数列他的通项公式；(2)设设=%(训，记0=-61+82-63+64-+(-1)%,“求心.变式训练1 .(2014山东理，19)等差数列斯的公差为2,前项和为&,且S,S2,S成等比数列.(1)求数列(。的通项公式

10、；(2)令儿=(一1)门一，求数列儿的前项和Tn.114?+12 .(2013湖南，15)设S”为数列小的前项和，工=(-1)%表“WN,那么:(1)3=;(2)S1S2.Sioo=.考点七数列%的前项和问题1.（2011北京，11）在等比数列小中，假设a1=*04=-4,那么公比4=；+2+.+M变式训练1.（2013浙江，19）在公差为d的等差数列m中，3=10,且,2他+2,5s成等比数列.求力an（2）假设d0f求|0|+同+|。3|+.+|。”|.考点八周期数列1.数列2008,20091，-2008,2009,，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，那么这个数列

11、的前2014项之和S20M等于（）A.2008B.2010C.1D.0变式训练l.（2012福建）数列zl的通项公式COS号，其前项和为S，那么S2012等于（）A.1006B.2012C.503D.0考点九数列与不等式的应用1 .（2014新课标全国11,17）数列%满足=Lan+=3an+l.卜10明明证证7 S)/0(2卜3是等比数列，并求斯的通项公式；+42.(2015浙江，20)数列j满足m=5且a+=a一片(N*).(1)证明：1N2(WN*);“+1(2)设数列届的前项和为S，证明：2(3)(Jh)(心)3.(2013江西，理)正项数列all的前项和arJ满足：一。/+一I)S“

12、一(/+/0=0(1)求数列af1的通项公式a。；(2)令=十1,数列1的前项和为。证明：对于任意的n,都有6(k+800?假设存在，求的最小值;假设不存在，说明理由.2 .(2013广东，19)设数列,J的前项和为SM=1,i=n+-n2-n,N*.求G的值；(2)求数列为的通项公式；(3)证明：对一切正整数，有+:+JWUlU2Cln4+3 .(2013天津，19)首项为方的等比数列诙的前项和为S.5N),且一2S2,S3,4S4成等差数列.求数列m的通项公式；(2)证明S1+t3WN*).4 .(2014.广东，19)设各项均为正数的数列0.的前项和为S”且S“满足&一(/+-3)Szi

13、-3(M+)=0,N*.求S的值；(2)求数列斯的通项公式；证明：对一切正整数，有;7+;rr+;7r答案考点一公式法求和1.(2016新课标全国I)“是公差为3的等差数列，数列与满足b=l,b2=al,bn+bfl+l=nbn.(1)求”的通项公式；(2)求/%的前项和.31【答案】(I)att=3n-(II)-.”223,l【解析】试题分析：(I)用等差数列通项公式求；(II)求出通项，再利用等比数列求和公式来求。试题解析:由已知,32+2=,4=i也=指得她+3=4,4=1也=:得。1=2,所以数列4是苜项为2,公差为3的等差数列，通项公式为4=3n-l.(in由和见+如=也，得如=?，因此是首项为b公比为;的等比数列.记包的前4项和为司，则S-*_31“1122