重难点专题03：空间角的向量求法（解析版）.docx

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1、重难点专题03：空间角的向量求法考点OL直线的方向向量和平面的法向量.直线的方向向量：若A、B是直线/上的任意两点，则AB为直线/的一个方向向量；与AB平行的任意非零向量也是直线/的方向向量.(2).平面的法向量：若向量所在直线垂直于平面白，则称这个向量垂直于平面。，记作j,如果j,那么向量叫做平面。的法向量.平面的法向量的求法(待定系数法)：建立适当的坐标系.设平面a的法向量为11=(x,y,z).求出平面内两个不共线向量的坐标=(q,%,%),b=(bvb2,b3).na=0根据法向量定义建立方程组.nb=0解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量.1 .九章算术中，将四个面都为直角三角形

2、的四面体称为鳖犒.在鳖犒A-BC。中，AB_Z平面Ba),BDC=90o,BD=AB=CD若建立如图所示的“空间直角坐标系，则平面AeD的一个法向量为()A.(0,1,0)B.(O,I,1)C.(1,1,1)D.(IjO)【答案】B【分析】根据题意，设BQ=AB=8=1,可得A、C、。的坐标，由此可得向量O。、Ao的坐标，由此可得关于、y、Z的方程组，利用特殊值求出X、y、Z的值，即可得答案.【详解】根据题意，设初=AB=CO=I,则。(0,l,0),C(1,1,O),A(O,O,1),则OC=(LO,0),AL=(0,1,-1),设平面ACD的一个法向量为rn=(x,y,z),DCm=x=0

3、/、则有,令y=,可得z=,则w=(o,)ADm=y-z=0故选：B.2 .在如图所示的坐标系中，ABS-AgGR为正方体，给出下列结论:直线。A的一个方向向量为(0,0,);直线BG的一个方向向量为(OJl)；平面A网At的一个法向量为(OJO)；平面qco的一个法向量为(1,1,1).其中正确的个数为()【答案】C【分析】根据空间直线的方向向量的概念以及平面的法向量的定义判断可得答案.【详解】设正方体的棱长为4,则。(OM,0),A(Omm),OA=(0,0,0,则。与(0,0,1)平行，故直线。A的一个方向向量为(0,0,1),故正确；因为8(,0,0),GSmm),所以BG=(OMm)

4、,因为8C呵(OJI)平行，所以直线BG的一个方向向量为(0,1,1),故正确；因为40,0,0),O(OM,0),所以AO=(O,出0),因为Ao是平面A的一个法向量，且AO与(OJO)平行所以平面ABBlAi的一个法向量为(0,1,0),故正确;因为C(a,0),D(0,a,0),所以CO=(-,0,0),因为8(1,l,l)=(-,0,0)(Ll,l)=-wO,所以与(LLl)不垂直,所以(LU)不是平面耳8的一个法向量，故不正确.故选：C3 .如图，在棱长为3的正方体ABCz)-AMGA中，点M在棱GC上，且CM=2MG以。为原点，D,DC,。2所在直线分别为X轴、y轴、Z轴，建立如图

5、所示的空间直角坐标系.求平面MAB的一个法向量.【答案】=(2,1,3)(答案不唯一)【分析】利用求解平面的法向量的方法进行求解即可.【详解】因为正方体A8C。-AsGA的棱长为3,CM=2MC,所以M(0,3,2),8(3,3,0),A(0,0,3),则MB=(3,0,-2),D,=(0,-3,1),设n=(x,y,z)是平面MDIB的法向量，则nJ_MB，-LMD1.n-MB=3x-2z=0所以，MD1=-3y+z=0取z=3,则x=2,y=,故=(2,1,3),于是=(2,1,3)是平面例的一个法向量(答案不唯一).求异面直线所成的角ACBD已知为两异面直线，A,C与B,D分别是4/上的

6、任意两点，Wb所成的角为。，则COSe=LACBD考点02：异面直线夹角的向量求法4 .在长方体48CD-AAGA中，AB=BC=1,M=3,则异面直线AA与。4所成角的余弦值为()A.在B.亚C.1D.一好5555【答案】A【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式求解即可.【详解】以A为坐标原点，Aq为X轴，A4为y轴，AA为Z轴，建立空间直角坐标系，则A(,)zD1(0,1,0),d(0,1,3)zB1(l,0,0)zcosaR,DB)=AD1DB10-1+35AD,DB125-55.如图，平行六面体ABC。A4GA的底面是菱形，且NCCB=NeCo=N38=60。，CD=CC1

7、=2.求异面直线CA与DCi所成的角.【答案】AG=2夜(2)90.【分析】(1)因为CQ,C&CG三组不共线，则可以作为一组基底，用基底表示向MAG，平方即求得模长.(2)求出两条直线。I与。G的方向向量,用向量夹角余弦公式即可.【详解】(1)设防=iu,关=二，M笳构成空间的一个基底.因为AC；=CCx-CD+CB)=c-(+6),所以IAe=AG2=。一(a+)=c+a+Z7-2ac-2t7c+2ab=12-222cos60o=8,所以AC=2(2)又C=q+8+c,DCx=ca,所以C41.DC1=(a+6+c)(c-a)-22=ca+bc-ab=OCAiIDCl异面直线CVjOG所成

8、的角为90。.考点03：已知线线角求其它量6 .如图所示，PD垂直于正方形A8CD所在平面，AB=2,E为PB的中点，cosDPAD=立，若以043DC,DP所在直线分别为X,y,Z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为(A.(1,1,1)C小用【答案】AEU, L 二),2【解析】设IPoI=。30),根据CBDP，硒邛得到d+岑,解方程即得4的值，即得解.【详解】设IPDI=a(a0),则A(2,0,),8(2,2,0),P(OQm),nuna.DP=(0,0,a)tE=(-1,L-),cos=/.=aQ2+-，.=2,.E的坐标为(1,1,1),故选：A.【点睛】本题主要考查空间向量所成的

9、角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7 .在我国古代数学名著九章算术中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵.已知在堑堵A8C-A4G中，ABC=90，AB=2,BC=2L若直线CA与直线AB所成角为60,则AA=()A.3B.2C,22D.23【答案】B【分析】以B为原点建立空间直角坐标系，利用向量方法求出CA和AB夹角余弦值即可求出A竖坐标，从而得到答案.【详解】如图，以5为原点建立空间直角坐标系,则5(0,0,0)A(2,0,0),C(0,2直,0),设,(2,O,z),则BA=(20),C1=(2,-22,z),.,.Icos(BA,CAJl=cos60,1n

10、21277解得z=2,故AA=2.故选：B.求直线和平面所成的角求法：设直线/的方向向量为。，平面的法向量为，直线与平面所成的角为。，与的夹角为,则。为。的余角或的补角的余角.即有：Sine = ICOS同考点04：线面角的向量求法au丽【答案】y90o8 .在正方体H8CO-AGQ/中，P为。的中点，0为底面ABC。的中心，则08/与平面BAC的夹角为【分析】利用向量:法求得。4与平面PAe的夹角.【详解】设正方体的边长为2,则AQO,0),C(O2O),P(O,O,1)Q(1,LO),4(ZZ2),AP=(-2,0,1),4(-2,2,0),Oq=(IJ2),设平面PAC的法向量为=(x,

11、y,Z),wAP = -2x+z = 0n AC = lx + 2y = 0故可设 = (Ij2),设。片与平面PAC所成角为氏e9gnOBFfM所以一故答案为：9 .如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCO是矩形，26_1_底面A8CO,AB=BC=3tBP=3,CF=；CP,DE=-DA.3PDE9A证明：EbP平面4区2；求直线PC与平面ADF所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(喏【分析】(1)建立空间匕角坐标系，证明即与平面ABP的法向量垂“即可；(2)利用空间向量求线面角即可.【详解】(1)由题意知，BC,BA,游两两互相垂直，以8为原点，BC,BN4P所在直线分别为尤丁*轴

12、，建立如图所示的空间直角坐标系8-型，则8(0,0,0),C(3,0,0),E(2,3,0),F(2,0,l),所以8C=(3,0,0),EF=(0,-3,1).底面A3CQ,BCU底面ABC。，.PBLBC又.BC上BA,PBcBA=B,且尸氏84U平面BP,.3C_L平面ABP,所以BC=(3,0,0)是平面ABP的一个法向量.因为BW丽=(3,0,0)(0,-3,1)=0,所以8CJ.EQ.乂Ma平面所以E尸P平面A8P.(2)因为A(0,3,0),C(3,0,0),0(3,3,0),尸(0,0,3),F(2,0,l),所以Ab=(3,0,0),AF=(2,-3,1),PC=(3,0,-

13、3),设平面A。尸的法向量为=(x,y,z),则X = Oz = 3ynAD=3x=0由n-AF=2x-3y+Z=O得平面ADF的一个法向量为n=(0,1,3).设百线PC与平面AOb所成的角为。,则 Sine = cos| =PCnHH(3,0,-3)(0,U3)321035To故：直线PC与平面AD尸所成角的正弦值为拽10考点05：已知线面角求其它量10.已知四棱锥P-ABCQ的底面为平行四边形,Ao = 2, Z)C = 4, ZBAD = 60 , PQJ_ 平面 A8C。，直线PO与平面外。所成角为30,则电=()A.22B.C.甄D.757【答案】C【分析】根据题意建立如图空间红角

14、坐标系，利用向量法结合P。与平面以C的线面角，可求出出).【详解】AD=2,DC=AB=4,N6A0=6O，由余弦定理得DB2=DA2+AB2-IDA-ABcosZBAD=4+168=12，即A8=25,DS2+DA2=AB2所以DB-LDA,又Pr)JL平面ABC。，以。为原点，D4,08,0P的方向为X轴，)，轴，z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系,设PD=,由AD=2,AB=23得O(0,0,0),A(2,0,0),(,2,),c(-2,23,),P(O,O,),=(2,0,-),AC=(-4,23,0),PD=(0,0,-),设平面HC的法向量为 = (x,y,z),n-PA=2x-az=0nAC=-4x+23y=O令y=2J,贝Jx=3,Z=-,所以/2=3,23,-coshPD吐町-L6直线Po与平面C所成角为30,所以I,Y同p11pJ+