论文_浅析函数极值的求法及应用[1].docx

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1、XX学院毕业论文浅析函数极值的求法及应用院系：数学与计算机科学学院专业：数学与应用数学年级、班级：08数本姓名：XXX学号：XXXXXXX指导教师（职称）：XXXXX2012年3月15日浅析函数极值的求法及应用摘要函数极值是数学研究的重要内容之一，故对函数极值问题的探讨具有重要意义。本文讨论了利用拉格朗日乘数法、柯西不等式法和梯度法求函数条件极值，以及利用方向导数判别法、MATLAB法求函数无条件极值，归纳出了函数极值在不等式证明、物理学、生产销售和蜂房最优化问题的若干应用。关键词函数极值求法应用Analysisofthefunctionextremevaluesolutionanditsap

2、plicationAbstractTheextremevalueoffunctionisoneoftheimportantcontentsofmathematicsstudy,sothefunctionextremeproblemsofthefunctionextremevaluehasimportantsignificance.ThispaperdiscussestheuseoftheLagrangemultipliermethod,theCauchyinequalitymethodandgradientmethodforfunctionconditionalextremum,andtheu

3、seofdirectionalderivativemethod,MATLABsoftwareandfunctionunconditionalextremum,summarizedsomeapplicationsabouttheextremevalueoffunctionintheproofofinequality,physics,productionandsalesandbeehouseproblems.Keywordsfunction；extremevalue；solution；application目录摘要I关键词I第一章引言1第二章函数极值的定义及其存在的条件12.1 多元函数极值的定义

4、22.2 多元函数极值存在的条件2第三章函数极值的若干求法33.1拉格朗日乘数法求极值33.2 柯西不等式法求极值43.3 梯度法求极值53.4 利用方向导数判别多元函数的极值73.5 MatIab求函数极值9第四章函数极值理论的应用124.1函数极值在不等式证明中的应用124. 2函数极值在物理学中的应用134. 3函数极值在生产销售中的利润最大化方案的应用144. 4运用函数极值分析峰房的最优化问题15第五章结束语18致谢语18引用文献18第一章引言函数极值一直是数学研究的重要内容之一，在科学与生产实践中存在着许多和极值有关问题。由于函数极值应用广泛，加之函数本身变化纷繁，所以人们对求函数

5、极值的方法研究较多，这些与许多数学家的努力是分不开的。他们将理论与实际有机的结合起来，不仅为科研打下了良好的基础，也为诸多领域的实际工作提供了便捷，如在物理、经济、现实生活等方面提供了便捷的方法，使得许多问题很便利的得以解决。多元函数涉及到的量比较多，在求解某类形式上比较复杂的函数极值问题比较困难，所以在本文将重点介绍多元函数极值的求法。而我们在解题的过程当中常常会遇到一些具有某些条件限制的多元函数极值的求解，在解这种条件极值的问题时当然我们不能不考虑其限制条件，那么我们什么时候、什么地方、如何用这些限制条件就成了我们所关心的问题。所以，本文重点探讨多元函数条件极值问题。针对多元函数条件极值求

6、法，文中归纳出了三种方法，拉格朗日乘数法、柯西不等式法、梯度法。其中拉格朗口乘数法就是求条件极值最常用的方法。对于求无条件极值，求解的方法相对来说就更多T,除了数学分析课本介绍的判别法之外还有方向导数判别法等。随着现代科技的进步,计算机软件已得到广泛应用，应用软件求解函数极值应运而生，大学期间就开设了数学建模与数学实验的课程，可以从中学习运用MATLAB软件求函数极值，它不但方便而且准确，是一种求无条件极值的好方法。在解题的过程中合理的选择一种好的方法，就等于成功了一半，同时可以大大减少解题的时间，对拓展解题的思路是很有帮助的。函数极值在不等式证明、物理学、生产销售和蜂房最优化问题等方面有着广

7、泛的应用。不等式的证明是数学学习过程中我们经常遇到的，其对综合能力和分析能力的要求都很高。目前有多种形式的方法来证明不等式，本文以举例说明的方式给出应用多元函数条件极值的解法来解决不等式证明的思想，即在不等式证明中，适当变换目标函数和相应的限制条件来证明不等式。函数极值在物理学中的应用也是非常广泛的，比如利用函数极值来证明光的折射定律等。在生产和销售商品的过程中销售量、成本与售价是相互影响的，厂家可以运用函数极值，知道如何选择合理的销售价格才能获得最大利润。很多的数学模型都源于生活，是从一些实际问题中抽象出来的，所以，可以通过探讨函数极值的方法来分析现实生活中许多有趣的问题，如著名的数学家华罗

8、庚就利用极值探讨过蜂房结构有关的数学问题。综上所述，我们对函数极值的求法及应用做一个比较全面的了解是相当重要的。第二章函数极值的定义及其存在的条件极值的概念来自数学应用中的最大最小值问题，定义在一个有界闭区域上的每一个连续函数都必定达到它的最大值和最小值，问题在于要确定它在哪些点处达到最大值或最小值。我们先来了解下一元函数极值的定义。定义1：设函数/(幻在飞的某个邻域有定义，如果对z该邻域的所有点，都有/(x)(x0),则/(%)是函数/(此的一个极大值；如果对与该邻域的所有的点，都有f(x)f(x0),则/(%)是函数/(X)的一个极小值。极大值和极小值统称为极值；极大点和极小点统称为极值点

9、。下面重点了解多元函数极值的定义及其存在的条件。2.1 多元函数极值的定义：定义2：设52）元函数z=（%,X2,怎）在点Po（Xl,工2，七）的某个邻域内有定义,如果对该邻域内任一异于p0（x10,x20,x,）的点p（xl,x2,x）都有f（xi,x2,x）/（xl0,x20,%,0）,则称函数在点Poa,心,Xj）有极大值,w,、/）;类似的，若在该邻域内任一异于PO（X,x）的点Pal,孙,原）都有/（石,2,X）/（xi0,X20,Xw0）,则称函数在点Po（XI,w,有极小值r,2,2.2 多元函数极值存在的条件定理1：（必要条件）若52）元函数Z=（X,X2,怎）在点“1，工2，

10、怎）存在偏导数，且在该点取得极值，则有人,x2,h）=0=l,2,）。证明：因为函数Z=Fa,/,怎）在点Po（M）,“2，怎）取得极值，所以固定孙,天在w,七后所得的一元函数知引,5）在点再取得极值,于是同理工（小电，怎）*=0,，4（七2，5）L=小=。，Q22nIna因此gT（po）=%，P。定理2%（充分条件）设52）元函数%应,5）在区,引，乙）附近具有二阶连续偏导数，且a,J,，乙）为Z=AX2,，乙）的驻点。那么当二次型g（G=l,F,z3/=正定时,F（M）,/，,怎）为极小值；当g（G负定时，电，怎）为极大值;当g（G不定时，AM），乙）不是极值。记=&H,七），并记aWa2

11、&_沏a22%A-：为它称为/的左阶黑塞矩阵。特殊地，当=2时，有如下推论：推论1:若二元函数Z=f（x,y）在点（x0,%）的某领域内具有一阶和二阶连续偏导数,且力（XO，%）=。，/V（XO，%）=。，令A=ZCra0,NO),B=A(%,%=&(%，%)，则当ac-Qo时,4 0,取极小值当AC-820ah2a2h是极小值点极小值Z=Xo2+%2=3.2柯西不等式法求极值柯西不等式是由法国数学家柯西(Cauchy)研究得到的一个非常重要的不等式，柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。某些函数的极值可以转化为柯西不等式的形式求解。柯西不等式，对于任意的实数

12、4吗,M”和仇，为，勿，总有(白占+a2b2Hl也)2(a；+a2HFaJ)Sj+d-H卜b：),简述为“积和方不大于方和积，R,b,R,当且仅当实数q,七,凡与仇也，或对应成比例时，等号成立同。由此，得到两个重要结论:(1)若a/I+a2x2+anxn=S,则1S2+b2X+。/；-22幺+”+.+%b力2（2）若毋片十2%；十十片=T,则内+*+,1+fL）（其中bjR+i=l,2,4o在使用时，往往要采取一些方法，如巧拆常数、巧变结构、巧设数组等，构造符合柯西不等式的形式及条件，继而达到使用柯西不等式解决有关的问题。14Q例2：设x,y,zO,且x+y+z=l,求U=的最小值。XyZ解：由柯西不等式可得(l + 2 + 3)2=36