专题06 解三角形（周长（边长）问题（含定值最值范围问题））(典型例题+题型归类练)（解析版）.docx

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1、专题06解三角形（周长（边长）问题（含定值，最值，范围问题）（典型例题+题型归类练）一、必备秘籍核心技巧1：基本不等式（无约束条件的三角形）利用基本不等式，石工孚，在结合余弦定理求周长取值范围；2核心技巧2：利用正弦定理化角（受约束的三角形，如：锐角三角形）利用正弦定理=2RSinA,b=2RsinB,代入周长（边长）公式，化角，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求周长（边长）的取值范围.二、典型例题例题1.在ABC中，角A,8,C的对边分别为,力,c,且而=/+从_02.(1)求角C;（2）若ABC的面积S=S,且U=登，求ABC的周长.4因为入一,由余弦定理，得到C=色萨4又OC2-21

2、,244ab=5-=联立+=26则o+=所以ABC的周长为+b+c=6+J例题2.已知448C中，角A,B,C的对边分别为。，b,。，且加in8-sinA=S-c)sinC.(1)求角A的大小；若z1BC的面积LBC=学，且。=5,求Hc的值.第（2）问思路点拨：由知4 =弥，且 = 5,S =”也要求8+c,可利用面积公式S=生也AAoC 4AjwC 4求出儿,再由余弦定理求出/+/=50,联立，可求出b+c解答过程:【答案】(2)10(1)解：I大I为加in3-sinA=(0C)SinC,由正弦定理可得从一2=S-c)c,即o2=及+2_儿,b2+c2-a2=bc,r余弦定理可得cr=h2

3、+c2-2bcCQSA，故COSA=t=-=因为A(0,r),所以A=f.2bc2bc23(2)解：因为,M=gbcsinA=；XbXCX乎，所以bc=25,再由/=廿+。2一从，即25=从+c?从，所以从+c2=50,所以b+c=J(b+c)=Jb2c2+2bc=10.例题3.在“IBC中，角AABC所对的边分别为凡4c,已知=6,A=2.若sin8=得，求SinC；求b+c的最大值.123526(I),.snA=-sinB=-sinA,/.BAfcosB=-213213所以SinC=sin(A+8)=-+-=213213(2)在中由余弦定理可知a2=3=b2+c2-2反CoSA=b2+c2

4、-be二S+c)2=3+36c3+3(”+)-Hc2g4当且仅当b=c=6时，b+c的最大值为2J例题4.在中，角A,B9C的对边分别为。，b9ct且。=2acosAcosC+2ccos2A(1)求角A;若=4,求c-制的取值范围.【答案】?(2)(-8,4)(1)W：因为人=2。COSACOSC+2CCOS2A,Itl正弦定理得sin8=2sinAcosAcosC+2sinCcos2A,即sinB=2cosA(sinAcosC+sinCcosA),即sinB=2cosAsin(A+C),因为A+8+C=兀，所以A+C=-8,所以SinB=2cosAsinB.因为Bw(0,),所以sinBO,

5、1JT所以8SA=5,因为A(O,),所以4=.(2)解：由正弦定理得，=随，sinA3所以C一给二(SinC-2sin8)=卜n(兀一方一8)一2sin883f3R3.JR_.=cosBsinB=8cosBcoscosBsin,3(22)V33j所以。- 28 = 8cos所以 8 + (,所以cos,+扑卜用，所以c-2(-8,4).例题5.在“IBC中，内角A5,C所对的边分别为。也c,且加in弓一=sinB.（1）求A角的值；若为锐角三角形利用（1）所求的A角值求空的取值范围.ZX第（2）问思路点拨：由（1）知，X=W且A4C为锐角三角形，要求?的取值范围，不适合直接3b利用基本不等式

6、解决问题，当涉及到有约束条件的三角形（锐角三角形）优先考虑利用正弦定理化角.解答过程：直接化角由知伫=而4-血C=S叫一叫丁刃（注意到B+C=与统一化成一个角）bsinBsin5；先拆，后合（辅助角公式），化简XiZ:如一:SinJeCosS1（注意到此时分子分母都含有角B，不容易直接求范围）bsin52SillB2化半角，继续化简，直到角，函数名统一r1fl2si112Jn1R=-必一L9tanL（角，函数名统一，问题转化为求tan?的取值范围）b2oBB22222稿取值范围2sn-cos22B求tan巴取值范围2啥衿，2-3tanl0B-2r.2n0B32-2TtanI1F的取值范围是3-

7、2,b6-12【答案】(I)A=9(2)6-2,(l)Esin=tzsinB,所以sin8cos=SinAsin8,因为B(0,乃)，/sinBO,A.AAxznA1COS-=ZSin-COS-,.*A(O.,.cos0,.*.sin=-222222因为。W后一A=(2)由止弦定理，- h.sinSinA-SinC_3sinBsinB33d1.dCOSDsinB/7-,d1222_31-cosB1的取值范围是3-2,例题6.已知MBC的内角A民C所对的边分别是,b,c,(+?)(SinA-sinB)=(-C)SinC.(1)求角B?(2)若A5C外接圆的周长为2折，求AABC周长的最大值.【答

8、案】(I)B=I2)9由正弦定理可得(+)(-b)=(-c)c,ac=a2+c2-b2.由余弦定理得cos8=Y+d=J,2ac2又5(0,r),所以8=q.(2)因为A8C外接圆的周长为2代,所以AABC外接圆的直径为2L由正弦定理得导=2L贝Jb=2Jx亭=3由余弦定理得9=+2_玄侬夕因为3c=(+c)2-93S;”,所以;(+c)29,即+c6,由三角形性质知3+c6,当且仅当二c时，等号成立.所以6,c=4,求“18。周长的取值范围.JT根据8的取值范围，求出sin(8+X)的范围4因为BG,fc5 + y 4 4,2 32,T,得sin + ?)e 孝,140SinlB+-+4【答

9、案】(1)直角三角形或等腰三角形(2)(8,4+4近)(1)“8C为等腰三角形或直角三角形，证明如下：由b二c(cos3-COSA)及正弦定理得，sinA-sinB=sinC(sB-cosA),即sin(B+C)-sin(A+C)=sinC(cosB-cosA),即sinBcosC+cosBsinC-SinAcosC-cossinC=sinCcosB-sinCcosA，整理得sincosC-sinAcosC=O,所以cosC(sinJB-SinA)=0,故SinA=Sinb或CoSC=0,又A、B、C为“8C的内角，所以=人或C=f,因此为等腰三角形或百.角三角形.由(1)及知C为直角三角形且

10、不是等腰三角形,且A+8=5,C=故Aq-B,且8工(，ABC周长=+8+c=+b+4=4(cos8+sin8)+4=4忘Sin(B+(J+4,得 Sin(B+ j)e 492去1 ,所以4sisin 4,2 37,T(8 + ?) + 4(8,4应 + 4),所以“IBC周长的取值范围为(&4a+4).三、题型归类练1.aA5C的内角A,BtC的对边分别为,。，c,已知(2。-C)SinA+(2。一。的inC=2Zsin8.(1)求B若为锐角三角形，且c=2,求周长的取值范围.【答案】8=；(3+JJ,6+2.在4BC中，由正弦定理及(2-c)sinA+(2c-)sinC=2bsin8得：(

11、2a-c)a+(2c-a)c=2b2,整理得：a2+c2-b2=ac由余弦定理得：cos6=+-J,而08,解得3=?,Zac23所以84.(2)由(1)知A+C=,即A=与C,因“8C为锐角三角形，即八 2 0C 32J ,解得oc-2由正弦定理就T忌=Ue得:a+h+c _ csin A+sin B+sin C sin CC高亭亭COSTSine)-+sin(-C)+sinC=sinC23C=3 +G(ZcosC)3严2c%a6SEC2sin-cos-tan-222l,CCIC一时，一一,tantantan-,j6212241224BP2-3tanl,因此，+则3+J+c6+2有，2an7

12、所以周长的取值范围是(3+I6+23).2 .请从下面的三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.3 1(l)cos2C+2cos(A+B)+-=0；的面积为5c(sinA+bsin8-CSinC)；(ccosB-gb)=c?-Z?2.在中，内角A,B,C的对边分别为小b,c,若.求角C：(2)若C=J通配0,求的取值范围.【答案】(I)C=方(2)(JI33选，cos2C+2cos(+B)+-=O,得2cos2。12COSC+g=0得coSC=T,而C为三角形内角，故。二，选，SAABC=JaOsinC=Jc(sinA+bsin8CSinC),由正弦定理化简得Mc=S?+从C-/,得8sC=+-c2=J.,Iab2而C为三角形内角，故C=方，选，FtlaccosB-ab=c2-b2,U11-(2+c2-b2)-ab=c2-b2,222得CoSC=立C=而C为三角形内角，故C=g,Iab23(2)由(1)知C=:故上t=4=*=2,3SinASinBSinC故a+b=2sinA2sinB=2sin(-)+2sinB=GCoSB+3SinB=23sin(B+-),36而而灰0,故cos80,n,2,C兀,2花5兀、,8不工-),B+-