2.6平面向量数量积的坐标表示学案解析版.docx

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1、6平面向量数量积的坐标表示学习目标核心素养1 .掌握数量积的坐标表达式.(重点)2 .能用坐标表示两个向量的夹角，判断 两个平面向量的垂直关系.(重点)3 . 了解直线的方向向量的概念.(难点)1 .通过学习直线方向向量的概念 及数量积的坐标表示，体会数学 抽象素养.2 .通过求解两向量的夹角及判断 两向量的垂直关系，提升数学运 算素养.自主预习。擢新那1.平面向量数量积的坐标表示设向量 =(x, y), b=(X2, ”).()ab=xX2+vy2;(2)2=x+yi,即IQl=N六+M；(3)设向量与的夹角为仇则CoS O=献=遮毒潴豆；(4) ZOxiX2y,V2-0.思考1：垂直的条件

2、和向量夹角能用坐标表示吗？提示能.aba b=xx2+yy2=O.2.直线的方向向量给定斜率为A的直线/,则向量机=(1, 一与直线/共线,我们把与直线/共 线的非零向量m称为直线I的方向向量.思考2：直线的方向向量唯一吗？提示不唯一.因为与直线/共线的非零向量有无数个，所以直线/的方向 向量也有无数个.初试身11. (2019全国卷 II)已知6=(2,3), AC= (3, r), BC=1,则H后Z=()A. -3 B. -2 C. 2 D. 3C 因为3C=AC-A8=(1, r-3),所以8C=0).Va=10, 5z5cos 0o=10, 解得义=2.0=(2,4).(2)( c)

3、 A=(2x2+4x(-1 )=() 5=0.规律方法进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解题时通常 有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积的坐标运算；二是先 利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算.跟踪训练1. (1)已知向量 a=(2,l), 6=(1, k), (2-6)=0,则=()A. 12B. -6C. 6D. 12(2)已知正方形ABCD的边长为2, E为CO的中点，点尸在Ao ,AF=2FZ),则84 C/=(I)D (2)| (1)2。一5=(4,2) 一 (一1, Q = (5,2T),由 a(2-) = 0,得 (2J)(5,2T

4、)=0,所以 10+2-2=0,解得=12.(2)建立平面直角坐标系如图所示，则A(0,2), E(2,l), 0(2,2), B(0, O), C(2,0),因为港=2而，所以艰，2)所以i=(2,D, =(, 2j-(2,0)所以赤a=(2,l)(一/ 2= 2X(_|)+X2鼻讨短向量的夹角及垂直【例2】 已知=(l,2), b=(l,力，分别确定实数/1的取值范围，使得:(Da与的夹角为直角；(2)与的夹角为钝角；(3)与的夹角为锐角.解。协=(1,2)(1, )=l+2.(1)因为。与b的夹角为直角，所以CoS。=0,所以 Z=O,即 1+22=0,所以+=_(2)因为与b的夹角为钝

5、角，所以 cos OVO,且 cosOW 1,所以bVO,且与力不反向.由协VO,得 l+2l VO,故 LV-g,由与共线得/1=2,故。与力不可能反向.所以/1的取值范围为(一8, 3).(3)因为。与力的夹角为锐角，所以 COSO0,且 cos OWl,所以。协0且 6不同向.由。协0,得4一.由4与b同向得 = 2.所以/1的取值范围为(一/2)U(2, +).现件方法1 .已知向量的坐标求向量的模(长度)时，可直接运用公式Ial= 后手进行计 算.2 .求向量的夹角时通常利用数量积求解，一般步骤为：(1)先利用平面向量数量积的坐标表示求出两向量的数量积；(2)再求出两向量的模；h(3

6、)由公式CoSe=而而，计算COSe的值；(4)在O, I,由COSe的值确定角力跟踪训练2.已知 =(l,2), b=(-2, -4), c=5.求 +2b;(2)若(+5)c=,求向量。与C的夹角.解(I)Q+25= (1,2)+2(-2, -4) = (-3, 一6), la+2b =(-3)2+(-6)2=35.(2)V=(-2, -4)=-2(1,2)=-2,.+b= a,： (+b)c= c=.设与C的夹角为仇_5a*c 21则 cos O=丽飞 X#= 22V06,工。=铲,2 即与C的夹角为铲.b向量的模探究问题1 .由向量长度的坐标表示，你能否得出平面内两点间的距离公式？提示

7、设 A(X1, y), B(X2, y2)f 则A6=(x2-K, yz-y),由向量长度的坐标表示可得 HBl=H8=y(x2-)2+(y2-y)2.2 .求向量的坐标一般采用什么方法？提示一般采用设坐标、列方程的方法求解.【例3】 设平面向量Q=(I)，Z=(0,2).3 a2b的坐标和模的大小.4 思路探究利用向量的坐标运算求得a2b的坐标表示，然后求模.解Va=(IJ), 6=(0,2),o-2Zf=(1,1)-2(0,2)=(1, -3), a-2=l2+(-3)2=l.母题探究1 .将例3中的条件不变,若c=3a-(ab)b,试求c.解=10+12=2,c=3(l,1)-2(0,2

8、)=(3, -I),kl=32+(-i)2=io.2 .将例3中的方=(0,2)改为方=(0, -2),其他条件不变，若kab与a+b共线，试求A值.解Va=(l,l), b=(0, -2),ka-b=k(l,l)一(0, -2)=(2, k+2).+b=(l,1)+(0, -2)=(1, -1).t*ka-b 与 a+b 共线，,%+2(一 A)=0.3 .将例3中的=(0,2)改为b=(0, -2),其他条件不变，若抬一。的模等 于而，试求改值.解Va-Z=(l,1)(0, -2)=(2, k+2)9,.9ka-b的模等于l.A2+(+2)2=i,化简得F+2Z3=0,解得A=I或Z=3.

9、即当&=1或=一3时满足条件.规律方法求向量的模的两种基本策略(1)字母表示/的运算利用2=/,将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题.(2)坐标表示尸的运算,若=(x, y)9则=2 = IaF=X2+y2,于是有IaI = N*+y2.不课堂小结G1 .设 Q=(XI, y),8=(X2，y)f 则 a_L方OXlX2+y1y2=O.应用该条件要注意：由ab可得X1x2+y1y2=;反过来，由xx2+yy2=O 可得a.Lb.2 .向量的坐标表示与运算可以大大简化数量积的运算，由于有关长度、角度 和垂直的问题可以利用向量的数量积来解决，因此可利用向量的坐标求出向量的 长度、平面内两

10、点间的距离、两个向量的夹角，可判断两向量是否垂直.当堂达标。固亶基TgyJgr1 .判断(正确的打“ J ”，错误的打“ X ”)若两非零向量的夹角O满足COS /? 又因为。0, 180,所以。=150。1 Z ZZ3 .已知向量=(l, n), b=(-l, n),若2ab与b垂直,则Ial等于()A. 1B.2C. 2D. 4C u：(2a-b)b=2ab-b=2(-1 +n2)-(l +n2)=n2-3=0, n=3. a=2+n2=2.4.已知 4=(3, 2), b=(4, lc)f 若(5。-b)Q3a)=-55,试求 b 的 坐标.解V=(-3, -2), b=(-4f %, 5a=( -11, 102).-30=(5, A+6),.(50)(-3)=(-11, 10Z)(5, k+6)=- 55也 +10)(%+6)= - 55,(+10)(A+6)=0,k= -10 或 k=-6, = (-4, 一 10)或力=(一4, -6).