学而思小升初培优六：数论综合-学生版.docx

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1、小价初格然/裁卷候合1加工某种机器零件,要经过三道工序,第一道工序每名工人每小时可完成6个零件,第二道工序每名工人每小时可完成10个零件,第三道工序每名工人每小时可完成15个零件.要使加工生产均衡,三道工序最少共需要多少名工人？2甲、乙两数的最小公倍数是90,乙、丙两数的最小公倍数是105,甲、丙两数的最小公倍数是126,那么甲数是多少？俐敢斛折枚举法枚举法（也称为穷举法）是把讨论的对象分成假设干种情况（分类），然后对各种情况逐一讨论，最终解决整个问题。运用枚举法有时要进行恰当的分类，分类的原那么是不重不漏。正确的分类有助于暴露问题的本质，降低问题的难度。数论中最常用的分类方法有按模的余数分类

2、，按奇偶性分类及按数值的大小分类等。【例1】求这样的三位数，它除以11所得的余数等于它的三个数字的平方和。【分析】三位数只有900个，可用枚举法解决，枚举时可先估计有关量的范围，以缩小讨论范围，减少计算量。设这个三位数的百位、十位、个位的数字分别为X,hz。由于任何数除以11所得余数都不大于10,所以d+V+z210。从而lx3,0y3,0z3o所求三位数必在以下数中：不难验证只有100,101两个数符合要求。【例2】写出12个都是合数的连续自然数。【分析】（法一）在寻找质数的过程中，我们可以看出100以内最多可以写出7个连续的合数：90,91,92,93,94,95,96。我们把筛选法继续运

3、用下去，把考查的范围扩大一些就行了。用筛选法可以求得在113与127之间共有13个都是合数的连续自然数：114,115,116,117,118,119,120,121,122,123,124,125,1260（法二）如果设这12个数分别是“，+l,+2,9ci+W9如果。-2能被2到13中任意一个数整除，那么八+l,+2,+ll,能分别被2、3、4,13整除，所以，只要取。=13!即可得到符合条件的12个数。（法三）上面的方法虽然巧妙，但是计算13!非常困难，所以应该选取折中的方法，设这12个数分别是a-5,-4,9+4,a+59a+6。所以只要使“能被2到6的所有整数整除,并且保证-1和+1

4、都是合数即可，通过试验可得到6/=120即是符合条件的值。【例3】如图，有三张卡片，在它们上面分别写着T,“2“，“3”。从中抽出一张、两张、三张，按任意次序排起来，可以得到不同的一位数、两位数、三位数。请将其中的素数都写出来。（素数即质数）【分析】因为这三个数字的和为6,能被3整除，所以用这三个数字任意排成的三位数都能被3整除，所以不可能是素数。再看两张卡片的情形。因为1+2=3,根据同样的道理，用1,2组成的两位数也能被3整除，因此也不是素数。这样剩下要讨论的两位数只有13,31,23,32这四个了。其中13,31,23都是素数。最后一位数素数只有2,3。【拓展练习】、和C都是两位数，。、

5、。的个位分别是7和5,C的十位是1,如果它们满足等式ab+c=2005,刃口么+b+c=。代数表示法对于某些研究整数本身的特性的问题，假设能合理地选择整数的表示形式，那么常常有助于问题的解决。这些常用的形式有：1.十进制表示形式：N=0+*10Z+g10；2.二进制表示形式：N=,t2+/_?+a020j3.带余形式：小(奇数可以表示为2+,偶数表示为2，其中为整数)4.标准分解式：川pP45.2的乘方与奇数之积式：=2”;(其中1为奇数)。6.最大公约数与系数之积式：机=dm,n=dn,其中(,n,n)=d,(w1,zz1)=l【例4】求一个四位数，它的前两位数字及后两位数字分别相同，而该数

6、本身等于一个整数的平方.【分析】设所求的四位数为工那么r=1000+100+10匕+b=ll(100+b),其中0v9,(/9。可见平方数工被11整除，从而被1整除.因此，数Iooa+b=99+(+b)能被Il整除，于是+b能被11整除.但0100,即l(kz+l因此bn2-QOa220a+,由此得204+lVlo0,所以a4经验算,仅当=4时，=41满足条件。假设41那么4()2422-402100。因此，满足条件的最大的完全平方数为412=1681o【例6】从自然数I,2,3,1000中，最多可取出多少个数使得所取出的数中任意三个数之和能被18整除？【分析】设，c,是所取出的数中的任意4个

7、数，那么+b+c=18/w,a+b+d=18?9其中?，是自然数。于是c-d=18(m-)。上式说明所取出的数中任意2个数之差是18的倍数，即所取出的每个数除以18所得的余数均相同。设这个余数为，那么=18q+r,b=l84+r,c=18cl+r,其中q,bt,Cl是整数。于是+b+c=18(“+%+cj+3r。因为18(+b+c),所以183r,即6r,推知厂=0,6,12。因为IoOO=55x18+10,所以，从1,2,10中可取6,24,42,996共56个数，它们中的任意3个数之和能被18整除。【例7】如果(a+3)被5除余数为2,(3a-6)被5除所得的余数为3,求证：(。-6)能被

8、5整除。都是自然数)【分析】(法一)设4+%=5A+2,3a-b=5+4,10Z58解方程组廿2t=：+2得到“7所以CLb=I5/-10八5能被5整除。3a-b=5l+3,3+15&-5/7(法二)由题目条件2(33(+2与能被5整除，即3-助能被5整除，继而得到M-功能被5整除，所以-能被5整除。【拓展练习1】如果(2+3b)是5的倍数，证明：加+%也是5的倍数。、6都是自然数【拓展练习2】如果(30+A)是7的倍数，求证(2-)也是7的倍数。、b都是自然数【拓展练习3】果a+。+C是5的倍数，2+劝+419所得到的商(1)与余数(0)之和都相等，这样的数最小可能是多少。,A15=Xa(=

9、X-a)=A=15+(X)=14+X【分析】jA17=.Xb(=X-b)=A=7b+(X-b)=6b+XA19=cXc(=X-c)=A-19c+(X-c)=18c+X14a=16/?=18cn72|ana至少为72,4=15a+Xfl=1572+X=1080+Xa144=1劭=18n63|2=6至少为63,=lb+Xh=763+Xb=01+Xh14=167=18c=56cnc至少为56,A=19c+Xr=1956+Xt.=1054Xc最小为1081c如何计算一个自然数的约数个数：a将该自然数用标准分解式表达：PfPf小b将该自然数的约数用标准分解式表达：射成成，那么Aq,b2a29,bnanl

10、C对于任意的可以取值。到q这Q+1)个整数；d根据乘法原理不同的约数有(+l)(a2+1).(4+1)个。Z【例9】在1到600中，恰好有3个约数的数有几个？【分析】3只能表示为(2+1),所以符合条件的数含有的不同质因数只有1个，且该质因数有2个，注意到有3个约数的数一定是质数的完全平方，2,3,5,7,11,13,17,19,23这9个数的平方数在I到600之间，共有9个符合要求。【拓展练习】在1到100中，恰好有6个约数的数有多少个？【例10】两个自然数的平方差，那么称这个自然数为“智慧数”比方16=52-32,16就是一个“智意数”.在自然数列中从I开始数起，试问第1990个“智慧数”

11、是哪个数？并请你说明理由。【分析】显然I不是“智慧数”，而大于1的奇数乂+1=仕+1)2-公，都是“智慧数”。4jt=(+l)2-(-l)2,可见大于4且能被4整除的数都是“智慧数”而4不是“智慧数”，由于V一y(+y)(一y)(其中八ywN),当X,丁奇偶性相同时，(X+丁)(工一了)被4整除。当一)奇偶性相异时，(X+A(X-)为奇数，所以形如软+2的数不是“智慧数”，在自然数列中前四个自然数中只有3是“智慧数”，此后每连续四个数中有三个“智慧数，由于1989=3x663,所以2656=4x664是第1990个“智慧数”。【拓展练习1】如果自然数使得2+1和加+1都恰好是平方数，试问5+3

12、能否是一个素数？【拓展练习2】将！表示成两个自然数的倒数之和，有多少中表示方法？请给出所有的答案。613, 假设n是自然数，d是2的正约数.证明：?+d不是完全平方。【分析】设2/=以，人是正整数，如果/+,/是整数的平方，那么二/=公(2+4=2(公+2k)但这是不可能的，因为与/都是完全平方，而由公公+2仙+了得出公+24不是平方数。14, 设正整数d不等于2、5、13。求证：2-K5d-1、1”-1这三个数中至少有一个不是完全平方数。【分析】2d-.5d-,134-1这三个数中至少有一个不是完全平方数即可.用反证法，设2d-l=Y541=丁(2)13-1=z2其中x、)，、二是正整数.由

13、式知，I是奇数，不妨设代入有2d-i=(2n-l)nPd=2n2-2n+(4)式说明”也是奇数.于是由、知.V、Z是偶数，设y=2p,z=2q,代入、相减后除以4有2d=c2-p2=(q+p)(q-p)因2d是偶数，即d-/是偶数，所以夕、夕同为偶数或同为奇数，从而/+和4都是偶数，即2d是4的倍数，因此”是偶数.这与“是奇数相矛盾，故命题正确。15, 将95写成假设干个(至少两个)连续自然数的和，有多少种不同的写法？给出全部可能的答案。【分析】设这个自然数可以表示为人个连续自然数和的形式，如果A是奇数，那么一定存在中间数，即为，那么这A个连续自然数的和为即，即为一个奇数和一个自然数的乘积形式

14、，如果人是偶数，那么存在两个中间的数，即为夕，夕+1,那么这A个联系自然数的和为g(2g+l),(2+1)是奇数，人为偶数，所以4为整数，也是奇数与一个自然数的乘积形式。95=519其大于12的奇约数有5,19,95这三个，如果有奇数个连续自然数相加：当无=5时，p=l9,即5个连续的自然数，中间数为19,有17,18,19,20,21;当k=19或95时，在在自然数范围内没有符合条件的连续数。如果有偶数个连续自然数相加：当g=l时，27+l=95,即2个自然数相加，中间两个数中较小的数是47,有47,48;当2=5时，2q+l-19,即10个自然数相加，中间两数中较小的是9,有5,6,14;当4=19或95时，自然数范围内不存在符合条件的连续数。2所以符合条件的自然数一共有3种。莪烽林打,1. 自然数的数字和用s()来表示。是否存在一