概率论与数理统计：单正态总体均值和方差的区间估计.docx

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1、章节名称单正态总体均值和方差的区间估计教学目标掌握单正态总体均值和方差的区间估计，会在不同的条件下选择不同的统计量教学重点单正态总体均值和方差的区间估计教学难点单正态总体均值和方差的区间估计教学内容一、新课概述：2已知均值的置信区间2M单正态总体未知的区间估计方差人的置信区间未知单正态总体的区间估计首先分均值的区间估计和方差的区间估计，然后在均值的区间估计中又分为方差已知和方差未知两种情况。二、讲授新课：1、均值的置信区间:(1) O?已知：兄2V(,-)得：U=丘幺N(Oj)n0忑P(_a/2Uuaf2)=-a其中=贝IJP(TJ/2X1-yjn则P(X-=uaf2JX-=w2)=-cxTn

2、Jn(X7=w/2X+7=%/2)为的置信度为1-的置信区间。n-Jn-例1滚珠直径X服从正态分布，其均值未知，方差己知为0.0006,从某天生产的滚珠中随机抽取6个测得其直径如下，求的置信度为95%的置信区间。解：要求均值的置信区间，且方差己知为0.0006,因此，这里选取它作为统计量，其分布为标准正态分布U=X二KN(OJ)F然后利用题目所给的样本值求出样本均值，样本个数等一些量。X=1.495n=6l-a=0.95a=0.05-=0.0252接着就要求两个分位点了，利用标准正态分布的表查到两个分位点分别是L96和1.96。P(-1.96-三1.96)=l-an最后把已知的值都代入，解这样

3、一个含有未知参数的不等式，就得到了要求的置信区间。P(1.495-Jt061.96a1.495+J。；1.96)=l-直径均值的置信度为95%的置信区间为(1.4754,1.5146)置信区间的特点：接下来观察一下这个置信区间有什么特点，区间的大小又跟什么相关。P(X7=/24X+5=%Q=l-a“77i：置信区间是一个以T为中心的对称的区间。(为什么是对称的区间呢？前面介绍了当区间的可信度确定的情况下，我们就要提高区间的精度，也就是区间长度越短越好，而对称区间是在相同的置信度下，长度最短的区间。)ii：区间长度是/=2力。越小，区间长度越小，精度越高。越大，区间长度越小，精度越高。越大，区间

4、长度越小，精度越高。(2) c未知：P(Ta/25-DJ/25-1)二1一a_c_cP(XJ=，a/2(-I)WZZKX+y=，a/25-I)=I-a均值在置信度为1的置信区间为(XQ/2(_1),X+-J=J/2(_1)(这里因为T分布和正态分布很像，后面的步骤了是一样的，没有什么变化。先通过查自由度为n-l的T分布的表得到两个对称的分位点，然后解含有未知参数的不等式就得到了置信度为1。的置信区间。)例2有一大批糖果，现从中随机地取16袋，称得重量如下，设袋装糖果的重量近似地服从正态分布，试求总体均值的置信水平为0.95的置信区间。解：/未知,所以一,!t(n1)S4n其中：=503.75S

5、=6.202211=16n-l=15a2=0.025fa/2(15)=2.1315P(-2.1315三M2.1315)=0.95S4nP(503.75-jL2.1315503.75+2.1315)=0.95总体均值的置信水平为0.95的置信区间(500.4,507.1)2、方差er?的区间估计(4未知)：因为b2的无偏估计量是样本方差S?,不难想到统计量S一?S服从自由度为1的卡方分布，我们把它记作Z2。他是样本方差S2和未知参数2的函数，除a?之外，不再含有任何未知参数，同时它的分布已知与未知参数无关，所以可以选做统计量。人的无偏估计为S2：Z2=%二？悭Z2(H-I)Ptal11-）-s-

6、n5-DI=1-。ph=Z2（l）ap2（l）方差2在置信度为1-a的置信区间为（：l）S2,一DS2INa/25T）疣a/2（T）J例3有一大批糖果，现从中随机地取16袋，称得重量（以克计）如下：506508499503504510497512514505493496506502509496设袋装糖果的重量近似地服从正态分布,试求总体标准差。的置信水平为095的置信区间。分析：标准差是方差开根号的结果，因此，先求a?的置信区间。解：要求型的置信区间：（1产S=6.2022n=6n-=5a=0.05就必(15)=27.488975(15)=6.262P(15x6.2022, 2 /5x6.20

7、22 27.4886.262) = 0.95P(”他2吗b27.488总体标准差b的置信水平为0.95的置信区间（4.58,9.6）三、内容小结：通过上面计算区间估计的例子，不难看出步骤大致相同，其关键点在于如何找到适合统计量的分布。下面把统计量的分布总结如下表：待估参数其他参数统计量的分布单正态苒体的区间估计2已知N(OJ)O2未知多；tn-1)Sf-Jn2未知(M1)S1三一(双正态方体的区间估计小一21sz已知(Y-F)-(丝虫)Ng)Ai-A:夕Oj=7,=未知(丫一7尸巴一)俐+为-2)+岂12Uuk未知与个：F(ni-,n.-)四、思考题：随机地取某种炮弹9发做试验，得炮口速度的样本标准差s=11(ms),设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹的炮口速度的标准差b的置信水平为0.95的置信区间。