平面向量知识点总结归纳.docx

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1、平面向量知识点总结归纳1、向量：既有大小，又有方向的量.数量：只有大小，没有方向的量.有向线段的三要素：起点、方向、长度.零向量：长度为O的向量.单位向量：长度等于1个单位的向量.平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行.相等向量：长度相等且方向相同的向量.2、向量加法运算：三角形法则的特点：首尾相连.平行四边形法则的特点：共起点.运算性质：交换律：b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c)；(3) a+O=Oa=a.坐标运算：设a=(x,y),b=(x,y),则a+b=(x+x,y+y).112212123、向量减法运算：三角形法则的特点：共起点，连终点，

2、方向指向被减向量.(2)坐标运算：设a=(x,y),b=(x,y),则a-b=(x-x,y-y).11221212设A、B两点的坐标分别为(x,y),(x,y),则AB三(一,yy).112212124、向量数乘运算：(1疾数入与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作.=a5当人O时，入a的方向与a的方向相同；当入Xwr8、平面向量的数瞥：a6=?(IkOS9(a600共英180)零向量与任一向量的数量积为O.性质：设a和b都是非零向量，则aba.b=O.当a与b同向时，a.b=啡|；当a与b反向时，a,b=-b;aaw或目二场abdbII1I运算律：ab=b.a；)b=入Qb1a/b

3、)G+b).c=a.c+b.c.坐标运算：设两个非零向量a=(x,y)b=(x,y),则a.b=xx+yy.11221212若a(,y),Ma2=%+y2，或Ial=J2+y2.a与b的夹角，则设a=(5,y),b=(y2),则司b-x1+y1y2=设a、b都是非零向量，a=,y),b=(x2,y2),cos9平面向量向量有关概念：1 .向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？(向量可以平移)。如：-2 .零向量：长度为。的向量叫零向量，记作：,注意零向量的方向是任意的；3 .单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位

4、向量(与AB.共线的单位向量是士旭)AB4 .相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5 .平行向量(也叫共线向量)：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：ab,规定零向量和任何向量平行。提醒：相等向量一定是共线向量，但共线向量不定相等：两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合；_平行向量无传递性！(因为有6)；三点A、B、C共线一瓯Ae共线：一6 .相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是a。如下列命题：(1)若IaI=Ib|,则a=b.(2)两个向量相等的充要条件

5、是它们的起点相同，终点相同。(3)若AB=DC：则ABCD是平行四边形I,若ABCD是平行四边形，则AB=DC,(5)若a=b,b=c,则a=c。(6)若25处，则2。其中正确的是(答：(4)(5)二.向量的表示方法：1 .几何表示法：用带箭头的有向线段丧示，如Ab,注意起点在前，终点在后：2 .符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a,b,C等；3 .坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与X轴、y轴方向相同的两个单位向量1为基底，则平面内的任一向量a可表示为a=Xi+yj=(,y)称(x,y)为向量a的坐标，a=(,丫)叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的

6、终点坐标相同。.平面向量的基本定理：如果仇和气是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a,有且只有一对实数入JA,使年入+入既如13(D若2=(1,m=(1,1)3二(-1,2)-建=(答：-a-b).(2)下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是A.e=(0,0),e=(1,-2)Be=(-1,2),e=(5,7)1212c.e=(3,5),e2=(6110)d.*=a-?=g，-(答：B)；(3)已知AD,BE分别是AABC的边BGAC上的中线,HAD=a,BE=b,则BC可用向量a,b表示为24(答：-a+-b):33一知AABC中，点D在BC,且27JB),-C-D)=

7、r7+sTf*,则r+S的_(答：67四.实数与向量的积：实数入与向量a的积是一个向量，记作入7,它的长度和方向规定如下：Ql入b尺&，(2)当入0时，Aa的方向Ija的方向相同，当入o时，a的方向与a的方向相反,当入=O时，Aa=O,:埼：-ao0五.平面向量的数量积：_1 .两个向量的夹角：对于非零向量a,6,作OA=a,OB=b=AoB=9（0共9共几）称为向量的夹角,当9 =o时，a b同向,当9 =O, a, b反向，当9几-金时，a,b垂直。一T一2 .平面向量的数量积：如果两个非零向量a,b,它们的夹角为9,我们把数量|ab|cos9叫做aIJb的数量积（或内积或点积），记作：a

8、b,即a6=acos9规定：零向量与任一向量的数量积是o,注意数量积是一个实数，不再是一个向量,如1 1几（1）已知a=（1,-）,b=（0,）,c=a+kbd=abC与d的夹角为一，则k等于2 24（答：1）；（2）已知IaMbl=5,ab=-3*贝Ja+4等于_（答:723）；（3）已知a,b是两个非零向量，且卜HM-bI,则a与a+b的夹角为（答：30）3 .，在&上的投影为Ibcos9，它是一个实数，但不一定大于0。如2已知Ia=3,I）b|=5,甲）B=12,则向量a在向量力上的投影为_（答：_）一TT4 .ab的几何意义：数量积ab等于a的模Ial与b在a上的投影的积。一T5 .向

9、量数量积的性质：设两个非零向量a,b,其夹角为9,贝ij：abab=0.当a,G同向时，ab=j特别地，a?=aa=j=J呆：当a与b反向时，ab=ab；非零向量a,b夹角9的计算公式：cos9=p-jIabI共Iallbl如（1）已知a=（,2）,）b=（3入,2）,如果a与）b的夹角为锐角，则入的取值范围41借：入想-夕或入。且人土5）：六.向量的运算：1 .几何运算：向量加法：利用“平行四边形法则”哒但/当四整形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设AB=a,BC=b,那么向量AC叫做a与b的和，即+b=AB+BCAC；向量的减法：用“三角形法则”：设A

10、B=aAC=b,那么ab=AB-AC=CA,由减向量的终点指向被减向量的终点二注意：此处减向量与被减向量的起点相同。如（1）化简：AB+BC+CD=:AB-AD-DC=_；（AB-CD）-（AC-BD）=（答：AD：CB：0）:（2）若正方形ABCD的边长为1,AB=a；BC=b；AO=c,9ija+b+c=（答:2底:2 .坐标运算：设a=（X,y）,b=（x,y）,则：1122向量的加减法运算：ab=（xX,yy）。如1212=_时，点P在第一、1(答：- 2(1)已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10),若AP=AB+入AC(入仁R),则当入三象限的角平分线上已知作用在点A(1,

11、1)的三个力F=(3,4),F=(2,5),F=(3,1),则合力F=F+F+F的终点坐123123标是(答：(9,1)级数与向量的积:a=(,y)=(XxAy)若A(X,y),B(x,y),则AB一三(-x,yY),即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段11222121的终点坐标减去起点坐标。如设A(2,3),B(1,5),且AC=AB,AD=3AB,则c、D的坐标分别是3(答：“L),(一7)：3平面向量数量积：ab=x2+y2。如TT几一T已知向量a=(sin,8sx),b=(sinx,sinx),C=(-1,0),若XW求向量a、C的夹角；向量的模：Ial=2+y2,a2=at=2

12、+y2o如_已知a,b均为单位向量，它们的夹角为60,那么|a+3b|=_(答：而)；两点间的距离：若A(X,y),B(x,y),贝”ABI=$_x)2+(yy)；o1122Y2121七.1.2 .3 .向量的运算律：交换律：a + b = t-a入结合律：a + b+ c = avb分配律：A+必下人才山a,4a J=(lll)a , a b = b a.a-b-c = a)+ C)(入 a)a ba + b)c = ac + bc=a下列命题中：a.()b-C)=a)ba.c；aQb.c)=(a.)b).c：(ab)2=a221aI.I)bI+I)b2.若a.)b=O,则a=0或)b=o；

13、翎.b=Cb则a=c:|a|2=a2；abbLT=-.(ab)2=a2b2(a-b)2=a22a.b+b2c,其中正确的是(答：)aa提醒：(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边呼般二个向堇吧里边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)：向量的“乘法”不满足结合律，即a(S+c)丰(a二向c,为什么？八.向量平行(共线)的充要条件：a/力-a=入b(a.b)2=(ab)2-X-?2=0。如若向量a=(x,1),b=(4,x),当X=时a与b共线且方向相同(答：2)；(2)已知a=CM),b=(4,x)u=a2b,v=2a+b,且uv,则X=(答：4)；(3)设PA=(k,12),PB=(4,5),PC=(10,k),则