排列组合基本题型方法.docx
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1、排列组合方法汇总排列组合问题联系实际生动好玩,但题型多样,思路敏捷,因此解决排列组合问题,首先要仔细审题,弄清晰是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题;其次要抓住问题的本质特征,采纳合理恰当的方法来处理。一.特别元素和特别位置优先策略例L由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特别要求,应当优先支配,以免不合要求的元素占了这两个位置.位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先支配特别元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满意特别位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件,往往是考虑一个约束条件的同时
2、还要兼顾其它条件练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间,也不种在两端的花盆里,问有多少不同的种法?二.相邻元素捆绑策略例2.7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法.解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其它元素进行排列,同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有&6尺=480种不同的排法要求某几个元素必需排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素起作排列,同时要留意合并元素内部也必需排列.练习题:某人射击8枪,命中4枪,4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不
3、同种数为20三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场挨次有多解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有人5种,其次步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种人6不同的方法,由分步计数原理,节目的不同挨次共有人5月6种元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两练习题:某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.假如将这两个新节目插入原节目单中,且两个新节目不相邻,那么不同插法的种数为30四.定序问题倍缩空位插入策略例4.7人排队,其中甲乙丙3人挨次肯定共有多
4、少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素挨次肯定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后A1/A3用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是:A,?44(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有“7种方法,其余的三个位置甲乙丙共有1种坐法,则共有种方法。思索:可以先让甲乙丙就坐吗?(插入法)先排甲乙丙三个人,共有种选择,再排其余4四人共有方法定序问题可以用倍缩法,还可转化为占位插练习题:10人身高各不相等,排成前后排,每排5人,要求从左至右身高渐渐增加,共有多少排法?党五.重排问题(谁选谁)求塞策略例5.把6名实习生安排到7个车间实习,共有多少种不同
5、的分法解:完成此事共分六步:把第一名实习生安排到车间有7种分法.把其次名实习生安排到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有I种不同的排法允许重复的排列问题的特点是以元素为讨论对象,元素不受位置的约束,可以逐一支配各个元素的位置,一般地n不同的元素没有限制地支配在m个位置上的排列数为小种练习题:某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.假如将这两个节目插入原节目单中,那么不同插法的种数为422.某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法7-六.元素相同问题隔板策略例10.有10个运动员名额,分给7个班,每班至少一个,有多少种安排方案?解:
6、由于10个名额没有差别,把它们排成一排。相邻名额之间形成9个空隙。在9个空档中选6个位置插个隔板,可把名额分成7份,对应地分给7个班级,每一种插板方法对应一种分法共有0;种分法。oooooooo0I0将n个相同的元素分成m份(n,m为正整数),每份至少一个元素,可以用m-1块隔板,插入n个元素排成一排的n-1个空隙中,全部分法数为C,3练习题:1 .10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法?C2 .+y+z+w=oo求这个方程组的自然数解的组数c,303七.多排问题直排策略例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法A2解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子
7、,可以把椅子排成一排.个特别元素有人4种,再排后4个位a1a5A2A1A5置上的特别元素丙有人4种,其余的5人在5个位置上任意排列有人5种,则共有人4人4八5种一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段讨练习题:有两排座位,前排11个座位,后排12个座位,现支配2人就座规定前排中间的3个座位不能坐,并且这2人不左右相邻,那么不同排法的种数是346八.排列组合混合问题先选后排策略例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有仁种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入4?不同的盒内有种方法,依据分步计数
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