常数项级数的收敛性及其判别法.ppt
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1、1/32第二节第二节 常数项级数收敛的判别法常数项级数收敛的判别法一、正项级数及其收敛性判别法一、正项级数及其收敛性判别法二、交错级数及其收敛性判别法二、交错级数及其收敛性判别法三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛四、小结、思考题、作业四、小结、思考题、作业2/32一、正项级数及其收敛性判别法一、正项级数及其收敛性判别法1.1.定义定义:,中各项均有中各项均有如果级数如果级数01 nnnuu这种级数称为正项级数这种级数称为正项级数.nsss212.2.正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件:基本定理(正项级数收敛判别法则)基本定理(正项级数收敛判别法则).ns正正项项级级数数收收
2、敛敛部部分分和和所所成成的的数数列列有有(上上)界界部分和数列部分和数列 为单调增加数列为单调增加数列.ns推广:推广:同号级数同号级数3/32 例例 1.判定判定 的敛散性的敛散性.1121nn解解121 n1211211212 nnSn2121212 n211 由基本定理知由基本定理知,故级数的部分和故级数的部分和,21n 1 该正项该正项级数收级数收敛敛.由于由于4/32且且),2,1(nvunn,若若 1nnv收收敛敛,则则 1nnu收收敛敛;反反之之,若若 1nnu发发散散,则则 1nnv发发散散.证明证明nnuuus 21且且 1)1(nnv设设,nnvu ,即部分和数列有界即部分
3、和数列有界.1收敛收敛 nnu均为正项级数,均为正项级数,和和设设 11nnnnvu3.比较判别法比较判别法nvvv 215/32nns 则则)()2(nsn设设,nnvu 且且 不是有界数列不是有界数列.1发散发散 nnv推推论论:若若 1nnu收收敛敛(发发散散)且且)(nnnnvkuNnkuv ,则则 1nnv收敛收敛(发散发散).).定理证毕定理证毕.比较判别法的不便比较判别法的不便:须有参考级数须有参考级数.6/32解解,1 p设设,11nnp.级级数数发发散散则则 P,1 p设设oyx)1(1 pxyp1234由图可知由图可知 nnppxdxn11pppnns131211 nnpp
4、xdxxdx12117/32 npxdx11)11(1111 pnp111 p,有界有界即即ns.p 则则级级数数收收敛敛 发散发散时时当当收敛收敛时时当当级数级数,1,1ppP重要参考级数重要参考级数:几何几何(等比等比)级数级数,p p-级数级数,调和级数调和级数.8/32证明证明,11)1(1 nnn,111 nn发发散散而而级级数数.)1(11 nnn发散发散级数级数9/324.4.比较判别法的极限形式比较判别法的极限形式:设设 1nnu与与 1nnv都是正项级数都是正项级数,如果如果则则(1)(1)当当时时,二级数有相同的敛散性二级数有相同的敛散性;(2)(2)当当时,若时,若收敛收
5、敛,则则收敛收敛;(3)(3)当当时时,若若 1nnv发散发散,则则 1nnu发散发散;,limlvunnn l00 l l 1nnv 1nnu10/32证明证明lvunnn lim)1(由由,02 l 对于对于,N,时时当当Nn 22llvullnn )(232Nnvluvlnnn 即即由比较审敛法的推论由比较审敛法的推论,得证得证.11/32设设 1nnu为为正正项项级级数数,如果如果0lim lnunn (或或 nnnulim),),则级数则级数 1nnu发散发散;如如果果有有1 p,使使得得npnun lim存存在在,则则级级数数 1nnu收收敛敛.1/pnvn取12/32解解)1(n
6、nnn3131lim nnn11sinlim ,1 原级数发散原级数发散.)2(nnn1sinlim nnn311lim ,1,311收敛收敛 nn故原级数收敛故原级数收敛.13/32则则1 时时级级数数收收敛敛;1 时时级级数数发发散散;1 时时失失效效.证明证明,为有限数时为有限数时当当,0 对对,N,时时当当Nn ,1 nnuu有有)(1Nnuunn 即即14/32,1时时当当 ,1时时当当 ,1 取取,1 r使使,11 NmmNuru,12 NNruu,1223 NNNurruu,111 mNmur收敛收敛而级数而级数,11收敛收敛 NnummNuu收敛收敛,1 取取,1 r使使,时时
7、当当Nn ,1nnnuruu .0lim nnu发散发散15/32达朗贝尔判别法的优点达朗贝尔判别法的优点:不必找参考级数不必找参考级数.,11发发散散级级数数例例 nn,112收敛收敛级数级数 nn)1(2.若用达朗贝尔判别法判定级数发散若用达朗贝尔判别法判定级数发散级数的通项级数的通项un不趋于零不趋于零.后面将用到这一点后面将用到这一点.1.适用范围:适用范围:中中nunn 或关于或关于含有含有!的若干连乘积的若干连乘积(或商或商)的形式的形式.,)1(时时 注注16/32,232)1(2nnnnnvu 例例,2)1(211收敛收敛级数级数 nnnnnu,)1(2(2)1(211nnnn
8、nauu 但但,61lim2 nna,23lim12 nna1limlim.nnnnnuau而不存在因为:因为:17/32解解)1(!1)!1(11nnuunn 11 n),(0 n.!11收敛收敛故级数故级数 nn18/32),(n)2(!1010)!1(11nnuunnnn 101 n.10!1发发散散故故级级数数 nnn)3()22()12(2)12(limlim1 nnnnuunnnn,1 比值判别法失效比值判别法失效,改用比较判别法改用比较判别法,12)12(12nnn ,112收敛收敛级数级数 nn.)12(211收收敛敛故故级级数数 nnn19/32例例.利用级数收敛性利用级数收
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- 关 键 词:
- 常数 级数 收敛性 及其 判别