专题7立体几何中的向量方法.docx

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1、专题8.7立体几何中的向量方法新课程考试要求1 .理解直线的方向向量与平面的法向量.2 .能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.3 .能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）.4 .会用向量方法求解两异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的问题.核心素养本节涉及的数学核心素养：数学运算、逻辑推理、直观想象等.考向预测（1）以几何体为载体，综合考查平行或垂直关系证明，以及角与距离的计算.（2）利用几何法证明平行、垂直关系，利用空间向量方法求角或距离.（3）利用空间向量证明平行或垂直是高考的热点，内容以解答题中的一问为主，主要围绕考查空间直

2、角坐标系的建立、空间向量的坐标运算能力和分析解决问题的能力命制试题，以多面体为载体、证明线面（面面）的平行（垂直）关系是主要命题方向.空间的角与距离的计算（特别是角的计算）是高考热点，一般以大题的条件或一小间形式呈现，考查用向量方法解决立体几何问题，将空间几何元素之间的位置关系转化为数量关系，并通过计算解决立体几何问题.距离问题往往在与有关面积、体积的计算中加以考查.此类问题往往属于“证算并重”题，即第一问用几何法证明平行关系或垂直关系，第二问则通过建立空间直角坐标系，利用空间向量方法进一步求角或距离.【知识清单】知识点1.利用空间向量证明平行问题1.直线的方向向量与平面的法向量的确定直线的方

3、向向量：/是空间i直线，力，3是直线/上任意两点，则称矶直线/的方向向量，与新行的任意非零向量也是直线/的方向向量.平面的法向量可利用方程组求出：设a。是平面a内两不共线向量，为平面。的法向量，则求法向na=0,量的方程组为八*b=0.2.用向量证明空间中的平行关系设直线/1和的方向向量分别为匕和则71/z（或/l与，2重合）=/V2.设直线/的方向向量为心与平面。共面的两个不共线向量匕和心则/。或/Ua=存在两个实数X,y,使v=xvl-yv2.设直线/的方向向量为匕平面a的法向量为ut则/。或/u=匕La设平面a和的法向量分别为必，u2t则QHB=UWU2.知识点2利用空间向量证明垂直问题

4、1 .用向量证明空间中的垂直关系设直线/l和Zi的方向向量分别为和V2,则hlzVVQVIV2=0.设直线/的方向向量为平面a的法向量为u,则IA.avu.设平面和的法向量分别为/和如则QI.Bou_LUQUiU2=0.2 .共线与垂直的坐标表示设ci=（囱，改,33）b=（A,bz,Z）,则abci=4Zx=a=4,=入庆,a$=4/（4R）,a-bfAa2Zc=0（c?,，均为非零向量）.知识点3异面直线所成的角1.两条异面直线所成的角定义：设。，力是两条异面直线，过空间任一点O作直线，/a,b,4则与b所夹的锐角或直角叫做。与人所成的角.范围：两异面直线所成角J的取值范围是（O,1./7

5、.h向量求法：设直线小人的方向向量为。，b,其夹角为%则有COSe=ICoS0=|1.IaH加知识点4.直线与平面所成角1.直线和平面所成角的求法：如图所示，设直线/的方向向量为e,平面的法向量为，直线/与平面所成的角为9，两向量e与的夹角为仇则有sin9=Icosq=KAIel1I1.求二面角的大小（1）如图1,AB.C。是二面角Q一/一夕的两个面内与棱/垂直的直线，则二面角的大小。=Cab,cb.（2）如图2、3,外,%分别是二面角。一/一的两个半平面出的法向量，则二面角的大小。=（或-).知识点6利用向量求空间距离1 .空间向量的坐标表示及运算(1)数量积的坐标运算设二(c11,2,3)

6、，b=(b,b?,83),则b=(b,。2功2,。3垃0；2。二(痴，a2f3)；ab=ab+。2岳+。3。3.(2)共线与垂直的坐标表示设二(c11,42，3)，b=b,b?,b3),则。方Oa=劝台”=劝1，S=肪2，的=我3(/对，a_Lb台。力=0台。1加+。2岳+。3历=0(。，b均为非零向量).(3)模、夹角和距离公式设=3,2，3)，b=b,b?,b3),则同=fcra=y?Aal,.ab0-+2岳+383由7由+届+-7从+虎+员设A(m,bl，Cl),8(。2，厉，C2)，则d.B=lA51=y(c2-al)2(Zj2-bl)+(c2-C1)2.2 .点面距的求法如图，设AB

7、为平面Q的一条斜线段，为平面Q的法向量，则B到平面Q的距离d=j4【考点分类剖析】考点一:利用空间向量证明平行问题【典例1】(湖北高考真题)如图，在棱长为2的正方体ABC。AMGA中，EEM,N分别是棱AB,AD,A1稣4。的中点，点R。分别在棱。，上移动，且。尸=8Q=%(0l2).(1)当a=1时，证明：直线BCJ/平面EFPQ.【答案】直线Ba平面E/PQ.【解析】以。为原点,射线DA,DCyDD1分别为x,y,z轴的正半轴建立如图3的空间直角坐标系。一盯Z,Ih已知得3(2,2,0),C1(0,2,2),厂(1,0,0),P(0,0,),所以前二(-2,0,2),而二(T,0,l),F

8、E=(UO),(1)证明：当;1=1时,而=(-1,0,1),因为斯=(-2,0,2),所以万C=2而，即3CJ/FP,而尸PU平面Eb尸。，且BGa平面ERPQ,故直线BC/平面EEPQ.【规律方法】利用空间向量证明平行的方法线线平行证明两直线的方向向量共线线面平行证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行面面平行证明两平面的法向量为共线向量；转化为线面平行、线线平行问题【变式探究】（选自天津高考真题）如图，在三棱锥P-ABC中，PA_L底面ABC,N84C=90.点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点，M是线段AD的中点,PA=AC=4,

9、AB=2.（I）求证：MN平面BDE；【答案】（I）证明见解析【解析】如图，以A为原点，分别以A8,AC,AP方向为X轴、y轴、Z轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1),N(1,2,0).(I)证明：DE=(O,2,O),DB=(.2,O,-2).设=(x,y,z),为平面BDE的法向量,则1二,即12v=.不妨设z=l,可得=(1,0,1).又MN-(1,2,-1),可得MN=().n-DB=O2x-2z=0因为MNa平面BDE,所以MN平面BDE.【总结提升】证明直线

10、与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为了数量的计算问题.考点二:利用空间向量证明垂直问题【典例2】(2021.浙江高二期末)已知正方体ABCO-AgGA，E是棱BC的中点，则在棱CG上存在点尸，使得()A.AFHDxEC.A尸平面CQED.AF_L平面GAE【答案】B【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为L写出点的坐标，用向量法确定线线平行与垂直，由向量与平行法向量的平行与垂直确定线面的平行与垂直.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体楼长为1,

11、则4(1,0,0),A(0,0,1),E(g,l,O),设尸(0,1,Z)(Ozl),贝IJAE=Wj-1),4F=(-l,l,z),因为昼工1，所以AEAE不可能平行，即AF,RE不可能平行，-1T11X4FD1E=-+l-z=0,Z=-,因此AfAE可以垂直，即A尸与AE可能垂直.C1(O,1J),AC=(OJO),设平面GDlE的一个法向量为=(X,y,z),AG=y=0则41,取x=2,则八=(2,0,1),nDiE=-x+y-z=OA尸与不可能平行，因此人厂与平面GAE不可能垂直，AFn=-2+z-2-t因此A户与G不可能垂直，因此AF与平面GDlE不可能平行,故选：B.【规律方法】

12、用空间向量证明垂直问题的方法线线垂直问题证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零线面垂直问题直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直面面垂直问题两个平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直【变式探究】在边长是2的正方体48CD-A4GA中，旦尸分别为A伐AC的中点.应用空间向量方法求解下列问题.(1)求EF的长证明：EF平面AAQQ；证明：Ek，平面ACO.【答案】(1)2.(2)见解析；(3)见解析.【解析】(1)如图建立空间直角坐标系ZA=(2,(),2),A=(2,(),O),B=(2,2,0),C=(0,2,0),D

13、1=(0,0,2)E=(2,1,0),F=(1,1,1)EF=(-1,OJ),EF=24分(2) .AD1=(-2,0,2).AD1IlEF而EFZ面ADD】A1.斯平面AAAo8分(3) vEFCD=0,EFA1D=O/.EFCD,EFlA1D又CDCAlD=D.石/_1平面4。.【总结提升】1.证明直线与直线垂宜，只需要证明两条直线的方向向量垂直，而直线与平面垂直，平面与平面垂直可转化为直线与直线垂直证明.2 .要证明两线垂直，需转化为两线对应的向量垂直，进一步转化为证明两向量的数量积为零，这是证明两线垂直的基本方法，线线垂直是证明线面垂直，面面垂宜的基础.3 .证明线面垂直，可利用判定定

14、理.如本题解法.4 .用向量证明两个平面垂直，关键是求出两个平面的法向量，把证明面面垂直转化为法向量垂直.考点三:异面直线所成的角【典例3】(2021天津高二期末)如图，在棱长为1的正方体ABC。-AiBiGQ中，E,尸分别为。BD的中点点G在Co上且CG=IeD(I)求证：EFLBC(2)求EF与GG所成角的余弦值.【答案】(1证明见解析；(2) 叵.17【解析】如图建立空间直角坐标系，(I)利用空间向量证明，(2)利用空间向量求解【详解】以。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-QZ则 E (0,0,1),产(器,0),C(Ho),与(LU),G(0,l,l),G(0弓,0),Ulillll(1) /EF =B,C = (-l,0-1),UKl UUU： EF BC = O;. EF 上 BC ,UuLr 1(2)由(1)知GG = (O,-7一1),I 翳=J+(T)2 =平，UiM Hiir ill3EFC1G = -O+-()+ ()x(-1) =