专题14-一次函数中的最值问题(解析版).docx
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1、专题十四一次函数中的最值问题考点一坐标系中两点之间的距离最值问题【方法点拨】点到直线的垂线段最短;两点之间线段最短。【思路点拨】当线段最短时,P8与直线y=%+m垂直,根据解析式即可求得C、。的坐标,然后根据勾股定理求得CQ,然后根据三角形相似即可求得P8的最短长度.【解析】解:当线段最短时,PB工CD,如图所示:由直线y=-x+m可知,直线与坐标轴的交点为C(-孙O),D(0,m),:*OC=m,OD=m,CD=而,点尸的坐标为(2,0),*PC=2+?,丁/PCB=NOCO,/PBC=/DoC=90,,丛PBCS丛DoC,.PBPCnPB2+mBCDm:.PB=_/十一2in【点睛】本题考
2、查了垂线段最短的性质,一次函数图象上点的坐标特征,勾股定理的应用,三角形相似的判定和性质,熟知垂线段最短是解题的关键.2如图,点P在第一象限,AABP是边长为2的等边三角形,当点A在X轴的正半轴上运动时,点8随之在y轴的正半轴上运动,运动过程中,点P到原点的最大距离是1+3若将AABP的抬边长改为227另两边长度不变,则点P到原点的最大距离变为+5,【思路点拨】根据当。到AB的距离最大时,OF的值最大,得到。到A8的最大值是78=1,此时在斜边的中点M上,由勾股定理求出PM,即可求出答案;将AABP的PA边长改为无,另两边长度不变,根据22+22=(22,得到PBA=90,由勾股定理求出PM即
3、可【解析】解:取A8的中点M,连OM,PM,在RtOl,OM=黑=1,在等边三角形ABP中,PM=3无论aABP如何运动,OM和PM的大小不变,当OM,/W在一直线上时,f距O最远,1Y。到AB的最大值是FB=L2此时在斜边的中点”上,由勾股定理得:PM=22-I2=37AOP=1+37将aAOP的PA边长改为22,另两边长度不变,V22+22=(2砂,ZP=90o,由勾股定理得:PM=12+22=57,此时OQ=OM+PM=I+-5.故答案为八1+3,1+5.【点睛】本题主要考查对直角三角形斜边上的中线性质,坐标与图形性质,三角形的三边关系,勾股定理的逆定理等边三角形的性质等知识点的理解和掌
4、握,能根据理解题意求出Po的值是解此题的关键.考点二坐标内的线段和(差)最值问题【方法点拨】运用“将军饮马”模型和最小,差最大31.如图,已知点A的坐标为(0,1),点B的坐标为(初-2),点尸在直线y=-X上运动,当照-P855A.(2,-2)B.(4,-4)C.(-,一亍)D.(5,-5)22【思路点拨】根据轴对称的性质及待定系数法可求得答案.【解析】解:作4关于直线y=-X对称点C,易得C的坐标为(L0);连接BC可得直线BC的方程为y=-x-55求BC与直线.y=-%的交点,可得交点坐标为(4,-4);此时俨A-PBl=IPC-F阴=BC取得最大值,其他BCp不共线的情况,根据三角形三
5、边的关系可得PC-PBNC中,由勾股定理得:DC=JI2+(亨)2=于JTT即PA+PC的最小值电.【点睛】本题考查了三角形的内角和定理,轴对称-最短路线问题,勾股定理,含30度角的直角三角形性质的应用,关键是求出尸点的位置,题目比较好,难度适中.3.如图所示的平面直角坐标系中,点A的坐标是(4,4)、点8的坐标是(2,5),在X轴上有一动点P,要使PA+PB的距离最短,则点P的坐标是_(-鼻,0)_.个B(2,5)A(-4,4)5-4-3-2-1-5-4-3-2-1Ol2345-1- -2-3-4-5-【思路点拨】先作出点A关于轴的对称点A1,再连接A1B,求出直线的函数解析式,再把),=0
6、代入即可得.【解析】解:作点A关于X轴的对称点4(-4,-4),连接A/交X轴于P,-8的坐标是(2,5),直线48的函数解析式为y=L5x+2,把夕点的坐标(,0)代入解析式可得【点睛】此题主要考查轴对称-最短路线问题,综合运用了一次函数的知识.4 .如图所示,四边形OABC为正方形,边长为6,点4、C分别在X轴,),轴的正半轴上,点。在。4上,【思路点拨】作出。关于08的对称点。,则的坐标是(0,2).则尸。十%的最小值就是AD的长,利用勾股定理即可求解.【解析】解:作出。关于08的对称点。,则。的坐标是(0,2).则PD+的最小值就是40的长.则OD=2,因而A。=0D2+OA2=436
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- 专题 14 一次 函数 中的 问题 解析
