《概率论与数理统计》第一章-习题及答案.docx

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1、概率论与数理统计第一章习题及答案习题1.11 .将一枚匀称的硬币抛两次，事务AB,C分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事务A,B,C中的样本点。解：=(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)A=(正，正)，(正，反)；B=(正，正)，(反，反)C=(正，正)，(正，反)，(反，正)2 .在掷两颗骰子的试验中，事务48,C力分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”,“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事务48,4十民无。,6。,人一8-。一。中的样本点。解：=(1,1),(1,2),(1,6),(2,1),

2、(2,2),(2,6),(6,1),(6,2),(6,6)；AB=(1,1),(1,3),(2,2),(3,1)：A+B=(1J),(1,3),(1,5),(6,2),(6,4),(6,6),(1,2),(2,1)；AC=;BC=(1,1),(2,2)；A-B-C-D=(1,5),(2,4),(2,6),(4,2),(4,6),(5,1),(6,2),(6,4)3 .以A8,C分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用A,B,C表示以下事务：(1)只订阅日报;(2)只订日报和晚报;(3)只订一种报；(4)正好订两种报；(5)至少订阅一种报；(6)不订阅任何报；(7)至多订阅一种报；(8)三

3、种报纸都订阅；(9)三种报纸不全订阅。解：(1) ABC；(2) ABC；(3) ABC+ABC+ABCi(4) ABC+ABC+ABC;(5) A+BC;(6) ABC;(7) ABC+ABC+ABC+ABCAB+AC+BC(8) ABC；(9) A+B+C4 .甲、乙、丙三人各射击一次，事务4,七，分别表示甲、乙、丙射中。试说明F列事务所表不的结果：A2,A2+A3,AA2,A1+A2,AAO944,+A,A3+AA3解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。5 .设事务4,8,C满意

4、ABCw中，试把下列事务表示为一些互不相容的事务的和：AB+C,AB+CfB-AC.解：如图:A+B+C=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC;AB+C=ABC+C;B-AC=ABC+ABC+ABC=BA+ABC=BC+ABC6 .若事务4,8,。满意4+。=8+。，试问A=B是否成立？举例说明。解：不肯定成立。例如：A=3,4,5,B=3,C=4,5,那么，A+C=8+C,但AW8。7 .对于事务A,8,C,试问A-(B-C)=(A-3)+C是否成立？举例说明。解：不肯定成立。例如：A=3,4,5,B=4,5,6,C=6,7,那么A-(BC)=3,但是(AB)+C=3,6,

5、7。8 .设P(G=g,P(B)V,试就以下三种状况分别求尸(3彳)：(1)AB=f(2)Au3,(3)P(AB)=SO解HTV(1) P(BA)=P(B-AB)=P(B)-P(AB)=-；2(2) P(BA)=P(B-A)=P(B)-P（八）=-；6_113(3) P(BA)=P(B-AB)=P(B)-P(AB)=-o2889.已知P（八）=P(B)=P(C)斗P(AC)=P(BC)=-fP(AB)=O求416事务A3,C全不发生的概率。解：P(ABC)=p(+B+c)=l-P(A+C)=1-P（八）+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)11IICl1八13=

6、1I10F0=4441616810 .每个路口有红、绿、黄三色指示灯，假设各色灯的开闭是等可能的。一个人骑车经过三个路口，试求下列事务的概率：A=三个都是红灯”=“全红”；B=“全绿”；C=“全黄”；D=“无红”；E=“无绿”；F=三次颜色相同；G=颜色全不相同”；H=颜色不全相同”。解:P(A) = P(B) = P(C)=333=；P(D) = P(E)=2228333 27333 91QP（三）=P(F)=I=-9911 .设一批产品共100件，其中98件正品，2件次品，从中随意抽取3件(分三种状况：一次拿3件；每次拿1件，取后放回拿3次；每次拿1件，取后不放回拿3次)，试求：(1) 取

7、出的3件中恰有1件是次品的概率；(2) 取出的3件中至少有1件是次品的概率。解：一次拿3件：(1)P=Gg=O.0588；(2)P=生力=O0594；每次拿一件，取后放回，拿3次：2XQR2QS3(1)P=3=0.0576；(2)P=Ir=0.0588；1()031003每次拿一件，取后不放回，拿3次：1999812 .从0,1,2,9中随意选出3个不同的数字，试求下列事务的概Al=三个数字中不含0与5,A2=三个数字中不含0或5o解：P(A2)=13 .从。,L2,9中随意选出4个不同的数字,计算它们能组成一个4位偶数的概率。解：P53-4 4114 .一个宿舍中住有6位同学，计算下列事务的

8、概率：(1)6人中至少有1人生日在10月份；(2) 6人中恰有4人生日在10月份；(3) 6人中恰有4人生日在同一月份；解：116f4112(1)P=I-三0.41；(2)P=6-0.00061；126126/-P.C74(3)r=7=U.UU/312615.从一副扑克牌（52张）任取3张（不重复），计算取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率。解O.或Pd弩u062习题1.21 .假设一批产品中一、二、三等品各占60%,30%、10%,从中任取一件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率。解：令A=取到的是i等品，i=l,2,32 .设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件，已知所取2件产品

9、中有1件不合格品，求另一件也是不合格品的概率。解:P(AB) P(B)P(A) - I-P(A)令A=两件中至少有一件不合格，B=两件都不合格”P(BlA)二3 .为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统I和H。两种报警系统单独运用时，系统I和II有效的概率分别0.92和0.93,在系统I失灵的条件下，系统II仍有效的概率为0.85,求(1) 两种报警系统I和II都有效的概率；(2) 系统11失灵而系统I有效的概率；(3) 在系统11失灵的条件下，系统I仍有效的概率。解：令A=”系统(I)有效，B=系统(II)有效”则P（八）=0.92,P(B)=0.93,P(BA)=0.85(1) P(AB

10、)=P(B-AB)=P(B)-P(AB)=P(B)-P（八）P(BIA)=0.93-(1-0.92)0.85=0.862(2) P(BA)=P(A-AB)=P（八）-P(AB)=0.92-0.862=0.058(3) P(AIK)=)二58三0.8286P(B)1-0.93(4) 0P（八）vl,证明事务A与B独立的充要条件是P(BA)=P(BIA)证：4与B独立，.3与B也独立。.P(BIA)=P(B),P(BIA)=P(B).P(BA)=P(BA)U：0P（八）1.0P（八）0,P(B)0,则有(1) 当A与B独立时，A与8相容；(2) 当A与B不相容时，A与B不独立。证明：P（八）0,P

11、(B)0(1)因为A与B独立，所以P(AB)=P（八）P(B)0fA与8相容。(2)因为P(AB)=0,而P（八）P(B)0,/.P(AB)P（八）P(B),A与B不独立。7 .已知事务A,3,C相互独立，求证AUB与。也独立。证明：因为A、B、。相互独立，P(AB)C=P(ACUBQ=P(AQ+P(BC)-P(ABC)=P（八）P(C)+P(B)P(C)-P（八）P(B)P(C)=P（八）+P(B)-P(AB)P(C)=P(AUB)P(C).AUB与C独立。8 .甲、乙、丙三机床独立工作，在同一段时间内它们不须要工人照看的概率分别为0.7,0.8和0.9,求在这段时间内，最多只有一台机床须要

12、工人照看的概率。解：令4,A2,A3分别表示甲、乙、丙三机床不须要工人照看，那么P(A1)=0.7,P(A2)=0.8,P(A3)=0.9令8表示最多有一台机床须要工人照看，那么P(B)=P(A1A2A3+A1A2A3+A1A2A3+A1A2A3)=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)=0.7X0.8X0.9+0.3X0.8X0.9+0.7X0.2X0.8+0.7X0.80.1=0.9029 .假如构成系统的每个元件能正常工作的概率为,(称为元件的牢靠性)，假设各元件能否正常工作是相互独立的，计算下面各系统的牢靠性。系统I2A=第i个元件正常工作，i=

13、12,2P（八）=P，A，4,，42”相互独立。那么P（八）=p(A2.A11)(4+1Art+2-A2m)=H(A44)p(+1aw+2.a2jJ-P(A1A2-A2h)=11p（八）+11p（八）-11（八）Z=Ii=+1Z=I=2Pn-P2n=Pn(2-P,)P(B)=P(A+AeXA2+A/2)(+4“)1注：利用第7题的方法可以证=11P(4+a-)明(Aj+An+i)与(4+An+j)ij时独立。=IllP（八）+P(A)-P(A,)P(AM)r=l=Y2P-P2=Pn(2-P)n1010张奖券中含有4张中奖的奖券，每人购买1张，求（1）前三人中恰有一人中奖的概率；（2）其次人中奖的概率。解：令4=第i个人中奖”，i=l,2,3（1）P(AiA2A3A1A2A3+A1A2A3)=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)=P（八）尸(41A)P(AlAH)+P（八）尸(41A)P(A31)+P（八）P(AIA1)P(A3IA1A)-1