专题07 全等三角形八大模型必考点（解析版）.docx

《专题07 全等三角形八大模型必考点（解析版）.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题07 全等三角形八大模型必考点（解析版）.docx（47页珍藏版）》请在优知文库上搜索。

1、专题七全等三角形八大模型必考点【人教版】【考点1一线三等角构造全等模型】【考点2手拉手模型-旋转模型】【考点3倍长中线模型】【考点4平行线+线段中线构造全等模型】【考点5角平分线+垂直构造全等模型】【考点6正方形中的半角模型】【考点7等腰三角形中的半角模型】【考点8对角互补且一组邻边相等的半角模型】【考点1一线三等角构造全等模型】方法点拨：“一线三等角模型“最关键的要点就是证明角相等，(1)三垂直：利用同角的余角相等(2)一般角：利用三角形的外角的性质1.阅读理解，自主探究：“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为90。，于是有三组边相互垂直.所以称为“一线三垂直模型

2、”.当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形.(1)问题解决：如图1,在等腰直角AABC中，NACB=90,AC=BC,过点C作直线。2AD_1.。石于。，BE1.DEE,求证：AADC咨ACEB；(2)问题探究：如图2,在等腰直角4A5C中，NAC5=90,AC=BC,过点C作直线CE,AD，。石于O,BECEAD=2.5cm,DE=IJcmf求的长；(3)拓展延伸：如图3,在平面直角坐标系中，A(-1,0),C(1,3),ZABC为等腰直角三角形，ZACB=90o,AC=BC,求B点坐标.解：（1）证明：JAD1.DE,BE1.DE,：.ZADC=ZCEB=90o,VZAC

3、B=90o,ZACD+ZECB=90o,ZDAC+ZACD=90o,.ZDAC=ZECB,在aAOC和ACEB中，rZADC=ZCEB,Zdac=Zecbj1.AC=CBADCACEB(AAS)；(2)解：BE1.CE,AD1.CE,ZADC=ZCEB=90o,ZCBE+ZECB=90o,VZACB=90,ZECB+ZACD=90o,.*.ZACD=ZCBEf在aAOC和aCEB中，rZADC=ZCEB Zacd=Zcbej1.AC=CBADCACEB(AAS),：AD=CE=25cm,CD=BE,：.BE=CD=CE-DE=2.5-1.7=0.8(cm),即BE的长为0.8cm；(3)解：如

4、图3,过点。作直线/X轴，交y轴于点G,过A作AE1.于点E,过B作皮于点R交X轴于点凡贝UNAEC=NCFB=NAC3=90,VA(-1,O),C(1,3),：.EG=OA=I,CG=I,FH=AE=0G=3,.CE=EG+CG=2,VZACE-ZEAC=90o,NACE+NFCB=90,：/EAC=/FCB,在AAEC和aCFB中，rZAEC=ZCFB Zeac=Zfcb,AC=CBAECCFB（AAS），：.AE=CF=3,BF=CE=2,：.FG=CG+CF=1+3=4,BH=FH-BF=3-2=1,5点坐标为（4,1）.图32.如图，已知A(3,O),B(0,-1),连接AB,过B点

5、作AB的垂线段BC,使BA=BC连接AC.(1)如图1.求C点坐标；(2)如图2,若P点从A点出发沿X轴向左平移，连接作等腰直角ABPQ,连接C。，当点P在线段QA上，朋与C。有何位置和数量关系，猜想并证明；(3)在(2)的条件下若C、P,。三点共线，求此时NAPB的度数及P点坐标.图1图2解：（1）如图1,过C作CH1.y轴于则NBCH+NC3H=90,：ABBCf：.ZABO+ZCBH=90o，：.ZABO=NBCH,在4A50和4BS中,rZABO=ZBCHZaob=Zbhc,1.AB=BCAABOBCH(AAS),：BH=OA=3,CH=OB=I,：0H=OB+BH=4,图1图2(2)

6、 CQ=AP,CQ1.AP.证明：如图2,延长CQ交X轴于D交A5于,VZPB=ZABC=90o,.,.ZPBQ-NA5Q=ZABC-ZABQf即NPBA=ZQBCf在?处1和4Q5C中，rBP=BQZpba=Zqbc,1.BA=BC：.PBAAQBC(SAS),.PA=CQ,ZBAp=ZBCQ,又.NAED=NCEB,1.NADE=NCBE=90,BPCD1.AD,：.CQAP;(3) .45R2是等腰直角三角形，ZBQP=45,当C、P,。三点共线时，ZBQC=135o,由(2)可知，APBA注AQBC,：.ZBPA=ZBQC=135o,ZOPB=180-135=45,：0P=OB=P点坐

7、标为(1,O).3.如图1,直线AB分别与X轴、y轴交于A、B两点，OC平分NAOB交AB于点。，点。为线段AB上一点，过点。作。EOC交y轴于点,已知Ao=机，BO=n,且根、满足川一12+36+|九(1)求A、8两点的坐标;(2)若点。为AB中点，延长OE交X轴于点F在即的延长线上取点G,使DG=DF,连接BG.BG与y轴的位置关系怎样？说明理由；求。尸的长；(3)如图2,若点尸的坐标为(10,10),E是y轴的正半轴上一动点，尸是直线AB上一点，且P点的坐标为(6,-6),是否存在点E使为等腰直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明理由.解：(1)n2-12n+36+n-2m=

8、0,：Qn-6)2+n-2m=0, n6=0,Ti2m=O, 川=6,m=3,AA(3,O),B(0,6)；(2)5G_1.y轴.在45OG与aAO尸中，BD=DA,ZBDG=ZFDA,DG=DF,：.BDGADF(SAS),：.BG/AF.TA尸，y轴，ABGXy轴.由可知，BG=FA,瓦汨为等腰直角三角形.：.BG=BE.设=x,则有OE=%, 3+x6-Xf x=1.5，即：OF=1.5；(3)要使AEF尸为等腰直角三角形，必有EF=EP,且N尸EP-90,如图，过八P分别向y轴作垂线垂足分别为V、N.NFEM+NPEN=9C,又FEM+NMFE=90,.,.NPEN=ZMFE,：.Rt

9、AFME注RENP(H1.),：ME=NP=6,AOE=IO-6=4.即存在点(0,4),使b为等腰直角三角形.【考点2手拉手模型-旋转模型】方法点拨：手拉手模型有一个特点，就是从一个顶点出发，散发出来的四条线段，两两相等(或者对应成比例)，然后夹角相等。若两两相等，就出三角形全等。1.如图在平面直角坐标中，点A和点B的坐标分别为(1,3)和(2,0),点C为X轴上点B右侧的任意一点，以AC为腰向右上方作等腰aAS,使NeAO=NQAB,AD=AC,直线与y轴交于点P.(1)求证：AO=AB;(2)求证：AOCABD;(3)直接写出当点C运动时，点P在y轴上的位置是否发生改变？yAAVA(1,

10、3),B(2,O),.*.OE=1,BE=2-1=1,.,.OE=BE,在AAEO与aAEB中，rOE=BE,NAEo=NAEB=90，1.AE=AEAEOAEB(SAS),：.AO=AB;(2)证明：ZCAD=OAB,：.CAD+ABAC=ZOAB+ABAC,即NBAD=NoAC,在AAOC与4A5O中，rAO=AB,Zoac=Zbad,1.AC=ADAOCABD(SAS)；(3)解：点P在y轴上的位置不发生改变.理由：设NAOB=NA=,由(2)知.*.ZABD=ZAOB=a, ：0B=2,ZOBP=ISOo-ZABO-ZABD=ISOo-2为定值，又.NR95=90, 0尸长度不变， 点

11、尸在y轴上的位置不发生改变.2.在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形.兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”.因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”.(1)如图1,ZkABC与aAOE都是等腰三角形，AB=AC,AD=AEf&ZBAC=ZDAEf则有BADACAE.(2)如图2,已知AABC以AB、AC为边分别向外作等边AABD和等边AACE,并连接CD,则N50。=60.(3)如

12、图3,在两个等腰直角三角形AABC和aAOE中，AB=AC,AE=ADfNBAC=NDAE=90,连接班),CE,交于点P,请判断5。和CE的关系，并说明理由.解：(1)VZBAC=ZDAE,：./BAD=NCAE,XVAB=AC,AD=AE,：.BADACAE(SAS),故答案为：ABAD,ACAE；(2) 和是等边三角形，：.AB=AD,AC=AE,ZBAD=ZCAE=60o,.*.ZDAC=NBAE,：.DACABAE(SAS),.*.ZADC=NABE,VZADC+ZBDC+ZABD+ZDAB=ISOo，ZABE+BDC+ZABD+ZDOB=180o,ZDAB=ZBOD=60o,故答案

13、为：60；(3) BD=CE,BD1.CE,理由如下:VZBAC=ZDAE=90,JABAC+BAE=NDAE+NBAE,即NeAE=ZBAD,在aA5O和aACE中，rAB=ACZbad=Zcae,1.AD=AEABDAACE(SAS),IBD=CE,ZABD=ZACe,YNBPC+NABD=ABAC+ZACE,ZBPC=ZBAC=90,：.BD1.CE.3.如图，itABC,AC=IO.(1)如图，分别以AB,BC为边,向外作等边aABO和等边4BCE,连接AE,CD,则AE=CD(填“V”或“=”)；(2)如图，分别以AB,BC为腰，向内作等腰4A5O和等腰4BCE,NABD=NC5石且

14、小于工2ZABC,连接A,CD,猜想AE与S的数量关系，并说明理由；(3)如图，以AB为腰向内作等腰AABD,以BC为腰向外作等腰4BCE,且NABD=NCBE,已知点A到直线OE的距离为3,AE=I2,求。石的长及点O到直线AE的距离.解：(1)YAABD和ABCE为等边三角形，：.BD=BA,BC=BE,/DBA=/CBE,：.ZDBA+ZABC=ACBE+AABC,即NDBC=NABE,在ADBC和AAHE中，rBD=BA,Zdbc=Zabe,BC=BE.DBCABE(SAS),：.AE=CDf故答案为：=；(2) AE=CD,理由如下：AABD和ABCE为等腰三角形，：.BD=BA,BC=BE,.NDBA=NCBE,：.NDBA+NDBE=NCBE+NDBE,即ZABE=ZDBC,在ADBC和AAHE中，rBD=BA,NDBC=NABE，1.BC=BE：.DBCAABE(SAS),.AE=CD.(3) .A5O和4BCE为等腰三角形，且NABo=NC8E,BD=BA,BC=BE,