函数的幂级数展开.docx

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1、教案函数的募级数展开复旦大学陈纪修金路1. 教学内容高数的塞级数（Tay1.or级数）绽开是数学分析课程中最重要的内容之一，也是整个分析学中最有力的工具之。通过讲解将函数绽开成呆级数的各种方法，比较它们的优缺点，使学生在充分相识函数的席级数绽开的重要性的基础上，驾驭如何针对不同的函数选择最简洁快捷的方法来绽开帮级数，提高学生的计算与运算实力。2. 指导思想（1）函数的耗级数（TayIOr级数）绽开作为一个强有力的数学工具，在分析学中占有举足轻重的地位。通常的数学分析教科书往往留意于讲解解级数的理论，而忽视了讲解将函数绽开成寨级数的方法，这样简洁造成学生虽然驾驭了察缎数的基本理论，但在实际计算中

2、，即使对T一个双简洁的函数.在求它的帮级数绽开时也会感到很困难，这种状况必需加以变更。（2）求函数的事级数绽开是每个数学工作者时时会遇到的问题，虽然我们有函数的察级数绽开公式（见下面的（D式），但般来说，干脆利用（*式来求函数的琳级数绽开往往很不便利，因此有必要向学生介绍一些便利而好用的见级数绽开方法，提高学生的实际计竟实力，这也是我们在数学分析课程中推行素养教化的一个不行忽视的环节。3. it学支配首先回顾在讲解并描述郝级数理论时已学过的相关内容：设函数f）在口的某个邻域a刈r）中能绽开杼级数，则它的辕级数绽开就是/（X）在油的Tay1.or级数：（*/（八）=力，-），（-A0）,XG（X

3、xn,r）.M”！另外我们已得到了以下些基本的降级数绽开式：(1) /U)=e=X(-8,+8).,X2F=I+x+2;曳(2) =SinX=/，一吃/“劭2+1)!=X+3!+(-1.)-一+，(-,+8)。(2j+1.)!(3)/(X)=COSX=(2n)!2!4!+(-ir(2rt);X(-.+8)。/(x)=arctanx=-1/（八）=(1+),U0是跖意实数。当是正整数，”时X-1,IhXe(TJ1。f(X)=(I+)m=I+OTX+二!.!/+/Uw1.+m,X(-8,+8)即它的事级数绽开就是二项赢开，只有有限项。当不为O和正整数时，,/A-G(-1.1),当aM-1,(1+)

4、a=an.xe(-i,1.当-1.a0设函数r(K)在询的某个邻域OCmr)中随意阶可导，要求它在。(班r)中的轴级数绽开，一起先就考虑利用公式*)往往不是明智之举。下面我们通过详细实例介绍靠级数绽开的一些便利而好用的方法：1.通过各种运算与变换，将函数化成已知零级数就开的函数的和.例1求/(X)=!一-在X=O的罂级数绽开。3+5x-2-解利用部分分式得到/()=1.1.+_,21.X7U+2J3)再利用(6)式(a=-1.),得到例2求/(X)=Sin1.r在X=M的界级数绽开.6解/(x)=sin5x=-sin.v-sin3x=-sin+(X-)-cos3(-)444k66；46乙、33

5、利用(2)式与(3)式，即得到y-(-)2n*-1(232-d(x-)2,(-oo,+oo).SI)68(2n)!6例3求/(X)=Inx,(x0)关丁变量三的弊级数绽开。.v+1解令=则=H.(Oo.2+12+1.v+1.2 .对已知零级数转开的函数进行逐项求导或逐项积分.例4求/(x)=A在X=I的某级数绽开。Xz解由3=ME2*f利用逐项求导，即可得到=-gt(x)=i(x-1,=+IXx-DAe(0.2).H*1.mO例5求/()=arcsinx在X=O的察级数绽开。解利用式(a=-),可知当XW1.1.,1)时，=1+1.+2+.+-1.)Hi,+.28(211)!对等式两边从。到X

6、枳分，利用零级数的逐项可积性与frdrII-QfcsinaJQW即得到arcsinx=t+-I/Xee.小其中关于班级数在区间端点X=I的收敛性，可用RaabC判别怯得到。特殊,取x=1.,我们得到关于n的个级数表示：11,(211-1.)!I=I+O2(20!2+13 .对形如f(x)g(r),上的函数，可分别用CaUCh、乘积与“待定系数法”.g()设/Cr)的箱级数绽开为4x,收敛半径为R,g(x)的事级数绽开为.AF-O-O收敛半径为4,则x)g(x)的吊级数绽开就是它们的Cauchy乘枳:/(x)g(x)=(CO=鲁.bOnci=1V11.,nC1.=，二二恒.,分别X的件次解的系数

7、，可依次得到加Ie=boa+bco=aboa+bc=G干脆若下去，可求得全部的。“。例6求einx的解级数绽开(到x5).解esin.r=(1.+.v+-+2!,13=x+Ar+-r3XX+3!4!一X30X*X+)(x-+:)3!5!由于d与SinX的收敛半径都是/=8,所以上述塞级数绽开对切x(-8.+8)都成立。求IanX的级数绽开(到3).由于Ianx是奇函数，我们可以令SinX,.COSXtanx=CIX+ex+CSy+，rX十3!5!于是(CIX+OA,+C55+)(1+；)=2!4!比较等式两端X,/与N的系数，就可得到,12C1.=1,C=-,C5=因此(an.t=x+-j+x

8、5315“代入法”对于例7,我们还可采纳如下的“代入法”求解:在0=1+M+M2*-11中，以=三一二+代入，可得到2!4!11zXfcX、，ATX、2=1+(+)+(+)*COSX2!4!2!4!=I+F+-X4，24然后求sinX与的Cauchy乘积，同样得到上述关于tanK的幕级数绽开。COSX须要向学生指出的是，利用“待定系数法”与“代入法”求幕级数绽开，我们目前无法得到它的收敛范围，而只能知道在X=XU的小邻域中，事级数绽开是成立的(事实上，tanK的密级数绽开的收敛范围是四)，它的证明须要用到更22变函数的学问)。“代入法”常常用丁复合函数，例如形如e拉)，1.n(1.+/(X)等

9、函数的求扉级数绽开问题。例8求/a)=。*在X=O的事级数绽开(到/)解以=sinx=S上U1.x2。“=*一4-+代入M1+1)!6!f(x)-e,n=ysinX-1+sin.V+-si2.r+-sirX+sin*+,七！2624即可得到f(x)=ein,=1+-x2-x*+.X(-oo,+)o28注对于求函数在X=O的察级数绽开问题，我们不能采纳以M=COS.v=1.-1.t2+-x4代入/(X)=力W?的方法，请学生思索为什Z/4i.0么，并思索应当怎样正确运用“代入法例9求m包丝的得级数绽开(到f),其中函数也应理解为XX/(X)=x0.X=0.解首先，利用SinX的解级数绽开，可以得

10、到sinX.x2x4=J-VW+MBMVX3!5!，423令=-代入1.n(1.+)=-+-.即得3!5!23_二_6180利用例9,我们可以得到一些好玩的结果.在前面我们已得到等式2=11(1-,Xk两边取对数，再分别将In(I-E,)绽开成级数，r11*.sinx,/、zX21X*、In=11(1-)=-(-r+彳-r+)。XU111177nn2n11将上式与本例中的结果相比较，它们的T系数,f系数都对应相等，于是就得到等式,-I*-I1126,11,a90假如我们在计算时更精细些，也就是将In独”的招级数绽开计算到产，炉,X还可以获得4，1，的精确值。留意点1 .假如/(x)在与邻域的事

11、级数绽开存在，则符级数必定是它在.gft9Tay1.or级数(*)；但反之则不然。事实上，我们举出过在X=.%随意阶可导的函数f(x),它在人的Tay1.or级数并不收敛丁/(X)。但一般来说，对于有解析表达式的初等函数/(.0,只要它在K=Xo随意阶可导，则它在与的Tay1.Or级数就是它在飞邻域的辕级数绽开。2 .要让学生.知道，遇到求函数的班级数绽开问题，不要首先想到用(*)式。事实上，上面我们介绍的求品级数绽开的一些方法，比起干脆利用公式(*)来都要便利，而学生应当学会如何在上述方法中选择一种最便利最快捷的方法。3 .二版来说，利用“待定系数法”与“代入法”求辕级数绽开，我们往往只能求出呆级数的初始儿项，而不易求出辕级数的般项，也不易求出辕级数的收敛半径。但是对了很多详细问题，只要求出吊级数的初始几项就够/,例如例9中的问题。关于哥级数的收敛半径，等学生学习了第变函数课程后就很简洁确定。