抛物线与其性质知识点大全.docx

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1、抛物线及其性质1 .抛物线定义，平面内到行定点I：和一条定直线/的闲国相等的点的轨迹称为他物线.2 .抛物线四种标准方程的几何性质：图形-T*4k市冬4tP几何意义冬敦P表示低点到渔货的距离，P岫大，开口越翔.开口方向右左上T标准方程y=2pxtp0)yt=-2px(p0)X2=2pyp)X1=-2py(p0)供点位X正X负丫正Y烝点坐标(f.)(-f.)(。苧(-f)*浅方桓x=-P2X=E2I2T2危IexO,yG?x().yGRyO.xGKO,.ve对你轴X.铀X轴YrtY轴If1.点坐标(0.0)需心率e=1.通径2pA1(x,i)f=x+-2AF=-X+12AF=V1+2AF=-V1

2、+M2焦点就长A8(x1.+X2)+P-x1+/)+/，CK+)U+P一(X+)+P焦点强长同用的补充A(%,y)B(”2)以八8为五径的圆心与港我/加切若A8的倾斜角为,|人用一口.若AS的做转角为a.则IAM=cosaP2、Vt2=1.2=-J1AF+BFAB2AFBFAFIiFAFRFp3.抛物线y2=2zt(p()的几何性质IU)范阚：因为po,由方程可知NO,所以抛物线在轴的右1乩当K的值增大Br.)，也增大,说明她物观向右上方和右下方无限延K.(2)对称性：对称轴要看一次项，符号确定开口方向.(3)顶点(0,0)，离心率：e=,拓点尸准找x=_f,焦准距p.(4)焦点弦：他物税V=

3、2/)x()的焦点弦AB(-1,y1.),B(xi,y1.),J!AB=i+.v1+p.弦长IAB=x,+x,+p,当x,=x：时，通径最短为2p.4.焦点弦的相关性质：焦点弦ABA(x1.,y1.),B(x2,y2),焦点户(,0)若AB是附物缓尸=2阙p0)的焦点弦(过焦点的弦),K(x1.y1).B(a,).VA：出=?,y1.y2=-p若AB是抛勒线产=2pWp0)的焦点弦，11.直线AB的忸斜角为,则|八*=W(0).11m112ctIIAF4RFAR9(3)已知直线AB是过抛物税尸=2pM0)焦点F,二，+士=芸:二=-=-AFBFAFBFAFBFp(4)焦点弦中通径用短长为2p。

4、通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径.(5)两个相切：以抛物线焦点弦为直径的阀与准线相切.过枪物线焦点弦的两端点向准线作垂线.以两乖足为口径端点的圆与焦点弦相切.=W5 .弦长公式：4(巧，凹)，(K”为)是拊物践上两点，则A=7(x1.-x,)2+(y1-)2=1+k2x1-x,|6 .亶线与抛物线的位置关系直线ph+b,抛物线C:/=2,y=kx+by=2px,消y得:+2能-P)X+/=O(1)当h时，直线/与抛物线的对称和平行，有一个交点：(2)当kKO时，A0,直线/与抛物线相交，两个不同交点：=0,直线，与抛物线相切，一个切点；抛物线C)=2px,(PAO)联立方程法Iy

5、=kx+b=k2x2+2(kb-p)x+bz=Oy2=2px设交点+标为(,v1,1),B(x2,y2),则有A0,以及,v,+x,x1x2,还11J-进一步求出y1.+y2=kxi+b+kx2+b=A(K1.+x,)+2,y1.y2=(A玉+OXkx2+b)=k2xtx2+kb(xy+x,)+b2在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时,常用此法，比如a.相交弦AB的弦长IAq=+.r1._HI=TiTFJ(x1.+n)2-4x1.x,=J1.+/F或IAa=J1.+部-%1=/+p-7(+.y2)2-4,y2=标音b.中点M(%,)%),o=1.12i,y0=21221点差法：设交点坐标为4中

6、力)，B(Xd代入地物线方程，得yj=2w,=2pxz将两式相减，可得(y1-y2X,1+2)=2p(.v1-2)V1-,22Px-F+力a.在涉及斜率问题时，人小=上一+2X-0yt+y：2y11y0b.在涉及中点轨迹问题时.设线段AA的中点为“x0.m）,$口=二一=四=2,即如=上，Jo同理,对于抛物线.=2沙（PW0）,若直线/与抛物线相交于A、A两点，点M（XO,此）是弦八8的中点，则有砥8=毕i=受=N2P2p（留意能用这个公式的条件：I）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）【经典例题】(OM*tt二次曲线的和诵谶黝网与双曲线都有两种定义方法.可恤物纹只有

7、一种：到一个定点和一条定直线的即禹相等的全部点的集合.其离心率e=】，这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又由立在留椎曲线之中.由于这个美妙的1,既使它学尽和谐之美，又生出多少华丽的镭章.【例1】P为拗物线产=2/火上任一点.F为焦点，则以PF为宜径的刚与y轴。.位置由P确定A相交8.相切C.相离【解析】如图，抛物线的供点为F,j,处战是/：x=-g作PHJJ于H.交y轴于Q,则附=“.且|。I=I0尸|=g作MNXy轴于NW1.MN是梯形PQOF的中位线.IMM=g(|+|Q|)=；p|=g|/V1.故以PF为口径的圆与y轴相切，选B.【评注】相像的何题对于椭圆和双曲线来说,其结论则分别是相离或

8、相交的.(2)焦点弦常考常新的亮点弦有关地物线的试卷,很多都与它的焦点弦有关.理解并驾驭这个焦点弦的性质,对破解这些试题是大有帮助的.【例2】过拊物域y2=2p.x(pA0)的供点F作宜线交跄物线于人(外,)”(,乃)两点.求证:(1)IM-jj+i=7【证明】(I)如图设附物线的准线为/.作AA11.IAt,BB1.1./于4则IAF1.=IAAk+与，忸FI=忸用=.q+g两式相加即行：A=.v,+x,+/?(2)当AB_1.X轴时，有II2II=M1.=.时+西=万成立；当AB与X轴不垂直时.设焦点弦AB的方程为：y=r-代入抛物线方程:=2px化筒得：k1x1-p(ki+2)x+-ki

9、=O(1)；方程(1)之二根为X”X2.A1.-X,=-.I_II_I_X,+X,+p师+南二网一画T/+耳二.4WI_1.+.q+P_;+P_24+或玛二联f+再+p)p故不论弦ABX轴是否垂直，恒有+J7=2成立.IAF1.I叫P(3)切战一期物线与函敷有事有关系物战的很多试咫，乂与它的切有关.理解并驾驭拗物战的切线方程，是解题者不行或缺的基本功.【例3】证明：过搬物线f=2px上一点M(xo,y0)的切规方程是：y0y=py0y=p-pn+y(1)X1.,Fq中Iaf=01C8.故幺/7B1=9oo.这就说明：以AB为巴径的圆必过该抛物战的焦点.通法帝法妙法(1)解析法一为对称问题解困排

10、充解析几何是对代数的方法去探讨几何，所以它能解决纯几何方法不明解决的几何问卷(如对称何膻【例5】(10.四川文科卷.10题)已知抛物线y=2+3上存在关于宜线+y=O对称的相异两点AxB.则IAB1.等于OA.3B.4C.32D.4,2分析】H践AB必与直线x+y=O垂S1.,且线段AB的中点必在必然x+y=O匕因得解法如下.【解析】：点A、B关于宣线x+y=O对称.设点线AB的方程为:1V=X+?!)c/y=.v+7E由).则Xn=-；-代入x，y-。：y-J.故行M从而，“=y-x=1.直设AB的方程为：y=x+1.,方程(I)成为：/+x-2=0.解得:x=-2,1.,从而=-1.2,故

11、得：A1.2,-1),B(1.21.二|人同=3人.C.(2)几何法一为解析法添彩扬威法，其中最有成效的就是几何法.【例6】(11.全国1卷.11，D枪物线炉虽然解析法使几何学得到长足的发展，但伴之而来的却是难以避开的繁杂泞算,这又使得很多考生对解析几何习速型而生畏.针对这种现状,人们探讨出多种使计算出大帕度削减的优秀方斜率为6的真纹马搬初战在X轴上方的部分相交于点A.AK1./,垂足为K,则ZiAKF的面枳（A.4B.3y3C,43D.8【解析】如图口践AF的斜率为6时AFX=6O1I=K为正三角形.设准线/交X轴于M.mFM=p=2,且NKFM=60,.IKFI=4,SMw=手X下=4J1.选C.【注注】（1）平面几何学问：边长为a的正三角形的面积用公式SA=李/计算.本题假如用解析法，需先列方程处求点A的坐标，再计算正三角形的边长和面枳.虽不是很冰.但决没有如上的几何法简洁.（3）定义法一遑本求真的简洁一着很多解析几何习题咋存起来很难.但假如返朴归立，用最原始的定义去做，反而特殊简洁.【例7】（07.湖北卷.7起）双曲线，C1.:J-=KaO.0）的左准战为/,左焦点和右焦点分别为和小；抛物战Q的跷为/.焦点为R：G与U的一个交点为M.则”I-F驾等于（）*IM用阿周【分析】这道SS锻如用解析法去做，计W