积分第二中值定理的证明.docx
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1、上一箱文章讲了枳分第一中值定理的证明,井给出了积分第一中隹定理更一般的形式,这篇主要讲积分第二中值定理的证明.枳分第二中值定理,/(x)在区间口向上可积,O(X)在区帆a,w上单调,那么在a,6上存在内点I,使得:特别的,当奴特在区间a,3两峭连续时,有枳分第二中值定埋是一个更为精确的分析,具,在证明这个定理之前,先介绍Abd引埋.Abd919数列引J和业,对于任造的”2勺0,有实际上:下面给出Abc1.引理的一个理解方式,便于记忆.众所周知,枳分与求和,微分与差分有许多相似之处,一个是时连续函数而言,一个是对离散的数列而言,只要把函数与数列的一些定理放在一起比拟,就会发现异曲同工之处.那么就
2、来回忆一下分部枳分的方法:.do(.r)对应区间上的连续函数/(X)与(x).有再看上面的Abd引理.a“对应/(X),以对应制X).符号Z对应rr=n1.优一2小,(*)对应最后你会发现上面的Abd引理就对应/分部积分的这种形式我们在计算枳分的时候,适时使用分部积分会给计炜带来很多好处,同样对于数列的处理,利用Abe1.引理进行变换也能带来很多好处,下面就进入正题.证明积分第二中值定理.用了表示区间加上的一个划分天,西,占工表示划分的最大长度,接下来设*)非负H.单调不脸将得到:/(x)drJ:/(X)G(X)dr,其中XJITx*用表示|.f(x)在区间,回的上确界,令/=Jfxxdx-)
3、fxy)dx,那么:三1.因为Ir0.那么-0.即奴服)Jf(x)ff(x)(x)dx.不等式可写为:Jant(a+)jf(x)(x)(1.xM(a+O).根据/()疝的连续性,区间存在内点J.使得J:/(XmX)&r=u+O)Jf(x)dx。如果*(x)泮负H.单调不Wb令x=b-y,那么,其中“g=)-7b,因此/(x)*(x)dx=(b-O),f(x)dx.媒合可得,当()在区间0,W上单调,枳分第二中值定理可表述为:jx)(x)dx=(a+0)Jf(x)dx+(h-0)/(.v)Zv特别地,假设9(x)在区阀6上单调且连续,那么这种情况可以用分部枳分给出推导过程.尽管不是严格的证明.但是从这个过程中应该能加深对枳分第二中值定埋的埋解.令F(x)=/f(“)疝,可知尸()=0那么.在区在,回上,当一(X)单倜不减时,x)O,mx)F(x)xMx).例r)单调不增的情况同理可得。
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