用“陶味”求角平分线的解析式——一题多解获得的思考 论文.docx

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1、用“陶味”求角平分线的解析式题多解获得的思考M：创造我育是陶行知枇有思想的核心.“天夭是创造之时.处处是创造之地,人人是创造之人1.4中学教学芋习的过程中.追求更多的是解芯的道法,对于一些特别的解法关注较少。本文就一个问起,展现芋生的多科解法,旨在培林学生的创造力,培养学生的发敝思城，在探索中寻找数学学习的乐旭，这对于提升学生学习的积极性有较大的帮助。关健同：陶行知钊逡教方：一迎多解；角平分理；发效思维：方法思考活的人才教育不是灌输知识，而是将开发文化宝库的钥匙，尽我们知道的交给学生，教学生学，放手让学生做，培养学生的创造力.2021年12月初，笔者有幸被一八年汲学子问得一问遨.乍一看来，题目

2、比较简短，看似不难.实则不易操作,网维发散较大.正巧当时.笔者也是八年级两个班的数学老师.于是我便趁机把这个题目,“丢给我的学生.学牛.们状天欲试，争先想证明自己。一、二十分钟的功夫，便收到了许多“意外的惊喜基于各个学生的答题情况，笔者先让学生一叙说他们的解题思路和方法，再做整理和思考，便兴得此义。题目H战y=1.与X轴正半轴在笫一象限夹角的角平分线所在直成的解析式为1解雇过程1.1.方程视角解法1勾股定理图(1)在平面迫角坐标系中,选取点水3.4),IiBi出直线y=的函数图像,过点/向X轴作垂线段，垂足为B,画出N月阳的角平分线所在的直规.交线段”;于点C,过点C作C0JO4于点D.如图(

3、1)所示.由角平分线的性质定理可知：CD=CB.结合已知条件，树证得4DOCZBOC(ASA),可得。=08=3.设8C=CD=y,则AC=4-y.在4AC。中,由勾股定理可咕22+y2=(4-y)2,解得y=/所以点C的坐标为(3,1.故所求宜践的解析式为y=gx.解法2等积法辅助战的添加方式与解法1相同.如图(1)所示,依旧设BC=y.在4408中.用等积法.由于SXIoH=Sboc+Saoc,所喝0BAB=BBe+；OAXCD.解得y=.便可求得此题答案.1.2等腰视角解法3中点坐标法图在平面真角坐标系中，选取点A(3.4).画出直线y=gx的函数图像，在X轴正半轴上被取。小使得OH=O

4、A,连接48,画出乙4。B的角平分线所在的直线，交线段AB于点C如图所示.由题为得.点B坐标为(5,0).由等腰三角形的“三战合一”定理，易得CA=C8,再利用中点坐标公式，可得点C型标为(4,2.便可求得此的答案.解法4kjk2=-1.辅助线的添加方式与解法3相同.如图(2)所示.由解法3可知.A(3.4),80),A8J.OC因而可求得直线AB的函数耨析式为y=-2x+10.又因为加k0c=7,所以k就=今便可求得此邂答案.解法5等积法前面辅助践的添加方式，T解法3相同.再过点C作CD1OB尸点D.如即3)所示.由解法3可知:A(3,4),B(5,0),0/1=OB=5,AB1OC.8C=

5、g18.利用勾股定理,可求得A8=2S.易得8C=AB=后由OC为中线.可得Saboc=j0即gOBCD=OByA,解得CD=2.在RtOCB.由勾般定理,易得OC=25,OD=4,所以点C坐标为(4.2).便可求得此时答案.解法6参黄、中点法辅助战的添加方式与解法3相同.如图(2)所示.根据函数解析式，可设A(a,(),其中0.易制08=OA=.利用中点坐标公式，可得C(Mg).便可求得此题答案.解法7千疗法图在平面平角坐标系中,进取点/1(3,4),画出直找y=N的函数图配过点A灿-第与X轴平行的直线，交直线y=gx与X轴正平轴在第象限夹角的角平分线所在宜城于点8,过点8作BCJ.*轴于点

6、C,记直线AB与y轴交于点。.如图所示.由08平分乙40C及A8Oe可知:440B=U80,因而Ao=AB=5,可得BD=8,所以R(8.4).便可求对此Sfi答案.1.3卷合构造视角解法8在平面R角坐标系中，选取点A(3.4),画出直税y=IX的函数图像，Bi出直线y=X的南数图像，及直线y=)与*轴正半轴在第一象限夹角的角平分线所在出城的函数图像.过点A作AC1X轴于点C,交内城y=X于点乩交所画的角平分线于点。.如图(5)所示.由遨易知，点8(3,3)8DWdFC。，所以BD=CD.因而。(3,1).便可求得此题答案.解法9在平面直角坐标系中，选取点/1(3,4).P(3,0),Q9,4

7、),作出用形02八?.记城形的对角战交于点E,过点E作EOJ1.X轴于点D画出面设y=:X的函数图像，及直线y=：X与X轴正半轴在第一象限J3夹角的角平分线所在直线的函数图像记线段PQ叮角平分战交于点3,过点8作8MJ./10于点M,8NJ,x轴于点M如图(6)所示.由矩形的性肝可知点E为线段。4的中点，根据中点坐标公式,可得E(.2).W!ED=2.OEW根据角z分线的性所定理.易得=SM下面故OPE中用等积法.由Sope=Sa。BE+Sobp,可得8N=率由SS可得PQ所在的直线的函数解析式为y=-jx+4.将y=净弋入,褥X=与所以3(不净.便可求得此题答案.2解法分析陶行知足举世无双的

8、一位创造教育家，他的创造思维、创造思想、创造智数、创造实践、创造能力、创造成果，已经载入史册。要想让学生自立、IS步，老师就须放大胆吊，将试验精神货射进去，不要怕学生遇到障闷、失败，这样才会立正的培养学生的创造能力，教会学生真正的“学起来”.在经历以上的学生的种种解法后,下文就各种解法,分析、思考如下：(1)此题各料解法、思珞总年解法1和2采用的是较为荷单的常规方法，利用了由平分线上的点到用两边的跖离相等这个定理.都采用方程的思想来解决.一个用勾股定理,一个用等积法,构思简单又巧妙.较易想到.解法3-6的作图方式卷本一样，构造出等禳三角形,其中解法3-5都利FH特殊点(3.4)和(5,0)，解

9、法3用到等腰三角形的三战台一定理，外加中点坐标公式，求出用平分践上点C的坐标即可：解法1先求出函数解析式，再利用两条H战乖直.，从而有&x灯=-1,这样便能得到所求的直线的蟀析式:解法5先利用等腰三角形的三线合一定理得到中级,利用两点间距离公式得到各边的长,维而可用等枳法和勾股定理.求出点C的坐标即可：解法6深化了对本题的理斛，通过引入参法Q的方式，避免了特殊假，让这个何题得以从一般性来解决.解法7很巧妙地结合了平行戏和角平分戏，从而得到等股：.角形，便很容易的求出角平分线上的。点的坐标，使问题迎刃而解，这种方法也较为巧妙,解法8和9的辅助践添和相对较多，分别构造了一、三象限用平分线和矩形，从

10、等腰;角形的三级合一定理、全等:角形、等枳法等多种知识点进行求好，最终都牯化为求用平分践上一点的坐标即可，从而得到所要求的函数的解析式,坦然知识点多而杂,但是却对妞识的综合性应用得较好.(2)此料臭型题目解答突破、PVt对于求角平分城所在直战的解析式的解答途径常常有：方程思想求解，一般用勾股定理和等积法，解时的关键在于能否较好的找到未知数,并建立等讹关系；应用等腰三角形作答，解题“突破点”在于三线合一定埋的灵活应用，结合斜率相乘等于-1、中点坐标公式、两点间距.高公式等知识点求出角平分线上点的坐标：应用综合法求好.解时的近点在于构造,借助特殊的元索.将代数计算和数形结合有力的结合.(3)高中方

11、法延伸如图(7),在角平分线上任选一点4设其坐标为八(m,n,过点A分别向X轴和直线y=gx作垂战段，垂足分别为点M、N.利用点(孙，y0)到直线Ax+By+C=0的距离公式：d=叱;？，可得：d=黯1及d=|川，因而党驾=n.求得m=2n,或2m=-n(舍).便可求得此题答案.奉一反三此题还可以变式为：求宜城y=：X与坐标轴夹角的角平分战所在直线的解析式,这样拓3展便要对坐标轴进行两种情况分类讨论,但是题目的叙述却变得简洁了.3笔者见解教师教书时候，要教活的书，不要教死的书。像这种类型的SS目，它的方法、思维灵活性较大，也需要学生的创造性思维.此类遨型常见的形宛一般是域空应，它都赋彳!一定的特殊值在里面，否W1.也就不方便解答.此时看似是简单的一小胭,考查的内容却是非常丰田的.学生在数学学习的过程中.一遨多解可以培养学生的知识网络,培养学生学习的灵活性和应变能力、创造能力，可以提高学生的创新思维能力，和发放思维能力，帮助学生形成数学思想”教师在授课时若能准确地运用-超多解的形式.充分发挥一题多解的导向功能.便能更加提高课堂教学的质优和效益。）才文稣1再善状.一道联考试通的解析J.中学数芋秋学,2014,1：46-48