《測圓海鏡》之已知大股求圓徑題之三(7).docx

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1、测HI海之已知大股求之三上傅WW名：梆熊112XiSoXinGuan112何世强HoSaiKcung提要：以下源自溜圃海竞所周者皆舆“圜城阀式”有主要涉及勾股形之三遴成内接圜之切源而求Iats之冏跄“本文之冏在0i城圈式”中已知大股I即展大直为三角形之股及另一修件，求回11。乾隅中股中弦平弦勾列差以下之冏取材自渊IiI海卷五之大股一卜八冏。笔者已有文章及已知大股而求之题名悬演1间海线之已知大股求回之一(5)及之二(6)本文乃以上雨文之延自费，以下悬Ia城之一般BI:夕艮泉北汨啊海冏皆涉及“圆城圈式”。(汨海i)提供“园城”丽像件，以制算圄城之半。上圈之天乾乃悬大股,大股共一十八冏。第一冏)至第

2、九冏兄前文。第十冏或冏：乙出柬咒直行不知步数而立，甲优乾隅南行六百步望见乙，IS就乙斜行五百四十四步典乙相色，冏：间f三畿何？Sg意指乙出束FIA直行不知步数而立於R，甲徙乾陶D南行600步至B回望兄乙“熨行就乙斜行544步典乙相囱於R求。解：以下2笨者之算法：tS1.可知BF=BH，若三殳AR=X,阑半r又在HOR直角三角形HR=544-(600-r)=-56+r又依勾股定理得：544-(600-r):+r2=(r+x)2(I)又OHR典BDC相似，以下比例成立：S44-600+r2r+x.-=诉(2)(2)得(r-56)(600-r)=r(2r+x)-r+656r33600=It2+rxr

3、x=3r+656r33600x=3-31+656r-33600)。t(I)得(-56+r)2+r2=(r+x)23136+rz-H2+r2=r+2rr3136-112r+rz=+2rx3136112r+r2=J(3+656336OO)2+2(3+65633600)31.36r-H2r+r4=9r,+430336r+I1.28960000-3936rj+201600r2-44083200,-6r4+1312/-67200r0=2r4+561600/-I1.28960()00一2512/-4408320Or/+280800/-45644X0000-I256r3-22041600r=0r4-1256

4、3+2808OOrZ-22041600,+5644X0000=0(r-120)(2-H36r+I4448r-4704000)=0取r=120(步)，即城半第120步。以下之法敕曾里。注意ORH舆FBR相似，所以以下之比例成立：J1.=21.x544544r=600-at+600,一rr-56r=X(600-r)x=r2-56r.&OO-r优上文可知X之另一林表连法卷：X=i(-3r+656r-33600)比敕雨X之值可知：,3r+65633600)=黑-1800r+39360Or-20160000+3rj-656r+336OOr=r,-56r2户-2400/-+427200r-20160000

5、=0/12()0,+213600r10080000=0，分解因式得：(r-120)(r2-IOSOr+84000)-O120(步，即城半120步。汛1B1海之算法：法日:以二行步相减乘甲南行步600(600-544)=60056=33600，得数又华之(16800)南行步以乘之Jf16800X60010080000瑞方程式之常数。以二行差乘南行步於I：60056=3360()，又以半之南行步乘南行步加於上悬(方(300X600+33600=2136是之保教)。二之南行步：益廉(2600=1200悬尸之保敷)一步常法，即，之傍由攵焉I常法指一般之优法方之法。故所形成之方程式卷：ri-1200r+

6、213600r-10080000=0解得r=120(步急圆半草日：别得二行相减600-544=56.11半偎上勾股敕(此股即半也)。又别得是大勾画差不及平弦数。立天元一r以2半城以减南行步得600-r趋中股C即BF)，其斜行步即中弦也(即BR)。乃立半城r以斜步乘之得54力,合以中股除今不受除便以此：平弦1内带中股分母J。又以二行步相减绘五十六步(600-544=56)悬勾圜差，不及平弦数，置此数以中股秉之，得56(600-r)=3360()-56rIg以减平弦，绘得544(3360056r)=600r33600热小差，内带中股分母、乃以二天元;减甲南行步得600-2r悬大差,又半之得300-

7、r以乘小差得悬半幕，寄左，得：(60033600)(300-)=ISOOOOr60010080000+33600r=-6001+21360010080000然彳爰以天元自秉，又以中股通之得/(600r)=600FJ卷同数、典左相消得600?-?=-600/+213600r-10080000?1200/+213600r10080000=0典上法相同1(r120)(rz1()8Or+8400)=0取r=12()(步)，即城半120步。或日立方得一百二十步，倍之即城也，合冏。以上可卷阅肇者之算法。第十一冏或罔:甲乙二人俱在乾隅乙束行不知步散而立，甲南行六百步望见乙IS就乙斜行六百八十步典乙相包。周答

8、同前。题意指甲乙二人俱在乾烟D，乙束行不知步数至C而立，甲南行6步至B回望见乙，同就乙斜行680步至C奥乙相曾。求圄。测S1.海以此题卷蔺革。15大弦BC=C，大股BD=，所以CD=(c2-)。又r热内切列半，即可知：OCD+OCB+OBD=BCD5WC2-y)+如+渺=(C2-2)rV(c2-b2)+rc+rb=by1.(cr-b2)r(c2-b2)+c+b=(c2-护)bJc2-b2尸二,OC2-2*C*t以下悬捷法：因；BC=HC+HBHC=CE=(c2-2)-rHB=BD-r=-rfBC=c=-r7(c2-b2)-rh(c2-h2)=c2r所以=-护)+c-。代入数字：CD=6802-

9、6002=462400-360000=102400=320。以下检含r之三角形面稹公式法：1.320ri680r1.600r=1.320632Or-680r+600r=320X6001600r=192000r=120“或2r=320-(680-600)=320-80=240浏B1.海统)算法日：法日：以二行差乘二行伊平方得数内f巨减二行差，得全。即M(C-b)(c+b)-(c-b)=X1.(c-b)(c+b)-c+b证明兄上文。草日：别得二行相减即勾0差也。即勾BI差CM=680-600=80。先求大勾立天元一。悬火勾以二行相减馀八十步680-600=80，以乘二行相伊数680+600=128

10、0一千二百八十步得80X1280=()2440焉勾幕I，Pg平方得三百二十320步即大勾也。大勾内减去勾IH差320-80=240绘二百四十步，即城也合上Iffi1.CM之的勾EI差=80。若BF=BH=e，FD=DE=ME=r-CM=jCE=CH=y+r，然BC=BH+HC=e+v+r-又11D=BF+FD=e+，。今明大弦-大股=勾BJ差：大弦-大股=BC-BD=(e+y+r)-(e+r)=y=勾IS差，故渊国1海i克法篇先以勾股定理竟出大勾CD再募出勾0差，t大勾内减幻EI差，即得圜城直。故“勾圆差”在C第0海中乃悬一重耍之概念。以上之猊即W(C-b)(c+b)-(c-b)=W(C-Mc

11、+6)-c+-SE明兄上文。第十二冏)或冏：南F汐卜不知逮近石树，甲优乾隅南行六百步望树，典城祭相直“复就榭，斜行二百五十五步至树。冏答同前。解；题意指南FfIP外不知道近有树K，甲优乾隅D南行600步至B望树，典城祭相直,即BKH成一直练,甲Ig行就楂I，斜行255步BK至树。求囤今圆，言殳PK=x。优上圜可知，ABPK典AKOII全等，所以BP=KH-KB=KOBP=600-2r-x-KH=600-r-255，所以：600-2r-x=600-r-255-2r-x=-r-255255-r=x。在ABPK中，依勾股定理即得：(6002rX)?+/=2552(600-2r-255+r)2+r2=

12、2552(以255-r=x代入)(345一,=2552119025690r+rj+r2=650252r690r+54000=0H-345r+27000=0-分解因式得：(r-120)(r-225)=O，取r=120(步，即城半120步。测圆海算法日：法曰：倍二行相减数内减甲南行得数筏以乘甲南行悬班，BU2(6-255)-600600=600(690-600)=600X9()=54000焉方程式之常数。倍二行相减数卷优，即2(600255)=690卷方程式含r之保数二步益隅即22含/项之保数。故所形成之方程式玛：2r-690r+54000=0茨)所得J345r+27000=0分解因式得：(r12

13、0)(r-225)=0IRr=120(步)，即城半120步。草日：谪i别得斜行步乃是树至城心之数也。立天元一，笈半f三加斜行步得悬树至城北咒之步也+255。“斜行步乃是树至城心之数”指KB=KO，兄上蒯。乃以减於甲南行得600-r-255=345-r悬小股率其天元半筏即小勾率，其斜步即小弦数也。再置甲南行步内;减天元得600梯底於上，又置梯底内减二之小股率得600-r-2(345-O=-90+，即梯也。Ig以乘上位得(90+rM600力笈半幕，寄左，然接以天元幕/典左相消得下式：r=(-90+rX600-r)=-r2+690r-540002r-690r+54000=0r234527000=0，

14、分解因式得：(r-I2()(r-225)=O，取r=1201步)，即城竿120步。或曰153平方得一百二十步，倍之，即城也，合冏。第十三冏或冏：柬F汐卜不知步敷有槐榭一株，甲优乾隅南行至柳榭下，望见槐榭，传斜行至槐树下。甲自云：“我共行了一千一百四十四步。”乙优艮隅束行,望见槐树典城相直徂斜行至槐树下.乙自云：“我束行少不及斜行五十六步。冏答同前。跄意指束F*!A外不知步数有槐树一株R甲优乾隅D南行至柳榭下B望剧见粉，便斜行BR至槐树下。甲共行1144步，即DB+BR之河。乙优艮隅M荣行，望兄槐树舆城相直，即CRH成直绿。乙便斜行至槐树下。乙束行步数比斜行少56步。求同城之。本题若直接求胤可能非常板箱和麻烦若先求大股BD之艮再求网印J敕易今先求大股BD：今先圜半r又款CM=X，即可知CR=a+56HR=X+r-56+x)=r-56“三角形周界=BC-CD+DB=BH+HR+RC+CM+2r+r+BF=DB+BR+RC+CM+Ir=1144+x+56+x+2r。於是BH+HI+RC+CM+2r+r+BE=1144+x+56+x+2r(BH+r)+(BF+r)+