人教版高数选修4-4第1讲：坐标系（教师版）.docx

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1、坐标系1 .余建立极坐标系，并会在极坐标卜表示点.2 .能区分极坐标系和平面直角坐标系，并登记被坐标与直角坐标的互化公式.3 .会求圆心不同的圆的极坐标方程.4 .会在核坐标系中求出陋意宜城的方程.5 .能把柱坐标与直角坐标点的坐标互化.6 .驾驭球坐标与口角坐标中点坐标的互化。一 .平面直角坐标系.在平面上，当取定两条相互垂直的口战的交点为原点，并确定度最单位和这两条出设的方向，就建立了平面出角坐标系.它使平面上任一点P都可以由唯一的实数对(x.y)确定.二 .坐标法.依据几何对象的特征，选取适当的坐标系,建立它的方程，通过方程探讨它的性质及与其他几何图形的关系,这就是探讨几何问时的坐标法.

2、三 .伸缩变换.x=A,0.设P(x.y)是平面内角坐标系中随意一点，在变换6：,的作用下,点P(x.y,=y.U0y)对应点P(*,y),称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.四 .极坐标系的建立.在平面上取一个定点0.自点0引一条射规Ox,同时确定一个长度垠位和一个角度单位及其正方向(通常取逆时针方向为正方向),这样就建立了一个极限标系(其中0称为极点,射城Ox称为极轴).改M为平面内一点，极点O与点M的距离OM叫作点M的极径，记为P:以极轴OX为始边，射线OM为终边的用XOY叫作点M的板角，记为。，有序实数时(P.”叫作点M的极坐标，记作M(P,0).一般地，不作特别说明时，

3、我们认为P0,。可取随意实数.五 .直珀坐标与极坐标的互化.以直角坐标系的0为极点,X轴正半轴为极轴.且在两坐标系中取相同的单位长度，平面内的fx=pcos任一点P的直角坐标和极坐标分别为(x,y)fi1.(p.),则.或4VIy=。S1.natan。=上(XWO)kX留意:互化公式的三个前提条件0)半径为a的01的极坐标方程为P=2acos。.(2)圈心在极点，半径为r的BH的极坐标的方程为P=r.七.直级的极坐标方程.1 .直线1经过极点,从极轴到直线1的角为3,则宜城1的极坐标方程为=.pGR.4b2 .过点RS.0)(a0)且垂出于极轴的直线1的极坐标方程为PcosO=1.3 .H战1

4、过点P(d,。且与极轴所成的角为,则直规1的极坐标方程为PsinO=1.八.柱坐标系.建立空间直角坐标系Oxyz,设P是空间的就一点，在Oxy平面的射影为Q,用(P,)(P0f00211)表示点Q在平面Oxy上的极坐标,这时点P的位置可用有序数组(P,(zWR)表示.把建立上述对应关系的坐标系叫作柱坐标系.有序数组(P.0.Z)叫作点P的柱坐标.记作P(p.,z),其中p0.00.有序数组(r,Q)叫作点P的球坐标,其中rHO,O11,000,I/=tty，。，3则/y=3tan29即y=-tan2x,与尸tan*比较，则有“=3,A=；,1X=RX,所以J2./=3y.1/2%例2求回F+y

5、=4经过伸缩变换，一.后的图形的方程.Ir=3代入*十V=4得+=1,即$+余=1.所以圆+=4在此伸缩变换下的方程若专答案:士+乙1636练习1,在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换,-3Uy=y.求点尾，-2)经过中变换所得的点A的坐标：(2)点8经过0变换后得到点8(3,求点8的坐标：M1.fft(1)设点/(/,/).Ir=3x=3由伸缩变换M得到.112/=y=/又己知点龄-2).于是=3=1./=(-2)=-1.u4.变换后点小的坐标为(1.-1).(2)设双尸),由伸缩变换Mr得到产铲由于夕(一3,，于是x=；XHPpsir-=IOsin-化简，得1点轨迹的极坐标方程为p=10+

6、20cos.答案IP=10+20cos-j)答案：p=65cos(一1)Mt类第三横坐标与直角坐标的互化例4：(1)极坐标方程Ocos2。-20cosU=I表示的曲线是()A.圆B.椭囤C.抛物线P.双曲戏AI析t(1)由方程0OS2-2。CoS。=1,得P“cos：一sin2Pcos夕=1.x=0COSG又由互化公式y=psin0得-2=1,即(*一1)一了=2,此方程表示以(1,0)为中心,212P=X+,焦点为(-1,0)，6(3,0)的等轴双曲戏.案ID例岳依据卜列点的柱坐标，求(2,3)a角坐标：IPMffi设戊的直角坐标为J,y,z)Ix=Pcos0=2cosr-=-/.rt.o.

7、511,=PsinU=2s11-=1.62=3,因此所求点的面角坐标为(一5.1.3).答案t(一小,1.3)例6,已知点M的球坐标为(2,9,711)求它的曲角坐标.解析，设点的直角坐标为六Z).答案I点”的直角坐标为-1,1，-2)练习h依据下列点的柱坐标，求(m，jp.5)直.珀坐标:Ix=Pcos=2cos=1.)=Psin8=j2si11=I故所求点的直角坐标为.答案i(1.15)练习2,点”的球坐标改为做3.x./）,试求点”的直角坐标.D3解析I设3的口角坐标为J,y,Z）.=rsin则Vy=rsinZ=/COS5n5113cos=3sin-r-cs-=.z.o.511.5113

8、#sn=3s11-sin=-y-.,151133=3cosrT=2-.点M的宜角坐标为（小一乎.一呼答案：”的直角坐标为（*一乎，一平）薛习3:在极坐标系中，夕是曲跷0=1.2sin。上的动点，是曲线=12co（0一）上的动点，试求用的最大值.iWrVj=12sirH,.p:=12Psin,.x-12y=0.!J+G-6）,=36.二P：=12。(CoSf1.cos-+sinOsi*)r+/63x-6j,=0,即”,一35+（y-3）=36.PQ-.=6+6+33,+3,=18.答案：18).1.原点与极点重合轴正半轴与极轴理合则点（-5.-5百）的极坐标是（答案2.设点尸的直角坐标为（4.4

9、.40）.则它的球坐标为（）.化成直角坐标方程为().B.+(y-2)2=4D.(z+2)s+=4答案，A3.曲线的极坐标方程为0=4CoS,A.+(r+2)1=4C.(-2)-+=1.答案IC4 .已知点尸的极坐标为(1.n),则过点。且垂直极轴的直线方程是().A.p=1.B.P=CosC.p=D./?=-COSVcos答案：C5 .将极坐标方程P=COS。-2sin。化为直角坐标方程为()A. A；+y-x+2r=0B. +-2y=0C. +-2+.v=0D. x,+2-y=0答案：A6 .已知点M的直角坐标为(0.0,1),则点M的球坐标可以是()A.(1.0.0)B.(0.1,0)C

10、.(0,0,1)D.(1,Jt,0)答案：A7 .在极坐标系中,点(2,高到直线PSin。=2的距离等于一则科由题意知，点(2.高的直角坐标是(小，1),11践in=2的宜角坐标方程是y=2,所以所求的点到面找的距离为1.答案，18,已知网的极坐标方程为。=4cos0,网心为，点一的极坐标为(4,).则CP=.斛折,即P=Icos的直角坐标方程为M+j2=4*,1.f1.1.心(X2,0).点尸的直用坐标为23).所以IcP=23.答案，2y9.已知点M的球坐标为(4,I，苧)，则它的直角坐标是,它的柱坐标是解析：殁M的直角坐标为(X,.%z),柱坐标为S,，z).则Xrsincos=4sin

11、s=-2.y=rsinsin=4sinSin竽=2,z=rcos=4cos：=22.点V的口角坐标为(-2,2,22).2=Pcos。311又，Z=Psinff.解之得=2y.0z=22.z=22.点U的柱坐标为12乖，牛，22).答君(-2,2,22)(22,牛.22)基砒巩固1.己知点尸的柱坐标为e,j,),则它的直角坐标为().A.(2,1,1)B.(1.1,I)C.(2.2.1)D.(1.0,1)答案，B2.极坐标方程。=手(PNO)的宜用坐标方程是().4B. )r=-C. y=f(启。)D. ja(x0)答案，C3.10P=(cos+sin勾的圆心的极坐标是().A闻B.（三）CWD.Qf)答案，A儿在极坐标系中，与园1=4sin。相切的一条直战方程为().A.Psin0=2B.PgS9=2C.Pcos=4D.PCOSa=7答案IB5 .在极坐标系中，设圆P=3上的点