傅里叶变换本质及其公式解析.docx

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1、傅里叶变换的本质傅里叶变换的公式为*F(M=J(r)e大山-x可以把傅里叶变换也成另外一痔形式:内=/Yf(W211可以拧出，傅里叶变换的本质是内积，三角函数是完备的正交函数集,不同频率的三角函数的之间的内积为0,只有频率相等的三角函数做内积时.才不为0.YeXV,C=/%-仪2=2越（_QJ下面从公式说明下傅里叶变换的意义因为博里叶变换的本场是内积.所以和一“求内积的时候,只有例)中频率为的我埴才会有内枳的结果，其余或出的内枳为0,可以理解为f在e“上的投彰，枳分做是时间从负无穷到正无穷的积分,就是把信号每个时间在3的汇业费加起来，可以理解为W在eAC上的投影的桑加，件加的结果就是顽率为的武

2、狄，也就形成了领谐，傅里叶逆变换的公式为12f(t)=F()e,d卜面从公式分析卜傅里叶逆变换的意义傅里叶逆变换就是傅里叶变换的逆过程，在(“)和e”求内积的时候，“(只有1时刻的Jf%内枳才会有结果，其余时间爪量内积结果为0,同样枳分值是频率从负无穷到正无穷的租分,就是把信号任砰个嫉率在t时刻上的重地会加起来，登加的结果就是fUM：t时刻的假,这就回到了我们视察信号最初的忖城.对个信号做傅里叶变换，然指干脆伤逆变换，这样做是没有意义的，在傅里叶变换和傅里叶逆变换之间有一个灌波的过隹，将不要的频率IR最给沙除掠，然后再做逆变换，就得到了想要的信号，比如信号中掺杂者噪声信号,可以通过漉波将噪声信

3、号的频率给去除，再侬傅里叶逆变换,就得到了没有噪声的信号.优点：频率的定位很好,通过时信号的频率辨利率很好，可以清楚的褥到信号所包含的频率成分，也就是领谐，缺点,因为频谱是时何从负无穷到正无穷的叠加,所以，知道某一频率,不能推断，该频率的时间定位.不能推断某一时间段的颈率成分.例了：平稳信号：x(t=cos(2pi*5*()+os(2*pi*10*1.)+cos+cos(2*pii*5(P()傅里叶变换的结果:由于信号是平稳怯号,每处的频率部相等，所以看不到俾杷叶变换的缺点.对于非平枪信号:信号是余弦值号，仍附有四个频率/域分。傅里叶变换的结果:“otoJo9040507090ICd由上图看出

4、知道某频率，不能推断，该频率的时间定位，不能推断某一时间段的频率成短时傅里叶变换傅里叶变换存在范产收的缺点，就是不能实现时频联合分析，钝里叶变换要从负无力计律到正无穷,这在实际运用当中,我即时性分析会有很大的冲突，依据这一缺点，提出了短时传里叶变换.后来的时间一频率分析也是以短时肉里叶变换为基础提出的.为了弥补傅里叶变换的缺陷，给信号加上个窗函数，对信号加面口计算加窗看函数的傅电叶变换，加窗后得到时间旁边的很小时间上的局部诺，窗函数可以依据时间的位置变更在整个时何轴上平移，利用窗函数可以解到瓯意位置旁边的时间段城讲，实现了时间局域化，短时博里叶变换的公式为：STFT1(/.)=x()g(r-)

5、e-jiud=YMr).g(r-r*3A任时域用窗函数去核信号，对裁下来的局部信号作傅立叶变换，即在t时刻得该段信号得傅立时变换,不断地移动I.也即不断地移动窗函数的中心位置,即可得到不同时刻的傅立叶变模，这样就得到了时间一频率分析.短时傅里叶变换的本质和傅里叶变换一样都是内积.只不过用用(r-)eo代背了。足1.实现了局部信号的频讷分析.短时博里叶交换的另，种形式：STFT1.(t,=X(v)G(v-n)eB，t,-ODdv=(X(v),G(v-)ey1.1.A该式子表明在时域里x(r)加窗函数g-r),得出在领域里对X(V)加由G(V-Q),优点：任傅里叶变换的基础上，增加了窗函数,就实现

6、了时间一娠率分析。缺点：短时傅里叶变换运用一个IM定的窗函数.窗函数一旦确定了以后.其形态就不再发生变更，短时傅里叶变换的粉别率也就确定了.假如妾变更辨别率,则须要汇新选挣窗或数,短时傅里叶变换用来分析分段平柩信号或者近似平稳信号就可，但是对F非平租信号,当信号变更猛烈时，要求窗函数有收高的时间辨别率I而波形变更比较平馈的时刻.上要是低频信号.则要求窗函数有较高的频率辨别率.短时傅里叫变换不能兼回频率与时间州利率的需求.利不准泳理告知我们，不行使在时间和频率两个空间同时以随意精度律近被测信号，因此就必甯在信号的分析上对时间或者频率的桥省做取舍,短时傅里叶变换受到测不准原理的眼糊，所以短时傅里叶变换窗函数的时间与频率辨别率不能同时达到最优.在实际运用忖.依据实际状况选用合适的窗函数.例子:原始信号：信号是余弦信号，有四个频率爪1当腐函数选为:200150100N5040FREQUENCY50K3。10TME由上图可以行山，时域的洲别率比较好，但是频率出现恃定宽度的带宽,也就是说频率辨别率差；当窗函数选择为I短时傅U1.叶变换为I1.1.Iarma由上图可以看出，频率的外别率比较好，但是时域辨别率差，有点接近傅里叶变换.有上图可以看到短时传1Ii叶变换的块点。