傅里叶变换与傅里叶级数.docx

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1、重温傅里叶一笔记篇本文记录的大多是基础的公式，还有一些我认为比较重要的有参考价值的说明。（假如对这些公式已经很熟识，可以干脆看第三部分：总结性说明）代温傅里叶一第记篇一、傅里叶级数$关于三角函数系的正交性：三角函数系包括：1,cosX,sinx,cos2x,sin2x,cosnx,sinnx,“正交性”是说，三角函数系中的任何一项与另一项的乘积，在（-五，区间内的积分为0。（任何两相的积总可以展成两个频率为整数倍基频的正余弦函数之和或差，而这两个绽开后的正余弦在（-11,n）上积分都为0）.不同频率(但都是整数倍基频)的两个正弦函数之积，在(F,JI)上积分恒为Oo同频率的两个正弦函数之积，只

2、有在这两个正弦的相位正交时，其在(-n,Jo上积分才是0。三角函数系中除“1”以外的任何一项的平方，在(-%11)上的积分恒为兀，“1”在这个区间上的积分为211上公式！当周期为2兀时:式(I)：f(x)=(qcosnx+bnsinnx)2j1-a0=ff(x)dx冗Xaj,=If(x)cosnxdx11ix=fxsinnxdx11J.上式成立的条件是f()满意狄立克雷充分条件：1. 在随意有限区间内连续，或只有有限多个第一类间断点；2. 随意的有限区间，都可被分成有限多个单调区间(另一种说法是：随意有限区间内只有有限多个极值点，其实是一样的)式第一行中的a2就是f(x)的周期平均值，而且第一

3、行的式子只对f(x)是连续函数的状况成立：假如f(x)不连续，则应表示成“(1/2)f(-0)+f(x+0)w,即f(x)左右极限的算术平均。下面的类似状况都是这样，之后就不再特地说明，这些大家应当都Ii第三、四行中，n的取值都是：1,2,3,4,n,(都为正,且不包含0)。当周期为21.时(这也是最一般的情形)：式(2)：F(X)=+Vancos(x)+Sin(x)2士、1.1.J1工a0=jf(x)dx1.1.zv*7inx若将上式中的第一项。看做:则上式可重写为:工JJJ-XF(X)=XC/，C=-XF(X)=Co+Zc/1.式(6b)*1由式(5)和式(2)中对ab,b,cac”的定义

4、，可以发觉a可统一表达为：=ff(x)e7dr(其中=0,1.,2,3,4,)21.1.将傅里叶级数用更数表示后，就是式(6)和式(7)这样简洁的形式。简洁分析:傅里叶级数转变成复数形式后，原来每一项中的：/ancos仿一x）+6”Sin（一x）In1.n1.都被分为正、负两个频率的波：。J-jt-inxCne1.+5i只不过这两个频率的振幅CnC”都不再是实数，而是一对共蜿复若f（x）为偶（或奇）函数，则全部的b,（或a,）将为0,此时的c.将变为实数（或纯虚数），且a,（或b“）是转换后所得的C“的2（或2D倍，而C.与a相等（或纯虚共轨）。二、复变函数中的傅里叶变换先上公式:尸(=-Xf

5、(t)e-WdtI卜(0)+钝+)=：Fei9td定理：若f(t)在(-8,+8)上肯定可积，即f(t)的肯定值在(-8,+8)上收敛，则F(3)在(-8,+8)上存在且连续(F(3)的连续性在熨变函数的教科书中一般都有证明)。F(3)是实变熨值函数,即变量是在实数区间(-,+)定义，而函数值F(3)却在复数空间。式(9)的条件是：f(t)在(-8,+8)上肯定可积，并在任-有限区间满意狄立克市充分条件。$若f(t)为偶函数，则F(3)将为纯实数，且同为偶函数；若f(t)为奇函数，则F(3)将为纯虚数，且同为奇函数：而财随意f(t),F()与F(-3)始终共挽，这意味着F()与IF(-)恒相等

6、，即F(3)的肯定值是偶函数$由于要求f（）肯定可积，所以对于周期函数一股是不能用傅里叶变换的，只能用傅里叶级数分析。（周期函数往往不能收敛）。三、总结性说明周期函数可以看成由许多频率是原函数频率整数倍的正余弦波松加而成，每个频率的波都有各自的振幅和相位，必需将全部频率的振幅和相位同时记录才能精确表达原函数。但从上面的公式来看，我们似乎从没涉与到相位？其实不然，从式（2）来看，我们将每个频率的波分成了一个正弦重量和一个余弦重量，同时记录了这两个重量的振幅&,、bf,其实就已经包含了这个频率的波的相位信息；而时于式（6a）f每个频率的波被分成了正负两个频率的史数“波”，这种方式其实比正余弦形式更

7、加直观，因为巨振幅a恰好同时记录了这个频率的振场和相位，它的物理意义很明显：a的幅值IcJ即为该频率的振幅（精确的说是振幅的一半）,而其辐角恰好就是相位（精确的说是反相的相位，J的辐角才恰好代表该频率波聿量的相位）。傅里叶变换针对的是非周期函数，或者说，周期为无穷的函数。它是傅里叶级数的一个特例（好吧，我曾经始终以为傅里叶级数是傅里叶变换的个特例，正好相反，刚前几天才想通透）。当傅里叶级数的周期1.趋于无穷时，自然就变成r上面的傅里叶变换。这种关系从二者的表达式中也许能看出点端倪，但是也不是特殊明显，终归它们的表达形式差别还挺大。假如不把傅里叶级数表达成夏数形式，那就更加难看出二者之间的联系了

8、，这也是为什么本文中具体列出了复数形式的傅里叶级数。傅里叶变换要求f（D在（-8,+8）上肯定可积，其实可以理解成“傅里叶级数要求函数在一个周期内的积分必需收敛”。在深化篇中，我再好好说说二者是如何联系的。重温傅里叶一深化篇1一傅里叶级数与傅里叶变换的关系以与频谱图的介绍在读本文前，请先大致阅读F笔记篇里的东西，卜面运用的符号与其意义都跟笔记篇里是一样的。笔记篇里记录的大都是基础的公式，教科书上都可以找到。（愧疚，刚发觉有点小错误：在式（6-4）和式（11）里，积分项中的“dx”都应改为“d3”，由于改图不太好改，就只在这里说明白。请读者看的时候留意）为了下面叙述便利，我先做几点约定和说明：木

9、文中提到的傅里叶级数都是豆数形式的级数，下标n都是负无穷到正无穷；对于笔记篇里常常出现的“nn/1.”，它可以看成个角频率,用3表示。（角频率与频率（通常用表示）之间的关系是：3=2K3。（参见笔记篇中的式（3）.（4）、（6）等）；进一步，我将“111.,t称为“角基频”，这样的话“nn/1.”就是n倍角基频。当周期为2。时，角基频恰好为1；肯定别搞混：C.代表的不是角频率为n的波重量的振幅，而是角频率为n倍角基频的波重量的振幅：对于周期函数，除了角频率为整数倍（包括负整数倍）角基频的波重量振幅可以不为O外，角频率为其他值的波重量振幅都是Oo（下面介绍频谱图时会再提到此事）：*对于周期1.等

10、于无穷人的函数（非周期函数），其角基频为n1.=0,这样实数范围内的全部角频率都可以看成整数倍角基频了，因此林周期函数在全部的角频率处都有波垂量！（就是说，频谱图由离散变得连续了）。什么，那不乱套了？假如全部的角频率都有波重量而且每个波垂量都有一个不为0的振幅，那级数怎么可能收敛？还好，每个C0的表达式中都有一个1/21.的系数，这样周期无穷大时，全部的振幅3也都变成“0”了，所以不会乱套，但是这么多0加一块应当还是0,怎么能凑出原来的f（x）呢？这就像对一个函数积分一样，函数在随意一个点处的积分都是0（好吧我知道这说法不科学，但是便利理解），但对一个区间积分，这么多0加起来就成了一个有限值。

11、好了，不乱说了，越说越乱，本文就从这里起先，看完卜面的几段大家就能清晰的知道是怎么回事了。为便利大家翻阅，我先将一会儿涉与到的几个公式重新贴一遍在这里。这些公式与公式的标号都与笔记篇中相同。周期函数的傅里叶级数相关公式：IAJU-JfF(X)=Eq6上n-X11.,cn=fxe1.必r(其中=0,1.,2,3,4,)复变函数中的傅里叶变换相关公式：.，r1d3/(r-0)+f(t+0)=一8Fg)=f(t)e-tdt-X周期级数公式如式(6)和式(7)那样，我们现在要做的是，搞明白为什么周期1.趋于无穷时，就会有式(9)和式(8)的结果。好,现在我们对式(6)和式(7)进行第一步加工:将式中的

12、“g/1.”用角频率3“来表示，代表n倍角基频。这样，会产生下面的新式子:f(x)=C产)X=-Xcn=F(X)e”d(其中=0,1.,2,3,4,)21.I1.对比式（7-1）和式（8）,发觉他们右边的积分式主体部分形式几乎是一样的，只是上卜限和系数不同。好吧，为了更直观的对比，我再创建个符号，R,将它定义如下：Fn=CnX21.这样我们就可以彻底抛弃a这个碍眼的符号了，全部用Fr,代替。然后重写式（6）和式（7）：1+OCAX）=寸乙1.77=o4=Jf(x)e2xdx-1.再拿式(7-2)和式(8)对比,会发觉很让人兴奋的结果,他们的形式几乎样！但是式(6-2)和式(9)貌似差别还不小，

13、他们的系数个是(1/21.),一个(2n)好吧,接着来，我们再创建一个符号,定义如下：=(11/D(其实就是角基频的大小)利用它来再次加工式(6)：(式(7-2)不变，但还是一块列了出来)1+F(X)=VFfO2乃Fn=f(x)eidx-1.重新对比式(6-3)和式(9),发觉形式已经很相近了，只不过一个是积分一个是和式等一下！和式？再细致看看看式(6-3),发觉这时它很像一个函数积分的和式绽开式！那我们现在来构造两个函数吧：F*()和a(),构造方法如下:F*()Fn1/2)(n+1/2)时；,()-,当(n-2)A33(n+1/2)时；这是两个分段跳动函数，它们都以为白变量，并每隔As,函数值改变-次。好吧，数字太不直观，我把自(3)的函数图象大致画出来便利大家理解：图1.上面这个阶梯状的东西就是F（3）的函数图象。（）的图像也是类似的阶梯状，而且它的更简洁，是一个从负无穷到正无穷逐步上升的形态（每次上升一个角基频的大小）。这里有必要说明一下，以免误导大家：F.一般都是复数,只有在Nx）本身是偶函数时才是实数，因此函数F的值也应为发数。也就是说，将F的函数图象画成图1那样的实数形式其实是不合理的。我这样做只是为了便利大家理解（6-3）中的和式是如何变成积分