二项式定理理提高110.docx
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1、二项式定理【学习目标】1 .理解并窃取二项式定理.了解用计数原理证明二项式定理的方法.2 .会用二项式定埋解决与二项绽开式有关的简洁问题.【要点植理】要点一,二工式定理1.定义一般地,对于1.j&正整数,都有:(rt+b)a=Can+Caa-b+-+C:anrbr+-+CwincNf,这个公式所表示的定理叫做二项式定理,等号右边的多项式叫做S+b)的二项战:开式.式中的CX1-/做二项旋开式的通项,用T“I表示,即通项为旋开式的第r+1项:Tr.y=Crnaa,b,.其中的系数C:(r=0.1.2.n)叫做二项式系数,2,二项式(a*bf的就开式的特点I(D项数:共有n+1.项,比二项式的次数
2、大1:(2)二项式系数:第r+1项的二项式系数为C:,地大二项式系数项居中;(3)次数:各项的次数都等干二项式的指数n.字母H降鼻排列,次数H1.n到0:字母b升耳排列.次数从0到n,每一项中,a,b次数和均为n:3.两个常用的二项装开式:(a-b)n=C-Canb+.+(-1.)rC:aE+.+(-IfC,X(ne*)(2)(1.+.t)=1+O+Cj+CX+.+xaJf点二、二项筵开式的通项公式二项二开式的通项:T,i=Canb,(r=0.1,2.-.n公式特点:它去示二项艇开式的第r+1攻,该项的:顶式系数是C:;字母b的次数和纲合数的上标相同:EI与b的次数之和为n.要点诠拜,(a+b
3、+c)a=(a+力+c=C;(+brcr=C:C1.ai如:(+%+c严绽开式中含0%s的系数为C;CC:=丁一312!5!要点诠科,三项或以上的绽开式向四.把某两项结合为一项,利用二项式定理解决,要点四:二项式定理的应用,求Ie开式中的指定的项或特定项(或其系数).2 .利用IK值法进行求有关系数和.二项式定理表示一个恒等式,对于随意的ab,该等式都成立.利用赋(ft法(即通过对a、b取不同的特别依)可解决与二项式系数彳f关的问咫,留意取但要有利于问SS的解决,可以取一个做或几个侑,也可以取几If1.值,解决何题时要避开漏JS等状况.设/()=(ax+b)n=ai,+1.v+,xz+.+an
4、x令xR,则%=/(0)=*(2)令X=1,则+1.+j+.+j,=/(1)=(+b)n(3)令x=1.,JW-+2-+(-1.)11=/(-I)=(-a+b)n+qi=4+=Z23 .利用二项式定现证明整除付及余数的求法,如:求证:322-加一9能被64整除(“eV)4 .证明有关的不等式向j三有些不等式,可应刖二项式定理,结合放缩法证明,即把二项St开式中的某些正项适当删去(缩小),或把某些负项删去(放大),使等式转化为不等式,然后再依据不等式的传递性进行证明.(1.+x)1+w.v:(1.+x)1.+二x:0)2如:求证:2(1+2)n5 .进行近似计算:求数的次界的近似值时,把底数化为
5、最旅近它的那个整数加一个小数(或诚一个小数楙J形式。当IXI充分小时,我们常用下列公式估计近似值:(1+幻”=1+nxi(I+xyI+zuz,-hX2:2如:求1.05的近似假,(史结果精确到OQh【典型例题】类型一、求二琬快开式的特定项制定项的系数例1.的二项式的绽开式.【思路点拨】依据二项式的战开式或按通项依次写出每一项,但要曲意符号.【解析】解法一:上备FM年Jy凶卜用冏绮,北中珠洲卜品J+,H-Pc-J=白C(4y+G(4x3)Y-3)+G(4心3(-3)?+C(4)2(-W+C(4X-3)*+C(-3)=IO24-3840d+57601-432O.?+162Ox,-243)32x-5
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