(完整版)实变函数(复习资料-带答案).docx

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1、二填空题（3分X5=15分）1、（CADC,8）C（ATA-B）=2、设是0上有理点全体，则E=_IE=,E-3、设E是川中点集，如果对任一点中了都.则称E是1.可测的4、/*）可测的条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”）5、设/）为“回上的有限函数，如果对于”.句的一切分划,使,则称/（x）为a.以上的有界变差函数。三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例说明.（5分X4=20分）1、设Eu*,若少是稠密集，则CE是无处稠密集。2、若mE=O,则E一定是可数集.实变函数试卷一一、单项选择题(3分X5=15分)1、下列各式正确的是()（八）

2、IinIAM=UCA；(B)Ii1.iIA.=c上J1.Q+C-1.三2、设P为CantOr集，则下列各式不成立的是()x),则Z1.(K)-/CO(B)sup/*)是可测函数(C)inf是可测函数；(D)若nn，.6=/*),则/*)可测5、设f(x)是”力上有界变差函数，则下面不成立的是()()在向上有界/“)在m,加上几乎处处存在导数(C)/(X)在上1.可积Cfx)dx=f(b)-f（八）J12,8分求呼则普叫必五、证明题（6分X4+1O=34分）.1、（6分）证明0,1上的全体无理数作成的集其势为C3、若(*)是可测函数，则必是可测函数4.设/5)在可测集E上可积分，若VXWEj()

3、0,则Jj(K)0四、解答题(8分X2=16分).1、(8分)设/*)=已，；：；数，则X)在0上是否R-*rir*vA可枳，是否1.-11J积，若可积，求出积分值。4、(6分)设史0,存在闭子集FttuE,使f(x)在方上连续，且巩E-5),=c)上的实值连续函数，则对于任意常数4.E=xf(x)a是闭集。3、(6分)在4句上的任一有界变差函数/都可以表示为两个增函数之差.连续,即不连续点为正测度集.3分因为是有界可测函数，/(X)在0上是1.-可积的6分因为/(r)与Y相等，进一步，./(.v)dv=.=1.8IJ，分2.解：设，(X)=幽辿e-c0sr,则易知当fs时，n，(X)2分又因

4、(牛卜土券Zt=I1.in(.t)dv=08分五、1.设E=K)J.A=EcQ.8=E(EcQ).8是无限集.三可数子集MUB2分.3A是可数集AjMM.分试卷一(参考答案及评分标准)一、1.C2D3.B4.5.D二、1.02、0,1；0:0,13、mT=m(Tr,E)+m(TryCE)1、充要5、|八Kj-5)|1成一有界数集。MJ1.错误2分例如：设E是()内上有理点全体，则E和CE都在0中稠密5分2 .错误2分例如：设E是。7川”集，O1.iJwf=O,但彳=C,故其为不可数集5分3 .错误例如：设上.是上的不可测集，.V,E-,r.1-.V,.VG./?-：则I/（八）I是a可上的可测

5、函数，但/（八）不是M句上的可测函数4 .错误，E=OHt对E上任意的实函数/)都有J(M=O四、1./(K)在0上不是?-可积的，因为/*)仅在X=I处所以V()S1,从而V()Sm,因此，/(X)是“向上的有界变差函数.6分4、f(x)在E上可积n1.imzzE(fR)=mE(f=+0)=02分据积分的绝对连续性，f0,3()yecE,me,有(,v)rfr0,3.Vnk,mE(fn),从而it-mef(x)dvf.即Iimrue=O6分n5.VnN,存在闭集FUEjn(E-F)7,()在连续2分令广=OC5，则VXGF=弘,XGE,=(x)在户连续4分又对任意k,w(E-FnAE-Fn)

6、|=*u(-A；)j-A,nk力/(-1；)B=AuMkJ(BM),5J)且(AUM)C(8M)=e,MC(5f)=/：.EB.:.B=c.6分2.以wE,则存在中的互异点列xj,使IimX(I=X2分VxnE./(xn)a3分/(x)点连续,，/(X)=Iimf(x)a.XGE5分；.是闭集.6分3. 对=1,3力0,使对任意互不相交的有限个(a；E)U(Qb)当名他一q)5时，有f(b)1.-/()|12分=1将。的m等分，使tk,-&J6，对I-ITzX,.i=,i1.-k=X,有S(2j-(2,)1.,所以-1/(.V)在K-.xJ上是有界变差函数5分的(A) f(*)在0,bA-可积

7、=I1.AX)I在0回1.-可积:(B) f(X)在,bR-可积Ufa)I在bR-可积(C) /(.r庶a,(-可积U/(刈在问犬-可积：(D) /(x)在(+)A-广义可积=/(.0在(a,收)1.-可积二.填空题(3分X5=15分)1、设AAI=P,2-口.=1,2.则瓯儿=。nn2、设户为CantOr集,则P=,mP=_方=_3、设是一列可测集，则，”&5,m514、一津定理:5、设尸(X)为4句上的有限函数，如果则称尸为M以上的绝对连续函数。三下列命题是否成立法成立,则证明之;若不成立,则说明原因或举出反例.(5分X4=20分)1、由于0.1-(0,1)=0,1,故不存在使(0,1)和

8、0J之间IT对应的映射。又ME-F)=O,所以/(x)是E-户上的可测函数，从而是E上的可测函数.10分实变函数试卷二一.单项选择题(3分X5=I5分)1 .设M,N是两集合，则-(-)=()（八）M(B)N(C)MCN(D)02 .下列说法不正确的是()（八）凡的任一领域内都有E中无穷多个点，则a是E的聚点(B)尾的任一领域内至少有一个E中异于冷的点,则乙是E的聚点(C)存在E中点列匕,使”,%,则月是E的聚点(D)内点必是聚点3 .下列断言()是正确的。（八）任意个开集的交是开集：(B)任意个闭集的交是闭集：(C)任意个闭集的并是闭集；(D)以上都不对；4 .卜.列断言中()是错误的。0,

9、必存在E上的连续函数vXv),使，I/(x)-dr)I山y.3. ),作函数列:IyOH“=0.vg(j.+)显然Zi(X)-I.当xg。但当0。时,I-1.=(11,4)且?(,+这说明(.6不测度收敛到1.5分4.错误2分例如：/(X)=XCC啥,0E,显然是的0w.v=0.连续函数。如果对0,1取分划7:0上一!rJ1.1,则容易证22Im1.32明次U(M-/(5)I=力!，从而得到Js=85分Z-II-I10四、I./(x)在0上不是/?一可枳的，因为/(x)仅在X=I处连续，即不连续点为正测度集3分因为/(K)是有界可测函数，所以/(X)在0.1上是1.-可积（答案及评分标准）X1

10、.C2,C3,B4,C5.A二、1,(0.2)2,c；0；03,0,存在闭子桀与uE,使得/(.6在Ea上是连续函数，且m(EEv)03S0,使对,/中互不相交的任意有限个开区间(*),i=1.,2只要名(.-)=CJ(I)=A以G=%=1.2一力=JGX为(OJ冲无理数,显然0是0,1到(0,1)上的I-I映射。5分2.正确设E,为零测度集，0S(jE,)sf加E=O,所以,r-1.m(G11-E)-I分令G=CG“，则G是可测集3分o=1.又因W(G-E)W(G,-)1对一切正整数”成立，因而nW(G-E)=O,即M=G-E是一零测度集，所以也可测.5分由E=G-(G-E)知，E可测。6分3、易知g(x)=*()是力上的增函数2分令(.v)=g(x)-/(x),则对于阳x2b有(x1)-(