第2章-弹性力学基础.docx

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1、第2章弹性力学根底内容提要：本地主要介绍弹性力学的根本概念.主要包括应力、应变的定义和性廉应力平询方程、几何方程和物理方程,并对弹性力学问题的根本求解方法进行简介。为了便于对机械结构白限元计算结果能够很好地分析评价,本章还介绍了结构强度与失效的根本理论.有关能出法的简单知识是后续有限元法的理要理论根底.教学要求：学习掌握府力、应变根本概念和主要性质,掌握弹性力学根本方程、府力边界条件、协调方程等r解弹性力学平面问题的应力函数法.掌旌结构强度失效准那么中的等效应力理论等内容.了解能a：法的根本思想.2.1 引言用性力学(EESIiCTheOry)作为一门根底技术学科，是近代工程技术的必要根底之一

2、。在现代工程结构分析，特别是航空、航天、机械、土建和水利工程等大型结构的设计中，广泛应用新弹性力学的根本公式和结论.弹性力学与材料力学(FCUndamCnta1.StrengthsCfMaICri的在斫究内容和根本任务方面,是根本相同的，研究对象也是近似的，但是：者的研究方法却有较大的差玮。弹性力学和材料力学研究问题的方法都拈从好力学、儿何学、物现学三方面入手的。但是材料力学的研究对象是杆状构件，即长度远大于宽度和厚度的构件,分析这类构件在拉压、我切、弯曲、扭转等几类典型外栽荷作用下的应力和位移.在材料力学中，除了从静力学、几何学、物埋学三方面进行分析外,为了简化推导，还引用了一些关于构件的形

3、变状态或应力分布的其定(如平面被面的假定、拉应力在截面上均匀分布的假定等等)。杆件横做面的变形可以根据平面假设确定，因此媒合分析的结果，即问题求解的根本方程，是常微分方程。对于常微分方程.数学求解是没有困难的.而在弹性力学里研究杆状构件一般都不必引用承些检定,所以具解答要比材料力学里得出的解答精确得多.当然.弹性力学在研究桢壳等一些亚杂问胭时,也引用了一些有关形变状态或应力分布的假定来简化其数学推V。但是由于弹性力学除研究杆状构件之外，还研究板、壳、块,甚至是三维物体等,因此问题分析只能从微分单元体入手，以分析单元体的平衡、变形和府力应变关系.因此问题统合分析的结果是满足一定边界条件的偏微分方

4、程.也就是说何题的根本方程是偏激分方程的边值问虺.从理论上讲，弹性力学能好决一切弹性体的应力和应变问即.但在工程实际中，般构件的形状、受力状态、边界条件都比拟发杂，所以除少数的典型向SS外，对大多数工程实际问题，往往都无法用抨性力学的根本方程直接进行斛析求解，有或只能通过数值计总方法来求得其近似解弹性力学的研咒方法决定了它是一门根底理论课程，把弹性力学的理论直接用于分析工程问题具有很大的困潍。原因主要在于它的根本方程一一儡微分方程边俏同网求解的困班。由于经典的解析方法很雄用于工程何件分析，因此探讨近似解法是用性力学开展中的特色.近似求解方法，如差分法和变分法等,特别是随着计算机的广泛附用而开展

5、的有限单元法,为弹性力学的开展和解决工程实际何题开辟了广阔的前景.本章主要介绍弹性力学根本概念、用解析法求解简单弹性力学问题的根底知识，主要包括弹性力学根本方程、边界条件表达式等.掌握这映弹性力学的根底知识对后续有限单元法的学习非常重要，此外,为了更好地理解机械结构有限元分析的根本原理以及将来对分析结果更好地评价和理解.还介绍了机械结构强度失效准那么、结构分析中的能琉法等方面的根本内容.作为固体力学(SO1.idMeChaniCS)学科的一个分支，弹性力学的根本任务是针对各种具体情况，确定用性体内应力与应变的分布规律，也就是说，当舛性体的形状、勃理性侦、受力怡况和边界条件时，确定其任一点的应力

6、、应变状态和位移.弹性力学的研究对象是理想弹性体，其应力与应变之间的关系为线性关系即符合庞克定律.所谓理想弹性体是指符合下述假设的物体.连续性假定.也就是假定整个物体的体积都被组成该物体的介质所填满,不存在任何空隙.尽管，切物体都是由激小粒子组成的，并不能符合这一假定，但是只要粒子的尺寸以及相邻粒子之间的用离都比物体的尺寸小得很多,那么对于物体的连续性假定,就不会引起显著的i吴)“有了这一假定，物体内的一些物理量(如应力、应变、位移等等)才可能是连续的.闪而才可能用坐标的连续函数来表示它们的变化班律.完全弹性假定。这是假定物体服从虎克定律，即应变与引起该应变的应力成正比.反映这一比例关系的常数

7、，就是所谓的弹性常数.弹性常数不随应力比应变的大小和符号而变。由材料力学：脆性材料的物体.在应力未超过比例极限前,可以认为是近似的完全弹性体：而韧性材料的物体,在应力未到达屈服极限的，也可以认为是近似的完全弹性体.这个假定.使得物体在任意瞬时的应变将完全取决于该瞬时物体所受到的外力或温度变化等因素，而与加软的历史和想我顺序无关，均匀性假定。也就是假定整个物体是由同一材料祖成的。这样，整个物体的所有各局部才具有相同的弹性.因而物体的弹性常数才不会随位置坐标而变，可以取出该物体的任意-小局部未加以分析，然后把分析所得的结果应用于整个物体.如果物体是由多种材料组成的，但是只要每一种材料的预粒远远小于

8、物体而且在物体内是均匀分布的，那么整个物体也就可以假定为均匀的。“)各向同性假定。这是假定物体的弹性在所有各方向上都是相同的.也就是说，物体的弹性常数不随方向而变化。对于非晶体材料是完全符合这一核定的.而由木材、竹材等作成的构件就不旎当作各向同性体来研究.至于钢材构件，虽然其内部含有各向异性的晶体,但由于晶体非常微小，并且是随机界列的，所以从统计平均意义上讲，钢材构件的弹性根本上是各向同性的。(5)小位移和小变形的假定。在弹性力学中，所研究的问题主要是理想弹性体的线性问题。为了保证研究的问题限定在线性范用,还需要作出小位移和小变形的假定.这就是说,要假定物体受力以后,物体所有各点的位移都远远小

9、于物体胤来的尺寸，并且其应变和转角都小于1.所以，在建立变形体的平衡方程时，可以用物体变形前的尺寸来代秒变形后的尺寸，而不致引起显著的误差，并且，在考察物体的变形及位移时，对于转角和应变的二次寨或其乘枳都可以略去不计,对于工程实际中的问即，如果不能满足这一假定的要求,一般需要采用其他理论来进行分析求耨(如大变形理论等).上述假定都是为了研究问咫的方便，根据研究对象的性质结合求解问区的范围而作出的.这样可以略去一些钝不考虑的因素，使得问胭的求解成为可能.弹性力学问电的求解方法按求豺方式上可以分为两类：解析方法和数僦算法”解析方法是通过弹性力学的根本方程和边界条件、用纯数学的方法进行求解.但是在实

10、际问遨中能鲂用解析方法进行精确求解的弹性力学问理只是很少一局部.现在工程实际中广泛采用的是救他的方法，如有限单元法.2.2 弹性力学的几个根本概念外力与内力1 外力(1.Oad)作用-物体的外力通常UJ分为两类，即面力(SUrfaCeFonx)和体力(BOdyFOree)，面力是指分.布在勒体外表卜.的外力.包括分布力(DiStribUtCdFOrCC)和集中(ConcentratedFOrCC),如的力容器所受到的内压、水境所受的静水压力、物体和物体之间的接触压力等等,通常情况下，面力是物体外发各点的位置坐标的函数。在物体外衣P点处取一微小面枳4S,假设其上作用有外表力4尸，那么尸点所受的外

11、表力定义为Q1.蚂第2,)体力(BodyFOKC)一般是指分布在物体体积内的外力,作用于弹性体内每一个体枳单元.通常与物体的质吊成正比、且是在质点位置的函数，如iR力、惯性力、破场力等，作用在物体内P点上的体力，UJ按面力定义方式进行定义，即在P点处取一微小体杉!匕假定其上作用有体力Hr那么P点所受的体力可定义为(2.2)Hm空-V2 内力(IntenM1.fOrCe)物体在外力作用下，其内部将产生抵抗变形的“附加内力”，简称内力,假设假想用一势过物体内P点的搬面切将物体分为两局部八和8,并移去其中的一局部从我们知道，当一个物体在外力作用下处于平衡状态时.物体各局部都应保持平衡.显然.在截面，

12、”上必定有某种力存在,这种力就称为内力，实际上也就是物体内部的相互作用力，如图2-1所示，在裁面，加上应该彳f移去的虚税局郃B对4用部作用的内力。应力的概念所谓一点处某个截面上的应力(StrCSS)就b.,K2.1物体内任直点处的直力是指该搬面上的“附加内力”，即内力在该点处的集度。如图2.1所示.一点P处在旅面”切上，在该点处取一微小面积AA,线设作用于4上的内力为AG,那么T=Iim(2.3)40AA7就是尸点处的应力。通常.将应力沿截面”的法向和切向进行分斜，相应的分量就是IE应力和剪应力人.它们满足IIf=W+d(2.4)在物体内的同一点处，不同方向截面上的应力(IE应力。和剪应力)是

13、不同的，只有同时给出过该点截面的外法向方向,才能确定物体内该点处此截面上应力的大小和方向.H2.2微小正方体元If的亶力状Jt在弹性力学中，为了描述弹性体内任一点P的应力状态，可能从弹性体的连续性假定出发，整个弹性体可以看作是由无数个微小正方体元索祖成的。在该点处切取一微小正方体，正方体的技战与坐标轴平行,如图2.2所示.正方体各面上的应力可按坐标轴方向分解为一个正应力和两个剪应力，即每个而上的应力挪用，.个应力分量来表示.由于物体内各点的内力都是平衡的,作用在正方体相对两面上的应力分联大小相等、方向相反，这样，用9个应力分啾写成矩阵的形式来表示正方体各面上的应力，即GG7r%=.V*%3其中

14、,正应力下标表示作用面和作用方向：.是剪应力,第一下标表示与截而外法线方向相致的坐标轴，第二下标表示剪应力的方向。应力分属的符号规定：假设应力作用面的外法线方向与坐标轴的正方向一致，那么该面上的应力分信就以沿坐标轴的正方向为正，沿坐标轴的负方向为负,相反，如果应力作用面的外法戌是指向坐标轴的负方向，那么该面上的应力分相就以沿坐标轴的负方向为正，沿出标轴的正方向为负。根据材料力学的根本极念(下一节中也将迸一步证明)，从图2.2中澈小正方体的平衡条件(力矩平衡方程)出发，作用在正方体各面上的剪应力存在着互等关系：作用在两个互相事内的面上并且垂白:于该两面交线的剪应力是互等的,不仅大小相等而且正负号

15、也相同,即Gy=T.rn=ra,ryz=ff(2.6)这就是所谓的剪应力互等定理.应变的概念物体在外力作刖下其形状要发生改变,变形指的就是这种物体形状的变化,这种形状的改变不管多么复杂，对于其中的某一个单元体来说,只包括梭边氏度的改变和各核边的央用的改变两类.因此，为了考察物体内某一点处的应变(S1.rain),同样可在该点处从物体内截取单元体，研究其校边长度和各校边夹角之间的变化情况.对于微分单元体的变形.将分为两局部讨论：极边长度的伸长(或缩短)量,即正应变(或线应变.1.inearStrain),以及两棱边间夹角的改变艮(用弧度灰示)，即典应变(或角成交,ShearStrain).图2.

16、3是对这两种应变的几何描述，在彳H个图例中单元体的初始位汽和变形后的位置分别由实践和虚设表示.物体变脖时，物体内一点处产生的应变，与该点的和时位移有关。图2.3表示在变形照后的单元体在X2，而上的投影.图中表示了单元体的应变和刚体状动与位移导数的关系.在小应变情况下(位移导数远小于I的情况),位移分房与应变分居之间的关系(变形几何方程).在图2.3（八）中,单元体在X方向上有一个M的伸Iifi1.低分单元体校边的相对变化后就是正应变.翼设表示X轴方向的正应变，那么（八）(b)c)R23单元体Jfi交的几何描述(aU方向的统应变.b)y方向的戊庖变.(0v面内的四座变相应地.如图2.3(b)所示为.V轴方向的正应变为/K=-1.(2.8)Ay图2