【《论数形结合思想的价值意义》10000字（论文）】.docx

《【《论数形结合思想的价值意义》10000字（论文）】.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【《论数形结合思想的价值意义》10000字（论文）】.docx（12页珍藏版）》请在优知文库上搜索。

1、论数形结合思想的价值意义目录I引言21.1研究背兔21.2研究意义21. 3研究价值22数学结合思想的起源与发展32. 1数与形的产生32.2古希腊时期的数形结合思想42.3中国古代数学中的数形结合52.4解析几何的创立72. 5近现代数学中的数形结合73数形结合思想的价值体现83. 1数形结合在概念定理中的优越性83.2数形结合对微积分的重要作用93.3数形结合为三大几何问巡的解决提供了转机IO3.4数形结合使圆惟曲线的研究有了新进展124总结12参考文献13摘要：数学思想方法是对数学知识的本质认识,是从具体的数学内容以及对数学的认识过程中所提炼的数学观点与方法，而数形结合思想是具有一般性的

2、数学思想，也是数学中最常见和最基本的数学思想方法之一，在数学中具有重要的价值和意义.数形结合思想贯彻丁整个数学知识体现中，通过“数”与“形”的紧密结合，将代数式的精确性与几何图形的直观性相结合，使代数问题和几何问题相互渗透、相互转化，为代数问题提供了几何直观，为几何问题提供了精确的证明，具有很高的研究价值.关键词：数学.思.想：数形结合：方法：价值1引言1.1 研究背景数学是一门科学，其主要研究的是空间和数量的相关关系，同时也是一种反映社会和自然规律的语言.数学以抽象概括的形式逐渐形成科学语言，处于自然科学和人类生活中的基础地位，促进者社会的发展.学习数学，除r掌握最基本的数学知识以外，更应该

3、掌握数学知识背后的本质，即数学思想.数学思想在培养能力、提升数学核心素养反面都发挥着重要的作用.数学思想方法是对数学知识的本质认识，是从具体的数学内容以及时数学的认识过程中所提炼的数学观点与方法，而数形结合思想是具有一般性的数学思想,也是数学中最常见和最基本的数学思想方法之，在数学中具有重要的价值和意义.我国著名数学家华罗庚先生在淡淡与蜂房结构有关的数学问题中写到“数缺形时少直觉，形少数时难入微.数形结合百般好，隔裂分家万事非.”这短短的几句话，直接明了的道出了数形结合在数学思想中的重耍性.1.2 研究意义数形结合思想贯彻于整个数学知识体现中，它将看似独立的代数与几何结合到-起，为代数问期提供

4、了几何直观，为几何问即提供了精确的证明，具有很高的研究价值.数形结合通过形象来揭示事物的木质，与逻辑思维相辅相成，使数学研究有目的、有方向，并与严格论证辩证统一、有机结合，促进/数学的不断完善与发展.数形结合思想方法是学习数学的一个基本方法，数和形两者相互渗透，不可分割,通过“数”与“形”的紧密结合，将代数式的精确性与几何图形的直观性相结合，使代数问题和几何问题相互渗透、相互转化，从而使抽象思维与形象思维完美融合.1.3 研究价值通过数形结合，首先，我们对于几何图形性质的研究更加深入广泛了，同时，研究的对象也更为广泛，方法也更加般化了.其次是为代数研究提供了儿何直观.代数方法便丁精确计算,几何

5、图形直观形象，两者相结合，互相促进，从而加深J我们对数量关系与空间形式的认识.正如拉格朗日所说：“只要代数同几何分道扬铺，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄，但是当这两门科学结合成伴侣时，它们就互相吸取新鲜的活力，从那以后，就以快速的步伐走向完善”.F数形结合思想的IR要性显而易见，对于数形结合思想的研究自然也很多，但当下对于数形结合的研究主要集中于中学生运用数形结合解决数学问题的情况及教学策略等，然而，数形结合思想的价值并不局限于此.本文简单的介绍J数形结合的起源与发展，主要从数形结合在概念定理中所具有的优越性、在微积分这个数学分支中的重要性、在三大几何问题以及圆锥曲线的研究中发挥的重要作用

6、四个方面来论述数形结合思想的价值意义.希望由此能锅引起大家对数形结合思想的亚视.2数学结合思想的起源与发展2.1数与脂的产生人类在蒙昧时代就已经具有识别事物多寡的能力，从这种原始的“数觉”到抽象的“数”概念的形成，是一个缓慢的、渐进的过程户在后来，人类根据生活经验察觉并发现，一棵树，一条鱼，一个太阳等在这一系列物体间，似乎存在若某些共同的属性，这样，“数”也就应运而生了.同时，我们可以清楚看出此时的“数”与具体的事物或“形”是相互联系在起的、不可分割的.而这也是“数”与“形”相结合的最早的无意识衣征叫随着远古人类对数的理解的不断进步，他们为更好的表达事物在“数”方面的数学，于是便产牛了“记数”

7、，如石子记数、绳结记数、刻痕记数等，都是人类早期的记数方式.数的概念产生之后，首先用来表示“数”的工具是“形”，在古代的各种各样的记数法中，都是以具体的图形来表示抽象的数（如图I）,以及中国的算盘是一个历史最长的记数工具.而几何知识最初是从人们对形的直觉中萌发出来的，这与数的产生类似.那时候人们首先是从自然界中提取几何形式的，比如圆月，并且通过器皿制作、建筑设计以及绘画装饰加以再现.这时期由于人类的认识能力有局限，对于“数”与“形”的概念还处于蒙昧的初级认知阶段，数和形的结合是无意识,结合的根本原因是人们无法对两者进行区分地古埃及的象形敷字（公元thoM右）ne9jrs至QIM18IOtOMM

8、C0000KWOOIOCOOOOO巴比佗慢彩傲字（公元第28阵左右）1fIfFT*PfWWVW5S14t,，*T1（WTTTKIIWI，IS1用图彩表示ft2.2古希腊时期的数形结合思想几何学发展的繁荣时期是在占希腊时期，古巴比伦人和占埃及人从长期的生产生活实戕中获得了大量的直观几何知识，传入了古希腊，在这一时期有两大著名的数学学派,他们是此时数学的代表，为几何学的进步与发展做出了巨大的贡献，其中之的毕达哥拉斯学派信奉“万物皆数”，他们在算术的基础上，成功的为几何学的发展奠定r基础,真正的做到了将数与形相结合起来，为古希腊数学的发展起到了极大的促进作用.毕达哥拉斯学派的贡献之是有意识地承认并强

9、调数学上的东西如数和图形是思维的抽象，同实际事务或实际形级是截然不同的巴毕达哥拉斯学派对数做了许多研究，比如“完全数”、“亲和数,、“形数”等等，其中，他们对“形数”的研尢，强烈地反映了他们将数作为几何.思.维元素的精神，通过对形的观察来探究数之间的内在联系.例如,三角形数1.3,6,10ffl2三角彩我正方形数1,4,9,16.hS14916困3正方彩效五边形数1512.22.用4五边彩致用公式表示为：M=I+2+3+”吗DM=I+3+5+7+（2-1）；M=I+4+7+（3-2）=毕达哥拉斯学派提出“万物盾数”，他们信奉“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比同”.他们之所以认为数是切事

10、物的本源，是因为他们试图将几何学建立在算术的基础之上.毕达哥拉斯相信任何地都可以表示成两个整数之比（即某个有理量），这是他们对“数”狭隘的认识，当毕氏学派的成员西帕苏斯发现了不可公度线段时.，切的几何基础倒塌.欧几里得是希腊论证几何学的集大成者，他的几何原本是运用公理化演绎的方式编著的，而几何原本的出现为几何学的发展更定了基础,用几何的观点去研究代数的问题，一般认为，所有的代数间题都可以转换为几何问题，其实这也是毕达哥拉斯学派对无理数的存在持否定态度的表现.他们从几何的视角将数用线段进行了描述，其中，数与数之和可以看作是将某一线段进行延伸所得，同样的，对于两数之差的表示则是将一线段割去另一线段

11、的长度而得，而属于数之间的乘积是可用以这两个数为边长的矩形的米那估计来替代的户在“形”的相互关系的比较中，在定程度上数的概念也得至1发展，而无理数的发现就是最为典型的例子.只是，在这一时期的古希腊人，他们是完全无法接受无理数的概念的，而所导致的结果就是把代数与几何看成是完完全全不相干的学科干后来的人们直被这种看法所影响，直到笛卡尔时期坐标儿何的产生，数与形的结合才得到了进一步的发展.23中国古代教学中的数影结合数形结合的历史源远流长，我国古代数学中，处处可以寻觅到它的印迹.早期作为历史最长计算工具的算筹和算盘，便可以看作是“数形结合”的雏形.我国潦传至今的一部最早的数学著作周髀尊经中就已记载：

12、“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一.”在九章算术3“商功”章节中所叙述的体积之术文，其实就已经孕育若几何代数化方法,我国伟大的数学家刘微撰写的九章算术注中也主张“析理以词，解体用图“，意思是用言辞来分析与表达道理，用图形来建立几何直观帮助解决问题.在中国古代数学的发展中，数形结合的优势也体现地淋漓尽致，它不但促进了中国古代数学的发展，同时也为现代数学的发展提供r参考，对数学的发展作出了巨大贡献.而在古代的数学研究中，最能体现数形结合的范例之一可属刘做和杨辉对“三角形面积公式”的推导.在九章算术一书中，记录有刘微对三角形面积公式的推导方法，其中有这样一段对于三角面枳公式的推导

13、过程的描述：“半广以乘正从.半广知，以盈补虚为直出也.亦可半正从以乘广.”其实,刘徽的这种推导方式所得到的结论与我们现在所运用的三角形面积公式的表述是完全一致的，而在当时对丁三角形面积公式这一结论的得出，得益于中国古代数学家将数与形相结合以解决数学问题的思考，它也是数形结合思想在我们古代运用最直接的反映.四具体分析如下(如图5所示).图5刻祇对三角彩而积公式的推导后来，杨辉进一步研究J刘徽的三角面积公式的推导方法，其研究成果记录在田亩比类乘除捷法一书中,根据书中记载，杨辉将他自己的推导方法总结为：“广步可以折半者，用半广以乘正从，从补可以折半行,用半从步乘广.广从皆不可折半者，用步从相乘折半.

14、”网而这一结论与我们现在所运用的：角形面积公式完全一致，用公式可以将杨辉的结论表述为以下三种情况：s=；ah；S=(d);S=a().刘徽和杨辉对三角形面积公式的推导过程是我国古代数学中数与形完美结合的典范，其具体做法是通过“以盈补虚”的方式将三角形构造和转化成为一个矩形，从而得出三角面积公式，而这无疑是数形结合思想的体现.2.4 耨析几何的创立17世纪以后，随着社会生产的进一步发展和需要，圆锥曲线的研究也应运而生，而就是在这样的背景卜.，解析几何应人们的种种需要产生了.解析几何的发明要归功于法国的两位著名数学家笛卡尔与费马，他们对解析几何的创立有着极为重要的作用，他们对解析几何的研究是数与形

15、相结合的直观体现，是数与形相结合的典型的代表性成果.笛卡尔和费马打破了古希册人对代数与结合认识上的狭隘性，他们将数与形相结合统一了起来.依据笛卡尔的几何可以知道，他创立解析几何的要旨是把儿何学的问题归结为代数形式的问题，筒单的说就是从运动轨迹（形）出发寻找它所满足的方程（数）,而费马则相反，他是从方程（数）出发研究曲线（形），他指出“每当在最后的方程中出现了两个未知量，我们就得到一个轨迹，其中一个未知量的端点描绘出一条直线或曲线.这条直线简单且唯一，曲线的种类无限的多一一圆、抛物线、双曲线、柄圆等等“,对比两人的思维路径，他们的研究正是解析几何基本原理的两个相反方面.即把几何问题转化用代数方法，然后用代数方法研究图形的几何性质叫“随着解析几何的创立，不仅使过去的几何问题有了一个般的解法和个有力的工具一一代数的工具，而且还扩大r几何的领域B一方面又揭露/,代数与分析中的许多事实可以用几何来表现，例如函数关系就可以用图形来表示.反过来，几何上的一些考虑又可以恬助解决代数与分析的问题”2.5 近现代数学中的教形姑合从解析儿何创立以后，数与形之间就不再有那么明显的界限了.对于18世纪后的数学，也许我们只能牵强的把“数”理解成