专题圆锥曲线的综合应用测试题.docx

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1、专题17圆锥曲线的综合应用【自主热身,归纳总结】1、已知双曲线之一/=1的左焦点与抛物线y=-12x的焦点重合,则双曲线的右a准线方程为.O【答案】：x=【解析】：因为抛物线的焦点为（-3,0）,即为双曲线的左焦点,所以丁=9-1=8,O所以双曲线的右准线方程为X=-.2、若双曲线x2+my2=l过点（一小,2）,则该双曲线的虚轴长为.【答案】4【解析】：将点（一乖,2）代入可得2+4勿=1,即加=一；,故双曲线的标准方程为:2一（=1,即虚轴长为4.易错警示本题易错在两个地方：一是忘记了虚轴的概念：二是没有把双曲线方程化成标准式.双曲线的实轴长为2a虚轴长为2%需要记住.双曲线的儿何性质的研

2、究都需要借助于标准方程才能进行，所以拿到双曲线方程要先化为标准式.3、在平面直角坐标系.Sy中，已知双曲线的焦点到渐近线的距离为2,则该双曲线的离心率为.答案【解析】焦点在X轴，不妨取焦点坐标为（C,0）,渐近线方程为,.ll,v-y=Ofy=-X,卬所以焦点到渐近线距离为所以离线率为42后砺=亍【解题反思】双曲线的焦点到渐近线的距离为短半轴长力，这一点耍熟记.224、在平面直角坐标系xy中，抛物线=2pA(p0)的焦点为F,双曲线工一看=l(a00)的两条渐近线分别与抛物线交于/1,6两点(48异于坐标原点0.若直线力恰好过点F,则双曲线的渐近线方程是.【答案】：y=2x【解析】：由题意得/

3、，pj一小双曲线=130,。0)的渐近线方程为y=-,不妨设点标夕I在渐近线y=上，则P=-所以=2,于是该双曲线的渐近线方程是y=2*.5、若双曲线的两条渐近线与抛物线)J=4交于。.p,q三点，且直线PQ经过抛物线的焦点,则该双曲线的离心率为.解法2由题意可得A(-2,0),设P(a,a+2),则AP的中点MiIfjr.AP=2(a+2)故以AP为宜径的厕M的方程为卜一空万工十卜一色曰2=卜11：由题意得圆C与圆M相切(内切和外切)，故5甘一2；，詈/=|啦号|,解得a=g或a=5.故点P的横坐标的取值集合为，解后反思在解决与圆相关的综.令问题时，需要充分利用圆的几何性质及一些简单的轨迹方

4、程的知识将问题转化为直线与圆或圆与圆的问题去处理，另外本题的难点还在于方程的处理.【问题探究,变式训练】例1、如图，椭圆E+4=1的左,右焦点分别为/F,M,N是椭圆右准线上的两个43动点,且.（1）求MN的最小值：（2）以MN为直径的圆C是否过定点？请证明你的结论.解（1）设的（4,）;）,N（4,丹）.则F1M=（5.yl）,F2N=（Xy2）tt斗y=szzzz又，（O对AX当且仅当M=i?时,等号成立，、所以MN的最小值为2厉.（2）圆心C的坐标为（4.乂产），半径,=岭J.圆C的方程为，整理得：.,.yy2=-s.令y=0,得,.所以圆C过定点（4士加,0）.【变式1、如图，已知圆/

5、+=4,直线/：”4,圆。与*轴交4两点,.V是圆0上异于A,8的任意点，直线力J/交直线1于点直线8J/交直线1于点Q.求证：以。为宜径的圆。过定点,并求出定点坐标.解设W(S,/),则直线MA方程为，则,二).5+2同理：b0)的离心率为乎,椭圆上动点P到一个焦点的距离的最小值为3(第一1).(1)求椭圆C的标准方程：(2)已知过点M(0,D的动直线1与椭圆C交于A,B两点,试判断以线段AB为直径的圆是否恒过定点，并说明理由.，【解折】：（I）梯里上珈P（x:,到左、右焦西的距离的最小堕为a-U（2）先根修Jl径AB至*和水平两例即兄，播谧O可能为MO,3），再考庄市而是否为零.（1）由题

6、跖稗乒解得：S所以-9.（4分）1.-c=3（2-l）,椭图C的标准方曜是a（二1.（6分）（2）当直线1的斜率不存在时，以AB为直径的圆的方程为x2+y2=9;（7分）当宜线1的斜率为零时，以AB为宜径的圆的方程为2+（y+i）2=i6.（8分）这两圆仅有唯一公共点，也是椭圆的上顶点D（0,3）.猜想以AB为直径的圆恒过定点DS,3）.（9分）证明如下：证法1(向量法)设直线1的方程为y=kxT(x“yJ,Ba,y，.只要证凉曲=xlx2+(y-3)(y2-3)=xx2+(kxl-4)(kx2-4)=O即可.y=k-1,由x+2y2=18,即要证反DB=(l+k)xlx2-4k(x.+x2)

7、+16=0.(11分)消去y,f(l+2k2)x2-4k-16=0,=16k*+64(12k2)0,jtt方程总有两个不等实根X2.(14分)2k29kz+44k-16x.2=J+2,月I以X十X：=+2xx=+2“6(+l)16k*所以DDB=(l+k)x1x2-4k(x+x2)+16=jZp7pp+16=0.所以DADB,所以以AB为直径的圆恒过定点D(0,3).(16分)证法2(斜率法)若设。人,。8的斜率分别为限/,只要证10b0)的离心率为平,左焦点F(-2,0),宜线1：y=t与椭圆交于,B两点,M为椭圆E上异于A,B的点.(1)求椭圆E的方程；(2)若M(一乖,一1),以AB为直

8、径的圆P过点M,求圆P的标准方程；(3)设宜线M,MB与y轴分别相交于点C,D,证明：OCOD为定值.思路分析第(2)问要求圆P的方程,就是要求得t的值,为此,由圆P过点M,可得MA一MB,可用向量或斜率关系转化为坐标表示,通过解方程,可得t的值：第(3)n的本质就是求点CtD的纵坐标，由于点C,D随着点M的变化而变化,因此以点M的坐标为参数，通过设出点M的坐标，进而表示出点C1D的纵坐标，通过计算得0COD为定值.【解析】：(1)因为e=乎,且c=2,所以a=2*,b=2.(2分)22所以椭圆方程为总+f=1.(4分)54设A(s,t),则B(-s,t),且s22t2=8D因为以AB为直径的

9、圆P过点M,所以MMB.所以以靠=0,(5分)又砥=(s+,t1),MB=(s+6,t+l),所以6sT(t+1)-=0.(6分)由解得1=1或t=7(舍,因为+syl:同理yp=,（11分）叱EccCnIII-txsy3!,g分代入BHSW%邛或d，Bja屋3或ZX-半.；)，8rCtfJFlt):或)-坐X-1.-9分(3)设坐标为(.y3),1)1C(O,1),Mx.,0)可得门线CM的方程=-1.+,联立椭圆方程得：解得q=4,=*12分由8(I),得直线外的方程：，立线北方程为争+1.联立(g)得马=2,15分从而40=2为定值.16分解法2：设坐标为(的小)，由三点共线得,所以10

10、分由,4*三点共线得,将代入可得,12分和相乘得，IF255-*2S/*卬-j6.16分【关联3】、已知椭圆C：J=l(abO)的离心率为好,且过点P(2,T).abc(1)求椭圆C的方程；(1)在y=x+3中，令X=O,得y=3,从而b=3.(2分)由生+看i得W+W”=1.ly=x+3所以Xo=一肃,(4分)因为PB1=xo+(y0-3)2=2X。I,所以1啦=2解得a?=18.所以椭圆的标准方程为2+与=1.(6分)(2)证法1(设点法)直线PBl的斜率为kPB尸*匚，Xo由QB1XBB11所以直线QBl的斜率为kQB尸一Y1.3于是直线QBl的方程为y=一一+3.Yo-3同理,QB：的方程为y=-3.（8分）YoIJ联立两直线方程,消去y,得xl=-.（10分）Xo22222因为P（XIxyO）在椭圆备+=1上,所以+=1,从而y；-9=一三.所以x1=-IoVIoVZy.（12分）,SPB1B2XoC/八、所以SZXQB出广W=2.（14分）证法2（设线法）设直线PB“PB的斜率分别为k,k,则直线PBI的方程为y=kx+3.由QB1XPB1,宜线QBl的方程为y=-x+3.Y2V2将y=kx+3代入+=l,得（2l2.(14分)I2i+TI解后反思本题的第(2)问是圆锥曲线中常