sars的预测控制模型.docx

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1、sars的预料限制模型SARS的预料限制模型摘要本问题是一个关于传染病限制的数学预料模型。首先，我们对附件1的模型进行了深化的分析，认为它具有肯定的合理性，但是时于预料而言，好用性却不强。为了能够达到精确预料的效果，我们建立了一个微分方程组的传染病限制模型来描述SARS传播的过程，此模型在探讨了SARS传播过程的基础上，采纳了差分计算的方法深化地分析了感染人数的改变规律，度量传染病扩散的程度并对制止其扩散的手段进行r较深化的探讨。在模型中依据政府相关限制措施来确定日治愈率）（t,日接触率）（t的值，预料了传染病高潮的到来时刻。此外，针对SARS对北京市接待海外旅游人数的影响，利用时间数列分析方

2、法建立了预料模型，并且得到9-12月北京地区海外旅游人数分别为：19.6、24.5、26.7、22.6（万人）一、问题的重述：SARS（SevereAcuteRespiratorySyndrome,严峻急性呼吸道综合症，俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和扩散给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，这其中有很多重要的阅历和教训，特殊应当相识到定量地探讨传染病的传播规律、为预料和限制传染病扩散创建条件的重要性。问题归结为对SARS的传播建立数学模型，其详细要求如下：（1）对附件1所供应的一个早期的模型，评价其合理性和好用性。（2）建立模型，并说明其优于附

3、件1中模型的缘由：并说明建立一个真正能够预料以及能为预防和限制须要供应哪些信息、将面临哪些困难，并对卫生部门所实行的措施做出评论。（3）依据所供应的SARS对北京旅游业影响的数据，建立相应的数学模型并进行预料。（4）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。二、对附件1的早期模型的评价：1）附件1模型的参数说明：ON：初始时刻的病例数。K：平均每病人每天可传染人数。1.：平均每个病人在被发觉前后可以造成干脆传染的期限。表示时间，以天数为单位。2）附件1模型的基本假设：（D设病人在1.期限后失去传染作用，其缘:由可能是被严格隔离、病愈不再传染或者死去等等；对于不同的疫区和疫情阶段

4、，在20天这个值。(2)不考虑疫情出现失控或反熨的状态。(3)将整个SARS疫情的过程分为初期、过渡期、稳定期。初期：指从疫情起先到疫情的高峰期，此阶段，整个社会的防范程度都比较低，K值相对高；过渡期：指初期过后的10天，此时由于社会加强了宣扬力度，提高了人们的防范1.的值在1525之间，为了简洁把1.固定意识，使得K值逐步下降到很小。稳定期：指疫情得到基本限制，3)附件1模型的建立：K降低到一个很小的稳定值，直到没有病例。假定初始时刻的病例数为ON,平均每病人每天可传染K个人(K一般为小数)，平均每个病人可以干脆感染他人的时间为1.天。则在1.天之内，病例数目的增长随时间t(单位天)的关系是

5、：tKNtN)l(0)(假如不考虑对传染期的限制，则病例数将依据指数规律增长。考虑传染期1.的作用后，改变将显著偏离指数率，增长速度会放慢。4)附件1模型的求解：为了简洁起见，可以依据香港、广东及北京的非典时期的数据来进行拟合，定出对应阶段的K值。从起先至到高峰期均采纳同样的K值(从拟合这一阶段的数据定出)，即假定这阶段社会的防范程度都比较低，感染率比较高。到达高峰期后，在10天的范围内逐步调整K值到比较小，然后保持不变，拟合其后在限制阶段的全部数据，即认为社会在经过短期的猛烈调整之后，进入一个对疫情限制较好的常态。依据附件1模型的假设(1)(2),采纳半模拟循环计券的方法，把到达1.天的病例

6、从可以引发干脆传染的基数中去掉。对疫情发展的初期分成两个阶段来考虑：(1)：从起先到第1.天在这一段时间之内，全部的病人都会有传染给别的正常人的实力，所以，总的病例数可以近似的看成一个指数的增长，即)()1(0)(1.tKNtNt(*)(2)：第1.天后到高峰期由于假设1.天前的病人不再有传染实力，依据半模拟循环方法在计算病例数增量的时候，则要把不会传染的人数从总人数中分开。那么当11.t天时，因为第一天的病人失去了传染力，所以得到)1(IR的病例总数为：同理，可以这样)O(N)l)(00(D1(KN1.N1.N求出：)1()1)(1O1()2(NKN1.N1.N因为在高峰期前，由假设K值是一

7、个定值，所以，用数学归纳法可以得到：)1()1)(1()1()(iNKiNi1.Ni1.N(*)北京在3月I号发觉了第一例患者，那么可以认为，对于北京来N(0)=1,且北京疫情的起先是3月1号。将I)O(N代入(*),(*)式，用C语言对半模拟循环计算方法进行编程(源程序见附录1),可以很简洁的得到北京从疫情起先到高峰期的这59天里每天的患者总数(见下表)患者数(计算值)患者数(实际值)口期患者数(计算值)患者数(实际值)日期患者数(计第值)患者数(实际值)3.213.22154.111643.313.23174.121843.413.24194.132073.523.25224.14233-

8、3.623.26274.152623.723.27284.162943.823.28314.173313.933.29354.183723.1033.30404.194183.1143.31454.204703393.1244.1504.215284823.1354.2574.225945883.1454.3644.236686933.1564. 4724.247517743.1674.5814.258448773.1784.6914.269499883.1894.71024.27106711143.19104.81154.28119911993.2012-4.91294.2913471347

9、3.21144.10146-上表中可以看出，由该模型计算出的数值和实际的数值相差不大，将得到数值的误差和实际数值相比，不会超过5%o可见，这个模型还是有肯定的合理性，比较正确的反映了在疫情发生的初期，患者总数和天数之间的关系。5）附件1模型的不足：D附件1建立的早期模型事实上是个指数增长模型，虽然考虑到了传染期的限制，但是这个模型的误差随着时间的推移将会增大。所以，用这个模型去预料过渡期以及稳定期的状况就会产生较大的误差。2）附件1的模型中由于将1.表示的平均每个病人在被发觉前后可以造成干脆传染的期限定在了20天这个固定的值，而没有考虑到高峰期时政府为了有效限制该病的传播而加大了宣扬的力度，可

10、能会使得病人的有效传播期减小。3）附件1模型中对广东和香港的数据拟合得到的K值只是适用于当地，假如用于北京的状况则表现出较大的误差。这就说明白由公布的SARS病人数据得到的相对固定的K值对其它地方下次预料没有太大的实际作用。三、对SARS问题建立新的模型1.问题的分析与假设社会、经济、文化、风俗习惯等因素都会影响SARS的传播及最终的结果，但是，最干脆的因素是：FlIil传染者的数量及其在健康人群中的分俯，被传染者的数量，传播形式及病毒本身的传播实力等。在建立模型时不行能也没有必要考虑全部的因素，只能抓主要的因素进行合理的假设和建模。由此，我们做如下的假设：1）国家卫生部供应的全国疫情统计真实

11、牢靠。2）将SARS全部可能的传播途径都视为与病源的干脆接触。3）在疾病传播期内所考察的地区的总人数N视为常数，不考虑人口的流淌。4）依据目前的医学调查资料，SARS康夏者尚未熨发。因此，我们可以假设一个SARS康复者再次感染SARS的概率为0,这些人势必会留意个人卫生远离传播源，所以他们既不是易感染者，也不是已感染者，可视为他们已经退出SARS传染体系。5）相对于传统的传染病，SARS的传播时间不是很长，故假设不考虑这段时间内的人口诞生率和Fl然死亡率，而对于由SARS引起的死亡人数，也将其视为退出者。2 .模型的参数说明：）（tl：第t天患病的人数。XtR:第t天退出传染系统的人数。XtS

12、=第t天易感染人群的人数，即健康者的人数。）（R:第t天死亡的人数。）（R：第t天治愈出院的人数。）（ti：第t天病人占该地区总人口的比例。）（tr：第t天退出传染系统的人数占该地区总人口的比例。）（ts：第t天易感染人群的人数占该地区总人口的比例。*口接触率，即每个病人在传染期内每天有效接触的平均人数。*日治愈率，即每天被治愈的病人数占病人总数的比例。传染期接触数，每个病人在传染期内有效接触人数。3 .模型的建立：3.1微分方程组模型：由假设3）明显有：lt2tNtStRtI）（）（）（即:1）00（tstrti（1）设）（”是连续、可微的函数，考察从t到tt病人人数的增加,就有:)00()

13、()(tltstlttlttl时，得到微分方程：(1)0()0(I000IIIlsdtdl为记初始时刻的患病人数除以总人数N即为：i)O(iiisdtdi(2)对于病愈或死亡的退出者而言同理应有：0)0()O(R/统的人数为记初始时刻退出传染系IdtdR即为：r)0(r/idtdr(3)再记初始时刻的易感者人数是)0(00SS其比例是)0(00ss,那么可以将易感人群的函数)(tS表示成为：SO)0(SSidtdS除以总人数N即为：0)0(sssidtds(4)3.2差分方程组的模型：由于微分方程组(1)(2)(3)(4)无法给出解析解,为了得到模型的数值解,特建立以下差分方程组：tsttSt

14、S()1010(N()1t)1ItNtstststRtltIRttRtIttSttItItI/)0()()()1()1()K)O1()1()1()1()1()10(其中)(t,Xt是关于t的函数。四、模型的求解为了得到（5）式中的）（1与）（1的表达式，由附件（二）的数据得到）（t与口接触率）（t与时间t的关系O（5） （6）（7）（8）（9）从图中可知，在第25天前，）（1基本为一条直线，由经过拟合得258119.0487.810274.310442.510422.32400.0108）（223446ttttttt在第25天后，）（t也基本为一条直线,经过拟合得25002.02404412.

15、007335.0004559.00.0009419-）（23tttttt解得以下一组解：口期累计病例数（计算值）433累计病例数（实际值）482日期累计病例数（计算值）2470累计病例数（实际值）25124.215.234.225515885.24247425144.236786935.25247725174.248107745.26248125204.259418775.27248425214.2610669885.28248625224.27118211145.29249025224.28128911995.30249325224.29138413475.31249525224.30147214406.1249825225.1155415536.2250025225.2163116366.3250225235.3170517416.4250425225.4178118036.5250625225.5185818976.6250825225.61938196