第五章 二次型（练习题及答案）.docx

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1、第五章二次型一.单选题1.二次型/（项,彳2，与）=6-2可2+2工2巧的矩阵是（8）.1-10、1-10、r1-11)10-A.-102;B.-101;C.-100;D.001J)20,01，JOOJk-l101-13、2.设二次型/(m,w,X3)=XA=-1OO则这个二次型应是（B）.O-1JA.x；-x1x2+3x1x2-X3.B.xf-2xx2+6x1x3-xjC.2x；-2x1x2+6x1x3-2xjD.一x；+2x1x2-6x1x22%j1OO3 .若矩阵A=02。正定，则实数。的取值范围是（D）.O8A.8;B.。4；C.a-4;D.-4a0;B.秩为3；C.A合同于三阶单位矩

2、阵；D.对某一X=（X,工2，与）*，有xAO.5 .设A是实对称矩阵，二次型/（X）=XX正定的充要条件是（D）0（八）0:（B）负惯性指数为0；（C）4的所有主对角线上的元素大于0；（D）存在可逆矩阵C,使A=UC6 .实方阵A为正定矩阵,则下列结论正确的是（八）0A.A0B.2.k-21-10、2 .写出A=-10-3所决定的二次型/（七,，“3）=工；-2平2-6工2W-2*.10-3-2j3 .已知6元实二次型的秩是5,符号差是-1则其规范形是代+-4-力-犬_.4 .若3元实二次型和，与）的标准型为4必2-3丸，则其规范型为才一05 .已知二次型a,电,%）=（2+1诉+/-1*+

3、伏-3）后正定，则数Z的取值范围为生上.6 实二次型/（%,兀2，*）=4工；+&%；+”片正定O40,i=l,2,n.,111、7.实二次型/（%,工2，工3）=$2+3考+3后+2/2+2工/3-2工2当的矩阵为_4=13-1.JT3）8 .已知5元实二次型再,冗2,刍,匕，鼻）的秩是心符号差是-2,则规范形是9 .二次型/（X1K2,X34）=X2+3x；+2xj-xj的正惯性指数为3.10 .已知3元二次型/*22，巧）=（1-。）疗+若+（。+3）君正定，则数a的取值范围是一3VaVl.三.计算与证明题1 .用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并写出所作的线性替换。1） -4xix

4、2+2xlx3+2x2x3；2） xj2+2x1x2+2%2+4x2x3+4君；解1）已知/（再,工2，5）=T%X2+2不/+242%3，.=M+力先作非退化线性替换,=弘-2（1）工3=%则了（再，W，%3）=-4Ji2+4及+4yy3=-4yf+4yl%-+4+4为=-（2%-）3+4，11V,=-Z1+-Zi,2,23再作非退化线性替换为=Z2（2）%=Z3则原二次型的标准形为/（M，X2，“3）=-Z：+4z；+Z；,最后将（2）代入（1）,可得非退化线性替换为11xI=2z+22+2z3F=2z-z2+/Z3（3）X3=Z32）已知/（x1,x2,x3）=x；+2xlx2+2%2+

5、4x2x3+,由配方法可得/（x1,x2,x3）=（x12+2xix2+%2）+2+4-2x3+4%3）=G+x2）2+（x2+2x3）2,%=.+%2于是可令,y2x2+2x3,J3=则原二次型的标准形为/（和，8）=货+4，X=.f+2%且非退化线性替换为=y2-2y3，X3=X2、化二次型/（内,/3）=2玉2-6工2工3+2X1%3，为标准型。（课本例题）/（x,x2,）=22-2vv22+6吗2,3./取什么值时，下列二次型是正定的：1） %；+x；+5后+2txlx2-2xlx3+4x2x32） %；+4%；+Xj+2txix2+10x1x3+6x2x3(it-1t-13=120,

6、-125解1)二次型的矩阵为A=t12125)因为A的各阶顺序主子式为A=10,&=；。，当原二次型为正定时，有-,-5r2-4r0解上面不等式组，可得-3，0,&=；=4-r20,1t53=A=r43=230r-1050,5314-/20由原二次型为正定得；,-2+30/-1050但此不等式组无解，即不存在f值使原二次型为正定。4 .已知实二次型fx,X2x3)=x4x1x2+4xlx38x2x3(1)写出二次型所确定的矩阵;r1-22、A=-2-24J42,(2)用非退化线性变换将二次型化为标准形，并写出所作的非退化线性变换;,(%l,x2,x3)=Xj22君2君4x1x2+4x1x3+8

7、x2x3=x124xl(x2%3)2君2x；8x2x3=22(X2W)4(X2&)-2%2+8%2%3=x12(x2-X3)26君+16x2x36%3、4914=3-2(x2-x3)-6(x2-x3)-(3)求二次型的秩，说明二次型是否正定.5 .证明：如果A是正定矩阵，那么A也是正定矩阵。证因A是正定矩阵，故XAX为正定二次型，作非退化线性替换X=AT丫，又A也是对称矩阵，故Y,AlY=YA-ljAA1K=XXO,从而yAy为正定二次型，即证A为正定矩阵。6 .如果AB都是阶正定矩阵，证明：A+8也是正定矩阵。证因为AB为正定矩阵，所以XAX,X8X为正定二次型，且对任意的XO有XXX0,X

8、BX0,因此X(A+3)X=XX+X5X0,于是X(4+8)X必为正定二次型，从而A+B为正定矩阵。7 .证明：秩等于7的对称矩阵可以表成厂个秩等于1的对称矩阵之和。证由题设知A=A且加成（八）=，于是存在可逆矩竹d2=D1+D2HFDr,0CAC=D=其中04w0240，DI=.D2=0=1Ioj于是A=(c91(Z)iZ)2+Dr)C,=(CTD1C,+(c,)d2C,+(c,)D1C1。因C1.(c-j=(C)T均为可逆矩阵，所以ranl(cx)D-C_11=rank(Df)=(1(z=l,2,r),且,(1.)OCT=CC。即(c)jCT都是对称矩阵，故A可表成r个秩为1的对称矩阵之和。