微专题22 函数嵌套问题（解析版）.docx

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1、微专题22函数嵌套问题【题型归纳目录】题型一：“/(/(*)=型问题题型二：/(g()=人型问题题型三：复合函数y=()-X的零点问题题型四：复合函数y=g()-的零点问题题型五：含参二次函数复合型零点问题题型六：零点求和问题题型七：其他型【典型例题】题型一：“/(/(*)=型问题例1.设函数/(X)=幻X-2I，/是函数g(x)=(f(X)-I的所有零点中的最大值，若(%,Z+1)(AZ),则Z=.【解析】解：,函数/(x)=xx-2,当x(0,2)时，f(x)=xx-2=x(2-x)=-(x-)2+,y1；又/是函数g(x)=(x)-l的所有零点中的最大值，所以/(O)=1+应，且/(2)

2、=01+应,因为j(A,k+1)(/:Z)所以A=2,故答案为：2.例2.设函数f(x)=xx-2,则当XW(0,2)时,函数/(x)的最大值等于，若/是函数g(x)=(X)-I的所有零点中的最大值，且陶e(k,Z+1)(AZ),则Z=.【解析】解：当XW(0,2)时,f(x)=xx-2=x(2-x)=-(x-I)2+1,1;作函数/(X)=KlA2的图象如下,X=I或=l+&：又与是函数g(x)=f(x)-l的所有零点中的最大值，.f(%)=l+应；且7(2)=0l+2；故k=2.故答案为：1,2.例3.己知函数/(幻=也叱+(7叫则函数g(x)=/Va)-1的零点个数为()5-x,3,+)

3、A.3B.4C.5D.6【解析】解：令g(x)=/(/(x)-l=O,可得/(x)=-g或r)=l或f(x)=4,函数/()=T%+T3)的图象如图所示，5-x,xw3,+oo)由图象可知，当/*)=-3时，有1个解；当/(幻=1时，有3个解；当了3=4时，有1个解.综上所述，函数g(x)=f(x)-l的零点个数为5个.故选：C.变式1.已知函数/(x)=FgFI)1，则函数g(x)=/V(X)-1的零点个数为()l-x+4x,XOA.4B.7C.8D.9【解析】解：令/(X)=1，解得x=2G或=一1,则令g(x)=O,可得*)=2J或/(x)=-l,作出函数/(x)的图象如图所示，由图象可

4、知，/()=2+6有3个零点，f()=2-有有3个零点，/(X)=T有1个零点,故函数g(x)有7个零点.故选：B.变式2.已知函数人幻=(T)F),则函数g(%)=f(x)+l的零点个数是()x-2,(x.0)A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】解：设M=(x)+1,解/(M)=O,得M=2或M=T,当M=-I时，由f(x)+l=T,得log2(-x)=-2或%-2=-2,即得K=O或X=-1.4当Af=2时,由f(%)+l=2得W即Iogz(T)=I或x-2=1.即4=一2或x=3,综合得:函数g(x)=(x)+l的零点为：工=一2或x=3或X=O或x=-!共4个；4故选：D.变式3.

5、已知函数f(x)=f+q,集合A=x(X)=0,xgRfB=(xf(f(x)=0,xR,若3为单元素集，试求q的值.【解析】.集合A=b(x)=0,B=x(x)=0)/.ABB=xf(fM=0=x/2(x)+/(x)+=0)=xKf(X)+；/+g-；5为单元集，./(X)=g,4A=x(x)=0)=xx2+x+q=O,xwR,当A=0时，8=0不符题意，故A。，当A=x|x=_；)时，=1-4=-J.方程f+g=0有2个不相等的实数解:_f-l-yl-4fT+Jl-4%=122AB当二1一年而WBM有7一年而=解得：=弁2巨或%=三虫（舍去）.同理当士号CB时有“=下或呼（舍八妗卜-3+23

6、多人上,C1.=-4题型二：/(g(x)=A型问题例4.已知函数/(幻=一/一21，g)=无x+l,x,O(1)求g(1)的值；(2)若方程g(x)-=O有4个实数根.求实数的取值范围.【解析】解：(1)f(1)=-1-2=-3,gf=g(-3)=-3+l=-2,即g(I)=-2.(2)令/(x)=t,则原方程化为g(t)=a,易知方程/(x)=f在E(fo,l)内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y=g()(rl)与y=的图象有2个不同的交点，作出函数)，=g(/1)的图象，如图；g=1+i=g*)=x+2E=2xg=l,由图象可知，当l,3时，函数y=g(f),1)与y=有2个不同

7、的交点，即所求的取值范囿是口，j).例5,设函数/(x)=-%2-2x,g(x)=fh(x)gf(x).x+l,x,O(1)求函数MX)的单调递增区间.(2)若关于X的方程力(x)-=0有4个不同的实数很，求实数”的取值范围.【解析】解：(1)令一/一2X=O得，x=0,或=-2;.当X,-2,或x.O时，f(x,0,当一2vxv0时，F(X)0；.h(x)=/（八）+wi-2x+l,x剌-2或XO当X,-2时，函数(X)为增函数；x.O时，函数力(X)为减函数;当一2vxv0时，令f(x)=r,Ovivl,设y=h(x)则：y=/+Ovrvl,y=/+为减函数,/(1)时，yO,y=r+为增

8、函数；24r令/(X)=-炉-2x=；，WlJx=-l-,当-2工-1-4时，/(%)为增函数，g(x)为减函数，故(X)为减函数；当-1-等%-1时，/(乃为增函数，g(x)为增函数，故人(Jo为增函数；当7xT+#时，/(x)为减函数，g(x)为增函数，故h(x)为减函数;当-l+x,MX)=g(),求函数(X)的单调递增区间.x+l,x,1O【解析】解：令一x2-2x=0得，x=0或=-2;.当二，-2,或x.0时，F(X)M0,当一2vxVO时，U)0;/、f(x)+-77-2X0./?(%)=4(x)；-X2-2x+,xJ-2,或X0(1)当工，-2时，函数力(功为减函数；(2)当-

9、2xv0时，令/(x)=r,Ovrvl,14/2-I设y=(x),则：y=t+,Ovrvl,/=-；4r4广.f(0,q)时,y0,y=r+0为增函数;令/(X)=-X2-2x=;,则x=T*,.当-2xT-孝时，/(%)为增函数，g(x)为减函数，故力(X)为减函数：当-l-*xT时，/(X)为增函数，g(x)为增函数，故人(%)为增函数；当-lxT+喙时，/(x)为减函数，g(x)为增函数，故力(%)为减函数：当-l+vx04x值范围是.【解析】解：由题意可得函数y=g(x)与函数y=有4个交点，如图所示:故答案为U，彳).变式5.已知函数/(x)=J3f+,g(x)=+薮,则当方程g(x

10、)-=O有6个解时”的取一厂6x8,尤，O值范围是()A.a3或一&,(IC.a-D.网71444【解析】解：.函数f(x)=3-3f+1,g()=g()=/+元*,_%26x&,0f,W=3d-6x,令ra)=o得：x=o.或工=2,故当X=O时，函数/(外取极大值1,当x=2时，函数取极小值-3;则fM与y=根的交点情况为：当zwv-3,或时，有一个交点；当帆=一3,或?=1时，有两个交点；当-3z0,即-4Z+440恒成立，则=16/160,故OVaV1.(3)设Acr,j1),B(x,K),(x1x7),g(x)=-x+,Sa-4+l又AB的中点在该宜线上，所以g(土)=-土+r_=土,225a2-4+l22a1、52-4+1而王，声应是方程的两个根，所以内+2=-g,即1=52工+,1.2/225/_4+1(1)2_4(1)+5(l-2)2+laaa.当=