微专题2-1 导数在研究函数中的应用（四大核心考点）解析版.docx

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1、做专题2-1导数在研究函数中的应用(四大核心考点)【考点目录】考点一：利用导数研究函数的最值和极值考点二，利用导数研究曲线上某点切线方程考点三：利用导数研究函数的单调性考点四：函数在某点取得极值的条件题型解密考点一：利用导数研究函数的最值和极值一.选择题(共1小题)1. (2022秋黄浦区校级月考)若/(X)在区间SM内有定义,且xg,b),则八Xo)=0”是乜是函数/(X)的极值点”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分条件也非必要条件【分析】根据极值的概念，导数的几何意义即可求解.【解答】解：由/(x0)=0不一定能得到%是函数/(X)的极值点，反例/(x)=3

2、,/,(O)=O,但X=O并不是/(x)的极值点，反过来：X0是函数/(x)的极值点也不一定能得到f,(x0)=0,反例/()=,x=0为f(x)的极小值点，但f(x0)不存在,./(%)=0”是是函数/(x)的极值点”的既非充分条件也非必要条件，故选：D.【点评】本题考查值的概念，导数的几何意义，属基础题.二.填空题(共10小题)2. (2023秋徐汇区校级期中)己知函数/(x)=-f+3+,若存在三个互不相等的实数小，p,使得/(m)=/()=/(P)=2024,则实数。的取值范围是_(2022,2026)【分析】由题意，对函数/(x)进行求导，利用导数求出函数的单调区间及极值，再根据题意

3、列出不等式，即可得解.【解答】解:已知/a)=-/+?+。，函数定义域为H,可得/(x)=-3/+3，当XCT时，,(x)0f/(x)单调递减；当TxO,/(x)单调递增：当xl时,(x)0,f(x)单调递减，所以当X=-I时，函数“X)取得极小值，极小值/(T)=-2,当X=I时，函数/(x)取得极大值，极大值/(1)=2+,若存在三个互不相等的实数小，p,使得/(M=()=/(p)=2024,此时22024解得2022vV2026,则实数。的取值范围为(2022,2026).故答案为：(2022,2026).【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理和运算能力.3. (

4、2022秋奉贤区期末)已知某商品的成本C和产量4满足关系C=50000+200夕，该商品的销售单价P和产量g满足关系式P=24200-1g2,则当产量。等于200时,利润最大.【分析】将利润表示出来，利用导数求出函数最值即可.【解答】解：每月生产g吨时的利润为/(夕)=(24200-(q2)q-(50000+200g)=-+2400(50000(0.0).由/(，)=-/+24000=0，解得夕=200或一200(舍去)，在0，+8)内只有一个点q=200使f,(q)=0,.它就是最大值点，且最大值为/(200)=XZOO,+24000X20050000=3150000(元).每月生产200吨

5、产品时利润达到最大，最大利润为315万元.故答案为：200.【点评】本题考查导数的应用，属于基础题.4. (2023秋松江区校级期中)函数/(x)=2f-l的极值点为Q.【分析】求出函数的导数，通过导数为0,即可求解函数的极值点.【解答】解：Vf(x)=2x2-lfff(x)=4x0=x0./(x)在(-,0)上是减函数，在(0,+8)上是增函数,.当x=0时，函数取得极小值，无极大值.故答案为：0.【点评】本题考查了利用导数研究函数的极值点，属于中档题.5. (2023春徐汇区校级期末)已知X,y(0,+8),满足2x+y=2,则x+Jx+/的最小值为【分析】利用不，歹的关系将)，换成关于X

6、的表达式，然后利用导数判断函数/(x)的单调性，进而求得式子最小值.【解答】解：由x0,y=2-2x0t解得0xl,则Xyx2+y2=x+yx2+(2-2x)2=x+y5x2-8x+4=/(x),则/(x)=l+r,I=令/a)=。，解得=3,5x2-8x+45则可得Xw(0,)时，,(x)0,所以x=(,y时，函数/(x)取得极小值，也是最小值(+5()2-8+4=I.故答案为：5【点评】本题考查函数最值求法，属中档题.6. (2023春金山区校级期末)函数/(x)=史在(0,2上的最小值为_e_.X【分析】函数/(X)=交，(0,2,利用导数的运算法则可得广(X),研究函数/(X)的单调性

7、即可得出X结论.【解答】解：函数/(x)=C,(0,2,XT(X)=华辿，f(1)=0,XX(0,1)时，f,(x)Ot函数/(X)单调递增.x=1时函数/(X)取得极小值即最小值，f(1)=e.故答案为：e.【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.7. (2023春杨浦区校级期中)已知/(x)=F,a0,对于数列%,有q=0,+1=),若存在常数M0使得对于任意的N*,都有册、M,则的取值范围是_(0占一e【分析】由题意，存在常数材0使得对于任意的cN*,都有*.可得到的，解出册，/竺，a从而得到分离参数。，然后用导数研究函数的最值，从而求出。

8、的取值范围.【解答】解：.存在常数M0使得对于任意的N*,都有勺,4+卜，又1=aea(0).aea.,M,即akIn-.:.M=In-,.”WM0).ae令f()=(x0)，f,(x)=J.,.f(x)在(0,1)上单调递增,在(l,+)上单调递减，(xU=-00且。口)的极小值点和极大值点.若凡吃，则4的取值范围是e【分析】由已知分析函数/(x)=2(z-ex)至少应该两个变号零点，对其再求导f,x)=2ax(lna)i-2et分类讨论0“1时两种情况即可得出结果.【解答】解：对原函数求导/(力=2(7白-夕)，分析可知：/(x)在定义域内至少有两个变号零点,对其再求导可得：f,(x)=2

9、/(EZ)2-Ie,当时，易知/(X)在R上单调递增，此时若存在/使得/(仆)=0,则r(x)在(-OO,小)单调递减，(/，+8)单调递增，此时若函数/(X)在X=%和X=W分别取极小值点和极大值点，应满足不满足题意;当0l时，易知/“(X)在R上单调递减，此时若存在/使得/(见)=0,则O,ee-e-eBP：-elog,-=alna=InalnaInaInaa(Ina)2(Ina)2(Ina)2Ina解得：-aef又因为OVaV1,t?1ee综上所述：。的取值范围是d,i).【点评】本题主要考查利用函数的导数研究函数极值点问题，考查运算求解能力，属于中档题.10. (2023春浦东新区校级

10、月考)已知/(x)=阮a/+。，若对任意工，都有/(0,则实数。的取值范围是_2_+00)_.【分析】/(X)=加X-Or2+”,xl,+0,函数/(x)在xl,+8)上单调递增，f(1)=0,.x0时，/(x)0,不满足题意，舍去.当0时，ff(x)=必丝，X1,即0)上单调递增，同上，舍去.2a20化为：ln1d)+2a1.0函数g（八）=加(2)+2-1在a.；时单调递增，g(；)=0，因此对任意都有/(x)0,则实数的取值范围是g,+oo).故答案为：g,+8).【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值及其最值、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

11、11. (2023春宝山区校级期中)已知正实数X,y满足加r=y/+/砂，则歹-的最大值为bt1.【分析】由正实数X,j,JSInx=yex+Iny,变形为二加二=Xe,eyIn-=xex令/(x)=Xex(0,+oo),yyy利用导数研究函数的单调性可得加j=x,y=卞,可得y-e-=子，令g()=?,(0,+),利用导数研窕函数的单调性与极值即可得出结论.【解答】解：由正实数X,歹满足/“X=泗”,变形为三加色=xeyyIn-.eyln-=xex.y令/(x)=Xr,x(0,+oo),ff()=(+)ex0f.函数/(x)在XW(0,+oo)上单调递增.y令g(x)=1.x(0,+),e,/、2Xg(x)=h.