人教版选修21第三章空间向量的线性运算讲义.docx
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1、案例二一精细精练课堂合作探究重点难点突破知识点一空间向量的概念在学习空间向量的概念时,要比照平面向量的有关概念进行理解记忆.(1)向量:具有大小和方向的量叫做向量.(2)相等向量:同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量.(3)零向量:起点与终点重合的向量叫做零向量,记为0(4)向量的长度:表示向量a的有向线段的长度叫做向量的长度或模,记作II.(5)基线:有向线段所在的直线叫做向量的基线.(6)共线向量:如果空间一些向量的基线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量或平行向量,如a平行于b,记作ab.注意:共线向量(或平行向量)是指向量的基线相互平行或重合,平行向量的基线可能重合,共线向
2、量的基线可能不重合.共线向量(或平行向量)的方向可能同向,也可能反向.如下右图abcd.知识点二空间向量的加法、减法和数乘向量运算我们可把平面向量的线性运算法那么,推广到空间,用来定义空间向量的加法、减法和数乘向量运算.(1)平面向量求和的三角形法那么和平行四边形法那么,对空间向量也同样成立.(2)平面向量求和的多边形法那么,对空间向量也同样成立.如上右图汗万二瓶+丽+丽+前+诃+葩.这也就是说,表示相加向量的有向线段依次首尾相接,构成的折线从首到尾的向量就是这些相加向量的和为了便于记忆,常把这个和向量叫做“封口向量”(3)空间向量的加法和数乘向量运算与平面向量一样,满足如下运算律:加法交换律
3、:a+b=b+a;加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c);分配律:(入+u)a=入a+ua;(a+b)=a+b.(4)两个结论:有限个向量求和,交换相加向量的顺序其和不变;三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量.说明1.对于空间任意两个非零向量a、b,当它们的基线不在任何同一个平面内(两基线异面),那么总可以通过平移,把它们移到同一平面内,这说明任意两个向量都可以通过平移,转化为平面向量.(2) 量数乘的运算除了满足分配律及结合律外,还有以下些性质:假设a0,a=2a,那么1=2;(2)假设入#0,入Qizz入32*那么3)=32;(3) a+2a+na
4、=(1+2+n)a;(4) a+az+an=入(a+a2+a11).典型例题分析题型1空间向量的有关概念【例1】答复以下问题:(D单位向量一定相等?(2)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是不是相等的向量?(3)相等的非零向量,假设起点不同,那么终点一定不同,这一判断正确吗?(4)空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内?解析利用向量的有关概念进行判断.答案(1)不一定单位向量是指模为1,方向却是不确定的,所以单位向量不定相等.两个非零向量相等必须具备两个条件:一是模相等,二是方向相同.两个条件缺一不可.是.对照向量相等必须具备的两个条件,这两个条件中,并没有对相应的有向线段的起点加任何
5、限制因此看来,表示相等向量的有向线段的起点是很自由的,相等向量的起点位置具有任意性.(3)正确.因为在起点不同的情形下,如果终点相同,那么这些向量就不平行,即这些向量的方向就不相同,这与向量相等的定义相矛盾.(4)正确.在空间任取一点,过此点引两个与非零向量相等的向量,而这两个向量所在的直线相交于此点,两条相交直线确定一个平面,所以两个非零向量可以平移到同一平面内.规律总结此题共4个小题,解答每一小题都需对所学的知识有一个准确、全面的理解.掌握好概念及相美的根底知识,是学好数学的重要根底.【变式训练1】答复以下问题:(1)模为O的向量是零向量?(2)方向相反的两个单位向量互为反向量?(3)起点
6、相同且模相等的向量终点在同一圆周上?(4)a-a=O?答案(1)正确;(2)正确;(3)不正确;(应该是在同一球面上)(4)不正确.(应该为a-【例2】如以下图,在长、宽、高分别为AB=3,AD=2,AA产1长方体ABCD-ABCD的八个顶点的两点为始点和终点的向量中,(D写出所有的单位向量;(2)写出与AB相等的所有向量;(3)写出与而相反的所有向量;(4)写出模为J5的所有向量.解析应用单位向量、相等的向量、相反向量、向量的模的概念及长方体的性质解.即在空间我们将向量对应线段的长度称为该向量的模;将模为1的向量称为单位向量;将模相等且方向相同的向量称为相等的向量;将模相等而方向相反的向量称
7、为相反向量.在长方体ABCD-ABCD中,因为长、宽、高分别为AB=3,AD=2,AA=l,AB产透=B答案单位向量共有:羽,,西,而,西,*,丽,而这八个;与AB相等的向量共有,DC,D1C1,ABl式这三个;RAt这四个;CA.BD,DB,CD,错因分析对向量出现漏解情况如(1)中(3)与A。相反的所有向量共有:DA,CB,C1B1,模为石的向量共有:港,萩,丽,gZ衣,麻,属,杀,福,京,丽,丽这十六个.的相关概念理解不透,考虑问题不仔细、不全面,导致答案中易漏掉AA,用8,C,R。这四个解:(3)中易漏掉QA这个解等.【变式训练2】如右图,在棱长为1的正三棱柱ABC-ABG的六个顶点的
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