4升5-8第八讲：容斥原理之重叠问题.docx

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1、第八讲：容斥原理之重叠问题一、导入文氏图文氏图，也叫维恩图1.是由英国闻名数学家Me八八独创的.维恩（公元X834年8月4日一公元工923年4月4日）十九世纪英国闻名的数学家和哲学家，生于英国赫尔.他1883年获得理学博士学位，同年被选为英国皇家学会会员.维恩最主要的成就是系统说明并发展了几何表示的方法，也就是独创了文氏图.他作出二系列简洁闭曲线（圆或更困难的图形），将平面分为很多间隔.利用这种图表，维恩阐明白演绎推理的基本原理.为了进一步明确起见，他还引入了一些数学难题作为实例.虽然在维恩之前,梃解莱布尼茨（1.eiMiz）已系统地运用过这类逻辑图，但今日这种逻辑图仍称作“维恩图”另外，维恩

2、在概率论和逻辑学方面也有很大贡献，他的著作一一机会逻辑和符号逻辑，在工夕世纪末2。世纪初曾享有很高的声誉.除了数学以外，维恩还有一项较为特殊的技能一一制作机器.他曾制作过一部板球发球机,当澳洲板球队在2909年到访剑桥高校时，维恩的机器依旧运作正常，并使他们其中一位成员打空四次.什么是容斥原理？这一讲我们主要学习和“包含”与“解除”有关的问题，这样的问题在生活中就有不少，比如吃瓜子.我们说吃掉了一斤瓜子，指的是带壳的瓜子，并非真的吃到肚子里一斤，因为这-斤中还“包含”着瓜子壳.假如要计算究竟吃了多少，最简洁的方法就是称一称瓜子壳，用原来的斤“解除”掉瓜子壳的重量.瓜子的例子相对简洁，一斤瓜子里

3、一部分是瓜子仁，另一部分就是瓜子壳，两者各不相关.但本讲要学习的包含与解除问题要困难一些，各部分之间会有重叠.比如一个办公室中每个人都至少爱喝茶或咖啡中的一种，已知有7个人爱喝茶，IO个人爱喝咖啡，那能不能就说办公室里有17个人呢？明显不能，因为可能有一些人既爱喝茶也爱喝咖啡，假如干脆将喝茶的人数和喝咖啡的人数相加，会把既爱喝茶又爱喝咖啡的人计算2次，计算人数的时候要把这一部分减去才行.比如，假如有3个人既爱喝茶又爱喝咖啡，那总的人数就应当是7+20-3=24人.这就是我们今日要来探讨的问题一一有重叠的计数问题，即包含与解除问题.探讨这种问题通常须要画出示意图，这样的示意图又叫做文氏图，下面我

4、们就用文氏图推导两个对象的容斥原理公式.两个量之间的重叠例1、某班有34名同学参与了学校的运动会，其中有17名参与了跳绳，有2。名参与了拔河，问：及参与了跳绳又参与了拔河的又多少人？如右图所示，假如要计算三个部分的总数，干脆计算AB就会算多了，而多算的正好是共同部分，只要把多算的减掉就可以T.上述分析总结成公式就是：力、总数=+a、:重笠这个公式就是两个对象的容斥原理.1726-34=37-34=3（人）答：即参与跳绳又参与拔河的同学有3人。.练一练1、五年级有122名学生参与语文、数学考试，每人至少有一门功课的成果是优秀，其中语文成果优秀的有ES人，数学优秀的有87人.语文、数学都优秀的有多

5、少人？2、在一次数学测试中有两道题全班同学都至少答对一题，答对第一题的有33人，答对其次题的又38人，两题都答对的又25人，问全班又多少人？3、学校文艺组每人至少会演奏一种乐器。已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有27人，其中两种乐器都会的有8人，这个文艺组一共有多少人？挑战思维1、为了参与一次竞赛，某班46人中，每人至少参与一项。其中有2。人参与语文爱好小组，参与语文同时又参与数学爱好小组的有2人，两项都没有报的有ZO人，那么参与数学爱好小组的有多少人？换个思路想一想至少报一项的有多少人？三个量之间的重叠1、某单位元旦期间组织旅游，每人至少说出一个想去的地方。其中想去海南的有42人，想去

6、桂林的有44人，想去港澳的有人，既想去海南又想去桂林的有12人，既想去桂林又想去港澳的有8人，既想去海南又想去港澳的有20人，三个地方都想去的有4人。问这个单位一共有多少人？(42.=44+36)T2-8TO+4/22-(22+8+W)+4二工22-30+4=96（八）答：这个单位一共有96人。方法总结:（1）三个量的重叠问题中，假如是全部参与，则总人数等于参与三项的人数和减去同时参与两项的人数和，再加上同时参与的三项人数。（2）三个量的重叠问题中，假如是部分参与，则总人数等于至少参与一项的人数和三项都没有参与的人数和，假如都参与了，总数等于三个量的和减去两两重叠的部分，在加上三个量重叠的部分

7、。公式：S=a+S+c-ab-bc-ac+abc部分参与公式：-a+S+c-ab-be-ac-abc-c1.（d是三项都没有参与的人数）练一练1、学校对ISo名高校生做关于业余生活的调查，统计到喜爱看电影的有63人，喜爱玩球的有66人，喜爱读书的有54人，既喜爱看电影又喜爱玩球的有28人，既喜爱玩球又喜爱读书的有22人，既喜爱看电影又喜爱读书的有25人.问：三种都喜爱的有多少人？2、在校内艺术活动中，五（2）班的同学参与了美术和声乐竞赛。参与美术竞赛的有25人,参与声乐竞赛的有20人，两项都参与的有22人，两项都没有参与的有工。人。五（2）班一共有多少人？挑战竞赛3、学校实行运动会。四年级共有

8、60名同学，其中参与百米赛跑的有21人，参与投掷的有人，即参与百米有参与跳远的有12人，即参与跳远有参与投掷的有9人，即参与百米有参与投掷的有X4人，三项都参与的有5人，三项都没有参与的有22人，问参与跳远的有多少人？重叠问题中的极值问题1、40人参与某次晚会，其中28人在晚会上唱了歌，25人在晚会上跳舞，那么即唱歌有换个思路想一想要使人数最多则重叠最多，怎么画图才可以重叠最多呢？要使人数最少，可以图形不重叠吗？跳舞的人最多有多少人，最少有多少人？最多：25人最少:(28+25)-4O=23人答：最多25人最少X3人。方法总结:两个量的极值中，两项都参与的人最多，就是较少的一项；两项都参与的人

9、数最少，就是求重叠部分。练一练1、某校工。名学生中，爱好音乐的有56人，爱好美术的有75人，那么即爱好音乐有爱好美术的最多有多少人？最少有多少人？换个思路想一想最多56人还是75人,最少是O人吗？为什么？2、某班30名同学。在一项测试中，答对一题的有Iq人，答对2题的二4人，那么两题都答对的最多有多少人？最少有多少人？挑战思维3、希望小学音乐爱好小组有37人，其中2。人会手风琴，26人会钢琴，24人会电子琴,即会手风琴又会钢琴的8人，即会电子琴又会钢琴的工。人，即会手风琴又会电子琴的8人,那么三种都不会的至少多少人？换个思路想一想依据：s-a+fe+c-S-%-4c+abc+d若要d最大，则她

10、C必需怎么样？方法总结：两个量的极值中，两项都参与的人最多，就是较少的一项；两项都参与的人数最少，就是求重叠部分。三个量的极值中，假如要不参与的最多，就要参与的尽量少。家庭作业1、一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业?请举手!”有37人举手。又问：谁做完数学作业?请举手!”有42人举手。最终问：“谁语文、数学作业没有做完,没有人举手。求这个班语文、数学作业都完成的人数是人。2、某个班的全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有个项目达到优秀，这部分学生达到优秀的项目、人数如下表:短跑游泳篮球短跑、游泳游泳、篮球篮球、短跑短

11、跑、游泳、篮球171852求这个班的学生数?3、某班共有30名男生，其中20人参与足球队，12人参与蓝球队，20人参与排球队。已知没个人同时参与3个队，且每人至少参与一个队，有6人既参与足球队又参与蓝球队，有2人既参与蓝球队又参与排球队，那么既参与足球队又参与排球队的有多少人？4、班有46人其中会弹琴的有30人，会拉小提琴的有28人，则这个班级会弹琴又会拉小提琴的至少有多少人？5、某班同学中，有26人爱打篮球，27人爱打排球，工勺人爱踢足球，有4人既爱打篮球乂爱踢足球,有4人既爱打排球又爱踢足球，有7人既爱打篮球又爱打排球，没有一个人三种球都爱玩,也没有一个人三种球都不爱玩，问：这个班共有多少学生？6、某班有4S名同学，其中22名同学参与科技爱好小组，27名同学参与数学爱好小组,同时参与两个小组的人数是两个小组均未参与的人数的2倍，那么至少参与一个爱好小组的同学有多少名？7、我校六年级三班学生每人至少参与了一种竞赛，其中有32人参与数学竞赛，27人参与英语竞赛，22人参与语文竞赛.其中参与英语和数学两科的有22人，参与英语和语文两科的有14人，参与数学和语文两科的有。人.问：这个班至少有多少人？至多有多少人？