2024圆锥曲线的焦点弦长新解.docx
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1、2024圆锥曲线的焦点弦长新解圆锥曲线的焦点弦长新解关于直线与圆锥曲线相交求弦长,通用方法是将直线V=以+8代入曲线方程,化为关于X的一元二次方程,设出交点坐标,利用韦达定理及弦长公式J(1+M)(X+叼)24勺町求出弦长,这种整体代换,设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的,然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐,利用圆锥曲线定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷。一.椭圆的焦点弦长y2-XI5=1(。80)口/cC1/A若椭圆方程为/b2,半焦距为C0,焦点Fl(Y,)、F式C,0),设过及的直线,的倾斜角为交椭圆于A、B两点,求弦长四。
2、图1解:连结玛A眄设图Ig,IM=J,由椭圆定义得F2=2a-xfF2B=2a-yf由余弦定理得b2X2+(2c)2-2x2ccosa=(2-x)2f整理可得一d-ccosa,同理可求得b2y=a+ccosa,则弦长IAm/20I=X+y=,=22a-ccosaa+ccosca-ccosa0AB=同理可求得焦点在y轴上的过焦点弦长为2ab222a-Csina(a为长半轴,b为短半轴,c为半焦距)结论:椭圆过焦点弦长公式:.(焦点在X轴上)(焦点在声由上)二.双曲线的焦点弦长22y-y=1(。O,B0),?r设双曲线/,其中两焦点坐标为玛(一6),鸟已0),过耳的直线?的倾斜角为G,交双曲线于A
3、、B两点,求弦长AB.bbarctana11-arctan解:(1)当a以时,(如图2)直线?与双曲线的两个交点A、B在同一交点上,连尸左B,设国川二猫F1B=yt由双曲线定义可得眄引=2+x,F2B=2a+yt由余弦定理可得b22+(2c)2-2x2ccos=(2+x)2整理可得-a+ccosa,同理b2y=以-CCOSa,则可求得弦长川/2a淤I/I=X+y=1=22-a+ccoSaa-ccosaa-c-cosa0Ocarctan11-arctana4%B,设IFM=JGI尸IBl=Iy,则因牛2+x,F2S=y-2at由余弦定理可得,+(2c)2-2x2ccos=(2+x)2,y2+Re
4、)?-2y2cCOS(n-a)=(y-2d)2b2b2X=9y=整理可得+ccosaccosa一则/2ab2I网=S=T因此焦点在X轴的焦点弦长为2ab2zbb、(arctana11-arctan)a-cicosjaaa2abi-55ICcosa-abb(Oaarctan一或乃一arctana11)同理可得焦点在y轴上的焦点弦长公式2aba-csinafIabICsina-ay(arctanWa11-arctany)(Oaarctan士或乃-arctana0)与过焦点以万)的直线?相交于A、B两点,若/的倾斜角为c,求弦长AB?(图4)解:过A、B两点分别向X轴作垂线4VBBi,4、均为垂足,
5、设I刚=xFEl=Iy,ppFxcosa-ycosc则点A的横坐标为2,点B横坐标为2,由抛物线定义可得+xcosc+-=x;-ycosa+-=y222z2PPX-9y-即1-COSCK1+COSCK则I-COSa1+cosc1-cosasina同理J=2px的焦点弦长为第I=坐sinaAB-2切X=2即的焦点弦长为I1.gsa,所以抛物线的焦点弦长为芈(焦点在#由上)AB=sina芈(焦点上).cosa由以上三种情况可知利用直线倾斜角求过焦点的弦长,非常简单明确,应予以掌握。用构造法求数列的通项公式教学目标:1、知识与技能:理解并掌握几种常见的数列通项的求法2、过程与方法:渗透归纳、化归数学
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