立体几何外接球的10种归类.docx

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1、立体几何外接球的10种归类。常考题型目录题型1墙角模型4 类型1两两垂直型(特别是四个面都是直角三角形)4 类型2对棱垂直推理两两垂直7 类型3对棱相等模型8题型2直棱柱的外接球(汉堡模型)10 类型1直棱柱的外接球10 类型2直棱锥的外接球11题型3切瓜模型12题型4正棱锥与普通棱锥的外接球15题型5两个直角三角形拼接模型17题型6圆锥的外接球18题型7圆柱的外接球19题型8圆台的外接球20题型9棱台的外接球21题型10二面角型外接球24Q知识梳理知识点一.正方体长方体的外接球1.长方体的夕球:长方体的同一顶点的三条棱长分别为d,b,c,外接球的半径为R,则ZR=*+dO2 .正方体的外接球

2、：正方体的棱长为。，外接球半径为R,则2。=5O3 .墙角模型(补成长方体)(1)若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直,则可将其放入某个长方体内，如图1所示.(2)若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示.(3)正四面体可以补形为正方体如图3所示，知识点二.直棱柱的外接球（汉堡模型）1 .直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）勾股定理：DEJ2+DEJ2=。仃，则口=2 .计算公式。=J（与气-其中小照知识点三.直棱锥的外接球（侧棱垂直底面的三棱锥）补形成直棱柱I)题设：PA_1.平面ABC第一步：将平面ABC画在小圆面上,A为小圆面直径一端

3、点；作小圆面的直径AD,连接PD,则PD必过球心。；第二步：H为乙4BC的外心，所以0H平面ABC;算出小圆面的半径HD=r,OHWPA;第三步、用勾股定理：R=r2+OH21.当棱锥的侧面垂直与底面垂直时知识点四.切瓜模型2.假设平面ABC，平面BCD,其中n为平面BCD的外接圆半径2为它的垂面ABC的半径,/为两个垂面的交线。结论：=2=+-2知识点四正棱推和普通的棱推外接球题设：P的投影落在ABC的外心上第一步:确定球心O的位置,取MBC的外心H,则P,O,H三点共线；第二步:算出小圆面半径AH=r,算出棱锥的高PH=h;第三步:勾股定理：OH2+AH2=OA2即：（h-R）2+R=R2

4、,解出R但题型分类题型1墙角模型类型1两两垂直型（特别是四个面都是直角三角形）【方法总结】方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式（2/?）2=/+,即2R=ya2+b2+c2,求出R常见的类型：图4【例题1-1已知三棱锥。一口仔,=4,=5,口=6,侧棱PA,PB,PC两两垂直,则三棱锥-的外接球表面积为.【变式I-In.三麒A-BCD中Q7_1.平面BCDAz712=OO=00=2,则该三棱锥的外接球表面积为（）【变式11】2.在直三棱柱-口中,=DD=2,=22,z=T,则此三棱柱外接球的表面积为（）【变式1-13.九章算术是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早100O多年.在九章

5、算术中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱推称为阳马.如图O-是阳马，桐,=5,=3,=4.则该阳马的外BC【变式1-14.在三棱锥。7。中，OO=OO=4,OO=8,OO=8,OOl口口,口口Y口口,则该三棱锥外接球的表面积为.【变式1-1】5.如图，在边长为2的正方形S。中，口,O分别是7,7。的中点，将DOO111O11,7。侬别沿S,DD1。口ff起，使。，O1OE点重合于点方，则四面体O-型外接球的表面积为（）A.24OB.12Z7C.6Z7D.3Z7【变式1-16.已知长方体。777-Ej1.j1.jB中,DD=3,1111=1fd口与平面7所成角的正弦值为手，则该长方体的外接球

6、的表面积为.D,类型2对棱垂直推理两两垂直【方法总结】特别的：正四面体、正三棱锥对棱相互垂直、四个面全都是直角三角形）【例题1-2如图在正三棱锥D11j.口,会别是棱口。的中点，。为棱。上的一点，且口口=；口口,DD1.口口,巷口口=22,则此正三棱锥。一口口苗外接球的体积为（）A.12OB.等7C.8311D.4311【变式1-21.在正三棱锥S-ABC中，外接球的表面积为3611zM,N分别是SC,BC的中点，且MNAM,则此三棱锥侧棱SA=（）A.1B.2C.3D.23【变式1-22.在正三棱锥7-口口中,DD1.OO1OO=5,则正三棱锥。一口口口外接球的表面积为.【变式1-23.)正

7、三棱锥。一AZJBJ侧棱长为2,3。中点，且口口工口口,则三梭锥。-。仍卜接球的表面积为第三步根据墙角模型类型3对棱相等模型【方法总结】方法：三棱锥(即四面体)中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径(AB=CD,AD=BC,AC=BD)第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；第二步设出长方体的长宽高分别为4瓦C,AD=BC=x,AB=CD=y,AC=BD=Z,列方程组，a2+b2=x2222(ZR)2=a2+b2+c2=X)*.222C+a=z补充：Va-bcd=abcabc4=-abc63【例题1-3四面体。一口口科,口口=OO=5,OO=口口=DO=OD=6,则此四面体外接球的

8、表面积为一.B则三棱锥P-S8U的外接球的表面积为（）A.1211.B.9rrC.2411【变式l-32.如图，在三棱锥。口口田,口口=口口3,则三棱锥。ooa外接球的体积为（ABBA.2Z7B.3Z7C.41.【变式l-33.在三棱锥。一口口咕,口口=口口二，77,则三棱锥。-的外接球的表面积为（A.211.B.1211.C.9ra.BD.29口口=y31口口=口口=2,口口=)7D.60=4,1.J1.J=口口=5,1.J1.J=口口=)D.24n【变式1-3】1在三棱推P-/8C中PA=BC=5口口=DO=y113,DO=00=3/5,题型2直棱柱的外接球（汉堡模型）【方法总结】方法：存

9、在一条棱垂直一个底面（底面是任意多边形，实际是三角形或者四边形（少），它的外接圆半径是乙满足正弦定理）类型1直棱柱的外接球【例题2-1如图，在直三棱柱ABC4中，底面4ABC是以角B为直角的等腰直角三角形，且腰长为2,D为BC的中点，三棱柱体积。=42求三棱柱的外接球的表面积和体积；【变式2-1】1.直三棱柱ABC-A1UG的六个顶点都在球。的球面上，若AB=BC=1,ZABC=120,AA1=2,则球O的表面积为（）A.4rB.8rC.16D.24;T【变式2-1】2在直E幡1口口口-口口口中,4口口口=虱,Da=5,设其外接球的球心为O,已知三棱锥的体积为3,则球O表面积的最小值为.【变式

10、2-13.一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点9都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为W,底面周长为3,则这个球的体积为O【变式2-1】4.若球。是直三棱柱ZJDZJ-的外接球,三棱柱的高和体积都是4,底面是直角三角形，则球。表面积的最小值是.类型2直棱锥的外接球【例题2-2】四棱锥。-ASGJ外接球O的半径为2,平面ABCD,底面ABCD为短形，口口=口口=2,则平面PAD截球O所得的截面面积为（）A.411B.311C.211D.11【变式2-2】1.已知在三棱锥。一DDD,口口1口口口，口口=23,口口=口口=4,OO=2,则三棱锥D-Oz7卜接球的表面积为（

11、）【变式2-2】2.在三棱锥一口口口中,口口1口口,口口=口口=DD=2,DO=4,口口=25,则三棱锥外接球的表面积是（A52OB.竿C.竽D.竽【变式2-23.如图，三棱锥。-底面。的斜二测直观图为ddd,已知。ZJl底面7Z7Z7,DO=5,1111=11EJ,EJD=1111=111.J=1,则三棱锥O-700外接球的体积ZJ=.【变式2-24.在三棱锥。-口口8,底面边长为3的正三角形，侧棱。！底面口口口,若三棱锥的外接球的体积为36。，则该三棱锥的体积为.题型3切瓜模型【方法总结】方法：面面垂直型基本图形一般情况下，俩面是特殊三角形.垂面型，隐藏很深的线面垂直型，【例题3】在三棱锥

12、7-a,平面7，7_1.平面ABCZ77=6工,则该三棱锥外接球的表面积为（）A.5411B.4811C.4211D.3611【变式3-11.在三棱锥P-ABC中，平面PAB_1.平面ABC.。=DO=瓜,土=90I=2,则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为（）A.511B.C.811D.2011P【变式3-12.球O为三棱锥DOQ的外接球,口口曲二是边长为23的正三角形，平面PBCI平面ABC,则球的表面积为（）A.28。B.20。C.18f7D.16Z7【变式3-13.已知四棱锥。-SAZj的每个顶点都在球O的球面上，侧面7。7_1底面口口口口,底面口口口中边长为2的正方形，OO=5,口口

13、=1,则四棱锥。一夕卜接球的体积为.【变式3-14.在三棱锥。一7/7。中，平面口。口工平面口。0l7Z7O口口漪是边长为6的正三角形，则该三棱锥的外接球的体积为.【变式3-15,已知三棱锥口一DDOtOO=口口=口口=23,DD1.DD,平面7。QJ1.平面ABC,则三棱锥的外接球的表面积为.【变式3-1】6.如图，在四棱锥。一口口口袋,钙口口口1口口口口出口口展边长为4的等边三角形，四边形。7。是等腰梯形，70=则四棱锥。一B题型4正棱锥与普通棱锥的外接球方法总结】方法：计算公式和图形:D2=（口_Df+E或者d=（一U）2+r2.【例题4-1】已知正三棱锥的底面边长为3,侧棱长为23,则该棱锥外接球的表面积是（）A.12Z7B.15Z7C.16Z7D.18【变式4-11.已知正三棱锥0-GJ外接球OM半径为1,且满足玩+1111+DD=2则正三棱锥的体积为AWB.4C.咚D.呼4424【变式4-1】2.所有棱长均为2的正四棱锥外接球表面积为（）A.411B.60C.80D.12D【例题4-2若三棱推口-的所有顶点都在球O的球面上,。理边长为3的正三角形，SC为球O的直径，三棱锥体积为苧，则三棱锥Z7-口的卜接球的体积为（）【变式4-2】1.三棱锥，一田,=2,=1,=2,则该三棱锥的外接球的表面积为（）A.