3.1空间向量及其运算-教学设计-教案.docx

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1、教学打算1.教学目标1、学问与技能：理解空间向量基本定理及其意义，驾驭空间向量的正交分解及其坐标表示，会在简洁问题中选用空间三个不共面对量作为基底表示其他向量。2、过程与方法：通过类比、推广等思想方法，启动视察、分析、抽象概括等思维活动，培育学生的思维实力，体会类比、推广的思想方法，对向量加深理解。3、情感、看法与价值观：通过本节课的学习，养成主动主动思索，勇于探究，不断拓展创新的学习习惯和品质。2 .教学重点/难点重点：理解空间向量基本定理及其意义，驾驭空间向量的正交分解及其坐标表示；难点：理解空间向量基本定理；3 .教学用具多媒体设备4 .标签I教学过程教学过程设计(一).复习引入1、共线

2、向量定理：对空间任意两个向量万,5(B0)mb的充要条件是存在实数使万=法推论：如果，为经过已知点儿且平行于已知向量d的直线，那么对任一点O,点尸在直线，上的充要条件是存在实数，满足等式加=)+，商，其中向量而叫做直线，的方向向量2、共面对量定理:如果两个向量万万不共线，产与向量万万共面的充要条件是存在实数Xy使。=城+)3共面向量定理推论：空间一点尸位于平面M四内的充分必要条件是存在有序实数对XJ,使血=W5+y通或对空间任一点O,有丽=而+W5+jJ店上面式叫做平面四的向量表达式3、平面对量基本定理：如果H是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量展有且只有一对实数4，4，

3、使a=4e+4%o()、：叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。)4、平面对量的正交分解：=Xz+7其中；=(1.O),7=(0sl),O=(OsO)(二)、新课探究：探究一.空间向量基本定理1、类比：由平面向量的基本定理，对平面内的任意向量方，均可分解为不共线的两个向量4f和马犷，使2=42+4工如果时，这种分解就是平面向量的正交分解.推广到空间向量，结论会如何呢？2、空间向量基本定理(1)空间向量的正交分解：如果7工支两两垂直,对空间的任意向量入均可分解为不共面的三个向量/、方、ZK使5=3+方+Z之，这种分解就是空间向量的正交分解.(2)空间向量基本定理：如果三个向量乙旅不共面，那么对空

4、间任一向量K存在有序实数组x,z,使得万=xZ+)石+把Z22叫做空间的一个基底(base),Z标都叫做基向量.3、留意：对于基底a,b,c,除了应知道向量a,b,c不共面，还应明确(1)随意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。(2)由于零向量可视为与随意一个非零向量共线，与随意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是零向量。(3)一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。4、应用举例析：学问点一向量基底的推断例1.已知向量a,b,c是空间的一个基底，那么向量a+b,ab,C能构成空间的一个基底吗？为什么？解Vab,ab,C不共面，能

5、构成空间一个基底.假设a+b,ab,C共面，则存在x,y,使c=x(a+b)+y(ab),c=(xy)a+(-y)b.从而由共面对量定理知，c与a,b共面.这与a、b、C不共面冲突.ab,ab,C不共面.【反思感悟】解有关基底的题，关键是正确理解概念，只有空间中三个不共面的向量才能构成空间向量的一个基底.练习1.以下四个命题中正确的是（）A.空间的任何一个向量都可用其它三个向量表示B.若4瓦c为空间向量的一组基底，则瓦C全不是零向量C.ASC为直角三角形的充要条件是万太=OD.任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底解析使用排除法.因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示

6、，故A不正确；A43C为直角三角形并不一定是商就*=0,可能是能戴=0,也可能悬泊游=0,故C不正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故D不正确，被选B.学问点二用基底表示向量例2.已知空间四边形OABC,其对角线为OB,AC,M,N,分别是对边OA,BC的中点，点P,Q是线段MN三等分点，用基向量与，OB,无表示向量OP,00.（学生独立思索，然后讲解，板演解题过程）解：(I)OP=A7P=-3+-23=l0i+r(0y-07)=l04+2(0y-l04)23232=205+2xl(5+oc)=l04+loc)632633(2廊=而+血=+；赤=l4+2(oy-7)=l05+l(v-

7、l)=l0i+lxl(5+oc)=+l5+loc)332366【反思感悟】利用空间的一个基底a,b,c可以表示出全部向量.留意结合图形，敏捷应用三角形法则、平行四边形法则.练习2.空间四边形OABC中，G,H分别是三角形ABC、三角形OBC的重心，设刀=Z砺=上区=A试用向量石1表示向量丽,西解：-0G=OAAGJag=-ADAD=OD-OA3又D为BC的中点，.0D=l(5+0C),.0G=OX+：1.D=OX+3(00-0。=O/4+/1(05+0C)-WOK=j(Q4+03+OO=+b+c而.调=丽一瓦西=:丽=jxg()+)=gg+2),G=l(5+c)-l(a+5c)=-5.OG=；

8、Q+b+c);GH=-；4探究二.空间向量的直角坐标系1.单位正交基底：假如空间一个基底的三个基向量相互垂直，且长度都为1,则这个基底叫做单位正交基底，通常用i,j,k表示.单位三个基向量的长度都为1；正交三个基向量相互垂直.选取空间一点O和一个单位正交基底i,j,k,以点。为原点，分别以i,j,k的方向为正方向建立三条坐标轴：X轴、y轴、Z轴，得到空间直角坐标系0-xyz,3.空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系和向量a,且设i、j、k为坐标向量，则存在唯一的有序实数组，使a=ali+a2j+a3k.练习3.在空间坐标系OryZ中,AB=el-Ie1-3e3（。卜0，力分别是与X轴、N

9、轴、Z轴的正方向相同的单位向量）则刀的坐标为（1,-2,-3）:4、点M（2,-3,-4）在坐标平面XOy、xoz、yoz内的正投影的坐标分别为一Air-3,4）,（2.3,-4）,（-2,-3,-4）,关于原点的对称点为（-2,3,4）,关于X轴的对称点为（2.3,4）,关于y轴的对称点为（-23,4）,关于Z轴的对称点为（-2.3,4）。例3.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB,PC的三等分点且PN=ZMC,AM=IMB9PA=AB=If求通的坐标.解VPA=AB=AD=I,且PA垂直于平面ABCD,ADlAB,，.可设AD=i,2=,AD=j9AP=k.以i,j,k

10、为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系.:诟=AP-PN2一2=一本4一小亨C=一押一养+|(_叁+石+商)二丽=d，o,g.2.k丞一产，【反思感悟】空间直角坐标系的建立必需寻求三条两两垂直的直线.在空间体中不具备此条件时，建系后要留意坐标轴与空间体中相关直线的夹角.练习4.在直三棱柱ABOA】BQl中，ZAOB=gAO=4,B0=2,AA1=4,D为AIBl的中点，以OA、OB、OOl所在直线为X轴、y轴、Z轴建立空间直角坐标系，求DO.AB的坐标.解:DO=-OD=-(fi+0；=400+(4+05)=-0-i03-05又画:4,OA=4,IaI=4,0B=2f=(-2,-1,-4)

11、,.5=(-4,2,-4).课堂小结1、师生共同回忆本节的学习内容:(1)、空间向量的正交分解；(2)、空间向量基本定理；(3)、空间向量直角坐标系;强调以下两个留意点：2 .空间的一个基底是空间随意三个不共面的向量，空间的基底可以有无穷多个.一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量组，一个基向量指一个基底的某一个向量.3 .对于基底a,b,c除了应知道a,b,C不共面，还应明确：（1）空间随意三个不共面对量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定以后，空间的全部向量均可由基底惟一表示.（2）由于O可视为与随意一个非零向量共线，与随意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是0.

12、I课后习题当堂检测1 .设U+43=B+H=Z+1且ZH是空间的一个基底，给出下列向量组：（工瓦（2）jj）Ma区还+石+。,其中可以作为空间的基底的向量组有（C）（八）I个（B）2个（C）3个（D）4个2 .已知三棱锥A-BCD,（1）化简1（商+衣-石）并标出化简结果的向量；2（2）设G为三角形BCD的重心，试用商,衣,亦表示向量石.解析：(1)g(冠+就-罚)=丽(2)彩=；(益+就+力).作业：请同学们独立完成配套课后练习题。I板书空间向量的正交分解及其坐标表示U学习目标+探究点。典例分析“小结：空间向里的正交分解例M例2-作业空间向里基本定理：，例3,空间向里直角坐标系：，学生练习一当堂检测反馈，