大题06圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）（精选30题）（教师解析版）.docx

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1、黄金冲刺大题06圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）（精选30题）1. （2024山东二模）已知椭圆的焦点分别是用6,0）,巴卜6,0）,点M在椭圆上，且|叫|+四段=4.（1）求椭圆的标准方程；若直线y=区+与椭圆交于AB两点，且求实数A的值.2【答案】（D+y2=h4（2）述或一述.22【分析】（1）根据所给条件求出db，即可得出椭圆标准方程;（2）联立宜线与椭圆方程，根据根与系数的关系及列出方程求Z即可.【详解】（1）设椭圆的标准方程为E+=l（qb0）.CrbC=G=2,由题意可知2。=4,解得2联立方程产,消去九+y2=l4-得（1+4公卜2+80丘+4=0,从而乂必=（处+0）（乜+应

2、）=攵2%玉+岳（+w）+2=,因为OAj=gpx1x2+y1y2=0,rrl42-4/6-4公用以r+7=T=O,1+4公1+421+4公解得Jt=远或一如，22经验证知A0,所以2的值为诬或一直.222. （2024江苏南通模拟预测）在平面直角坐标系g中，设椭圆0。+营=130）的离心率为卓F1,马分别是椭圆的左、右焦点，过B作两条互相垂直的直线4,4,直线4与C交于A,B两点,直线4与C交于O,E两点，且.AKB的周长是4+21.（1）求椭圆C的方程；当|4卸二京。|时，求二Oz）上的面积.【答案】+尸=14芈3【分析】（1）由椭圆离心率和焦点三角形的周长，列方程组求出db,得椭圆C的方

3、程；（2）设直线卜4的方程，以椭圆联W,利用韦达定理和AB=1E求出OE和4的方程，再求出0到直线4的距离，可求.ODE的面积.2a+2c=4+2y3【详解】（1）由题意知，=一，解得=2,b=l,c=1.a2b2=a2-C2所以椭圆C的方程为工+丁=1；4（2）若直线4的斜率不存在，则直线4的斜率为0,不满足IAM=直线4的的斜率为0,则A小鸟三点共线，不合题意,所以直线1的斜率存在且不为0,设直线/,的方程为=my+6,n设Aa,%),3(工2，%)，则y+必=一一NM=一-F-+1+144.=i+w2(y1+y2)2-4yly2=l+n2.=4d同理可得IDEI=4(w2+)1+4,zr

4、,AB=-DE,得室*=1.密*解得则阳咚直线I2的方程为y=2(x-3),坐标原点O到直线4的距离为d=半=应，Sode=-42=-.73233即。DE的面积的面枳为里.3【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去M或y）建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.3. （2024河北邯郸二模）已知椭圆C的中心为坐标原点，对称轴为X轴

5、、轴，且过M（2,0）,Z点.(1)求C的方程.(2)A8是C上两个动点，。为。的上顶点，是否存在以。为顶点，AA为底边的等腰直角三角形？若存在,求出满足条件的三角形的个数；若不存在，请说明理由.【答案】(1)二+V=I4(2)存在,3个4m=1【分析】(1)设椭圆C的方程为，/+炉=i(mo,O,m),根据条件得到J3,，即可求出结果；m+-n=4(2)设直线OA为y=履+1,直线。8为y=-!”+1,当Z=I时，由椭圆的对称性知满足题意；当时，联立方线与椭圆方程，求出AB的坐标，进而求出AB中垂线方程，根据条件中垂线自经过点以0,1),从而将问题转化成方程小-7f+=o解的个数，即可解决问

6、题.【详解】(1)由题设椭圆C的方程为m2+y2=i(mo,”o,m),因为椭圆过M(2,0),N两点,4m=12所以彳3J得到m=7=l,所以椭圆C的方程为二+/=1n+-n=444(2)由(1)知50,1),易知宜线OAOB的斜率均存在且不为0,不妨设即八=左伏0)，1.=-；，直线。A为N=+1,直线08为y=-4+l,由椭圆的对称性知，当Z=I时，显然有IM=I。用，满足题意,y=履+1当解Wl时，由,消y得到J+*+2=o,+V-=I44所以巧I=-Sk1+4公8公l-4k2h114z8k1一4公yA=7+1=,即A(,-),1+451+4/1+4/1+4公(k2-4)(1+4&2)

7、-(F+4)(1-4/)#.1弘。+4公+公+4)Sk公一4F同理可得双目,分)，所以心8二餐4萨K+4K+48kIM/+41+4公8-8k,1-4/&2-4设AB中点坐标为(，为)，则X1+4/+公+4.12%伏2-1),=1+4/+4=T5公2(2+4)(1+4Z:2)九一2一(公+4)(1+4/).u/h-md15225kz2k(k2-)、所以A8中垂线方程为尸三函E=-FTT(X-诉Ey),要使一A/M为AB为底边的等腰也角三角形，则直AB中垂线方程过点(O,D,1525k.2k(k2-).mz=7-1d,所以1+m由E=E(F不E3整理得到&-7炉+1=。，令”公，则产-7z+l=0

8、,A=49-40,所以f有两根八%J,+2=70,=10,即产一7/+1=0有两个正根，故有2个不同的42值，满足/-7f+=o,所以由椭圆的对称性知，当*Hl时，还存在2个符合题意的三角形，综上所述，存在以。为顶点，为底边的等腰百角三角形，满足条件的三角形的个数有3个.【,点睛】关键点点睛：本题的关键在于第(2)问，通过设出宜线DA为N=履+1,口线OB为y=-+1,k联立椭圆方程求出AB坐标,进而求出真线AB的中垂线方程，将问题转化成真线AB的中垂线经过点。(0,1),再转化成关于A的方程的解的问题.4.(2024广东广州模拟预测)已知椭圆C5+g=l(0b/I),右顶点为E,上、下顶点分

9、别为4出,G是3的中点，且EBlGB2=1.(1)求椭圆C的方程；设过点。(-4,0)的直线/交椭圆C于点M,N,点A(-2,T),直线虹附分别交直线X=Y于点尸,。，求证：线段PQ的中点为定点.【答案】上+汇=182(2)证明见解析【分析】(1)通过椭圆的性质和中点的坐标，然后根据向量的数量积得到等量关系即可求出椭圆的标准方程;(2)设出自线/的方程并与椭圆方程联立，化简叮出根与系数的关系，求得点P,。的坐标，进而证得线段PQ的中点为定点.【详解】(1)由题可得/=8,E(解),4(0力),4(0,),七四的中点为G第)miZ(a3b)a23b2.2EB1=(-a,b),=,.b=2,I22

10、J22故椭圆C的方程为+亡=1;82(2)依题意可知直线/的斜率存在，设宜线/的方程为y=A(+4),y=Ar(x+4)由，炉y2消去了并化简得(1+4/)/+32公+64&2-8=0,+-=18264V-8+4k2由A=lO2444-40+4k2)(64公-8)0,得左？：,一；左g.设M(XN(XN,%)，贝j+=-=1十rK依题意可知直线MANA的斜率存在,直线ma的方程为j+1=Wla+2),xM+1.-XM-4-22屈+4)-XM-4%+2+2_(-2-l)xw-8-4_(-2-1)(xm+2)-4-2_4A+2=Zac-1,%+2xm+2xm+2，就+2同理可求得y0=-21.-=

11、7,XjV+Za.C44+242+2/7c/cJ11/.Vp+yn=-4-2=-4k-2-(4k+2)如+2+24知+2xn+2J=-4Ar-2-(4+2)0：/+4_+2(+)+4“23E1+4公32k2I1+4%=4-2+(4k+2)=0,+4.线段PQ的中点为定点(T,O)【点睛】方法点睛：对于直线和圆锥曲线相交的问题，我们一般将直线和圆锥曲线联立，利用韦达定理带入计算求解.5.(2024辽宁二模)平面直角坐标系XOy中，面积为9的正方形ABCD的顶点A8分别在K轴和轴上滑动，且OP=gA+*8,记动点P的轨迹为曲线求的方程；(2)过点E(4,l)的动直线/与曲线交于不同的两点M,N时，

12、在线段MN上取点。，满足IEMHQNI=IQMl区V.试探究点。是否在某条定直线上？若是，求出定直线方程；若不是，说明理由.【答案】工+工=143(2)点。在定直线上，定宜线方程为3x+y-3=O3【分析】(1)设点P,AB的坐标，利用平面向量的坐标表示消参得X=X2,结合正方形面积得的方程;%=5(2)设，：y=H+l-4A,Q,M,N的坐标，与椭网联立并根据韦达定理得M,N横坐标关系，再根据线段乘积关系化为比值关系得M=言，化简得X1.筌,代入直线方程即可先，从而求出定直线方程.【详解】(1)设P(XM,A(%0),8(0,%),由00=：04+*03=：(%0,0)+*(0,%)=(,及

13、,先)，所以3=2xy0=y因为正方形ABCO的面积为A82=9,即+$=9,所以幻?+(退y=9,整理可得?+(2FGy=yo因此C的轨迹方程为%?1.(2)依题意，直线/存在斜率，设/：y-=k(x-4)t即y=Ax+l-4A,设点Q(M,%)，M(%,yJ,N(x2,%)(%0,可以得到立我女之我,66所以女工一3,rza8Ar(l-4)4(1一4幻2一时可得i=Fh中2=3+一由IEMlQV=QMEN,得瑞瑞,可得4($+%)-2工也8-(x1+x2)4版(14-3+42-24(1一44)2-12-3+4公8%(1-4幻3+422_-32攵(1-42)-8(1-的+24-32Z+128r-12弘:644-8+2424+32公+8女一24公16+32A2+4A24+8/-3+A