专题05 二次函数（5大易错点分析）（解析版）.docx

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1、专题05二次函数易错点一：二次函数的表达式一、二次函数的三种表达式名称通式适用范围一般式y=ax2+bx+c(0)当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时，常用一般式求其表达式顶点式y=a(x-m)2+k(0)其中，抛物线顶点坐标（m,k）；当已知抛物线的顶点坐标（或者是对称轴）时，常用顶点式求其表达式交点式y=a(X-XI)(X-X2)(。0)其中，（x,0）（及，0）是抛物线与“轴的两个交点坐标，故知道抛物线与X轴两交点坐标时,常用交点式求其表达式二、二次函数的平移步骤转化成顶点式，“左加右减（X）,上加下减（y）”；易错提醒：二次函数的一般式转化为顶点式时，可以利用顶点的公式转化，也可以用

2、配方法转化，但是配方法提二次项系数时，一般只提前两项，并且不要忘记配平；二次函数的平移与一次函数的平移规律一样,但是二次函数平移需要先把一般式转化成顶点式，然后再根据平移规律平移；例1.（2023秋新昌县期末）将抛物线y=2x2-3x+2通过以下平移能得到抛物线y=2x2-3x+4的是（）A.向左平移2个单位长度B.向右平移2个单位长度C.向上平移2个单位长度D.向下平移2个单位长度【分析】根据“上加下减”的原则进行解答即可.【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=2-3x+2向上平移2个单位，能得到的抛物线是y=2-3x+2+2,即y=2-3x+4.故选：C.例2.（2022秋娄底

3、期末）将二次函数y=-2x+3配方为y=（x-）的形式为（）A.y=（X-I）2+lB.y=（X-I）2+2C.y=（x-2）2-3D.），=（-2）2-1【分析】根据配方法求解可得.【解答】解：y=f-2x+3=j?-2x+l+2=（X-I）2+2,故选：B.例3.（2022秋路南区期中）已知二次函数y=2x2+4-6,（1）将二次函数的解析式化为y=（-）2+2的形式.（2）写出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标.【分析】（1）用配方法可将抛物线一般式转化为顶点式；0,则二次函数图象的开口方向向上.对称轴是直线X=-1、顶点坐标是（1,-8）.例4.（2022秋越城区期末）如图，在平

4、面直角坐标系XOy中，二次函数y=2+bx+c的图象与K轴，y轴的交点分别为（1,0）和（0,-3）.(1)求此二次函数的表达式；(2)结合函数图象，直接写出当y-3时，X的取值范围.【分析】(1)把(1,0)和(0,-3)代入y=+bx+c得到关于仄C的方程组，然后解方程组即可得到抛物线解析式；(2)利用抛物线的对称性得到点(0,-3)关于直线X=-1的对称点的坐标为(2,-3),然后利用函数图象写出函数值大于-3对应的自变量的范围即可.【解答】解：(1)Y抛物线y=x2+bx+c与X轴、了轴的交点分别为(I,0)和(0,-3).J1+b+c=,解得：(b=2Ic=-3Ic=-3，抛物线的表

5、达式为：y=x2+2x-3.(2)当y3时，X的取值范围是xV-2或x0.变式1.(2023秋安次区期末)将抛物线y=3x2-2向左平移2个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的解析式是()A.y=3(x+2)2+4B.y=3(x+4)2C.y=3(x+2)2+2D.)，=3(X-2)2-6【分析】根据抛物线向左平移加，向上平移加，可得答案.【解答】解：将抛物线y=3x2-2向左平移2个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的解析式是y=3(x+2)2-2+4,即y=3(x+2)2+2.故选：C.变式2.(2023秋江干区校级期中)将y=Zr2-IZr-12变为y=(-m)?+的形式y=2(X-

6、3)2-30.顶点坐标是(3,-30).【分析】利用配方法把二次函数一般式化为顶点式，并写出顶点坐标.【解答】解：y=2x2-2x-12=2-6x+9)-18-12=2(-3)2-30,顶点坐标为(3,-30),故答案为：y=2(-3)2-30,(3,-30).变式3.(2023秋萧山区月考)请将二次函数y=-2x2+8-6化为y=(-n)2+k的形式，并给出一种平移方式，使平移后的图象过原点.【分析】根据配方法把抛物线解析式化为顶点式即可；再根据抛物线与y轴的交点坐标为(0,-6)将抛物线向上平移6个单位即过原点.【解答】解：y=-28x-6=-2(2-4x)-6=-2(x2-4x+4-4)

7、-6=-2(X-2)2+2,即y=-2(X2)2+2,令X=0,则y=-6,，抛物线与)，轴的交点(0,-6),把y=-2Q-2)2+2向上平移6个单位后经过原点(答案不唯一).1. (2023秋平湖市期末)将二次函数y=x2-2-3的图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的二次函数y的图象，则函数尹的表达式是()A.y=X2-6B.y=X2-2C.y=x2-4x-2D.y=x2-4x+2【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移法则即可解决问题.【解答】解：由题知，y=x2-2x-3=(x-I)2-4,由题中所给的平移可知，y1=(-l-l)2-4+2=(x-2)2-2=x2-4x+

8、2.故选：D.2. (2022秋温州期末)若i物线y=x2-6x+c的顶点在X轴，则C=9.【分析】顶点在X轴上，根据顶点的纵坐标是0,列出方程求解.【解答】解：根据题意，顶点在X轴上，顶点纵坐标为0,即毁=0,解得c=9.41U3. (2023秋嘉兴期末)如图，在平面直角坐标系中，抛物线)=以2+bx+3交y轴于点A,且过点B(-1,2),C(3,0).(1)求抛物线的函数解析式；(2)将抛物线向左平移?(加0)个单位，当抛物线经过点8时，求小的值：(3)若尸是抛物线上位于第一象限内的一点，且SzM8C=2Saacp,求点P的坐标.【分析】(1)用待定系数法求函数解析式即可；(2)由(1)解

9、析式求出对称轴，再求出点8关于对称轴的对称点8,求出8夕的长度即可：(3)先求出直线AC的解析式，再过点8作8_1.y轴交AC于点D,求出点。的坐标，过点P作尸E1.r轴交AC于点E,设点/j(x,-A?+Ax+3),则Ea,-+3),22求出尸E的长度，求出AABC的面积，再根据SaA5C=2Sacp,求出AACP的面积,然后得出关于X的方程，解方程求出I的值即可.【解答】解：(1)把8(-I,2),C(3,0)代入y=r2+加+3,则(9a+3b+3=0Ia-b+3=21F解得,吨抛物线的函数解析式为y=-尹+/计3；(2)Vy=-Ir+A+3,22 对称轴为直线X=-士-=工，2a2令8

10、点关于对称轴的对称点为8,:B(2,2),BB=3, 抛物线向左平移加(m0)个单位经过点8, w=3；(3)设直线AC的解析式为y=依+，把A(0,3),C(3,0)代入y=U+得：In=3,l=3k+n解得Ik=-1,ln=3直线AC的解析式为y=-x+3,过点6作Bf1.1.y轴交AC于点。，如图:则点D的纵坐标为2,把y=2代入y=-+3得，-%+3=2,解得X=I,：.D(1,2),BD=2,Sabc=Smbd+Sbcd=1-lD+AI-BD=1+2=3,22过点P作PE1.x轴交AC于点E,设点尸(JG-A2+-1.y+3),则E(JG-+3),22.*.PE=-Ar+3-(-+3

11、)=-Xv2+.?.V,2222,.,SaABC=2sMeP=3,Scp=-，2VScp=A3PE=22PE=1,令-A2+,=,22解得x=l或2,，当X=I时，y=-A+-1.3=3;22当x=2时，y=-A4A2+3=2,22：.P(1,3)或(2,2).易错点二：二次函数图象的性质一、二次函数的增减性：抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说y随X的增大而增大（或减小）是不对的，必须在一定的自变量X取值范围内讨论抛物线的增减性;二、二次函数的最值：对于二次函数y=办2+/+C,当时，抛物线有最低点，函数有最小值，即4acb?为抛物线顶点坐标的纵坐标；当0时，抛物线有

12、最高点，函数有最大值,4a4cc-b即为抛物线顶点坐标的纵坐标；4a三、二次函数图形与系数的关系：二次函数丁=奴2+/+C中，a决定抛物线的开口方向，b与a一起确定抛物线的对称轴，c决定抛物线与y轴的交点。易错提醒：平面直角坐标系内两图象的存在性问题，一般先假设简单函数图象成立，再验证复杂函数是否成立，利用排除法，得到最后答案。_/例1.（2023秋九原区期末）抛物线y=-2-2）2-5的顶点坐标是（）A.（-2,5）B.（2,5）C.（-2,-5）D.（2,-5）【分析】根据二次函数性质，由顶点式宜接写出顶点坐标即可.【解答】解：因为抛物线y=-2-2）2-5,所以抛物线y=-2（-2）2-

13、5的顶点坐标是（2,-5）.故选：D.例2.（2023秋黔南州期末）在同一平面直角坐标系中，函数y=r+和y=-r2+2x+2（是常数，且0）的图象可能是（）Olx-xVpy-JC.ID.N【分析】可先根据一次函数的图象判断的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误.【解答】解：A、由一次函数y=0v+的图象可得：V0,此时二次函数y=-r2+2x+l的图象应该开口向上，对称轴x=-_2_V0,故选项错误；-2aB、由一次函数y=r+的图象可得：a0,此时二次函数y=-+2l的图象应该开口向下，故选项错误：D、由一次函数y=0x+的图象可得：a0,此时二次函数y=/+2x+l的图象应该开口向上，故选项错误.故选：B.例3.（2023秋平湖市期末）定义mb,c为函数y=0r2+公+c的特征数，下面给出的特征数为2?，1-?，-1-?时，关于函数的一些结论，其中不正确的是（）A.当?=-3时，函数的最大值为其3B.当m=-3时，函数图象的顶点到直线y=-1的距离为El3c.函数图象恒过两个定点（1,0）和（二，3）、22,D.当7V0时，函数在XV工时，y随X的增大而增大4【分析】A、把1=-3代入2，1w,-1-m,求得,b,c,求得解析式，化成顶点式解答即可；B、利用平行线的性质求得直线y=x-1与过顶点平行直线y=x-1的直线与），轴的交