专题05 含参函数的单调性讨论(解析版).docx

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1、专题05含参函数的单调性讨论【方法总结】分类讨论思想研究函数的单调性讨论含参函数的单调性，其本质就是讨论导函数符号的变化情况，所以讨论的关键是抓住导函数解析式中的符号变化部分，即导数的主要部分，简称导主.讨论时要考虑参数所在的位置及参数取值对导函数符号的影响，一般来说需要进行四个层次的分类：(1)最高次塞的系数是否为0,即“是不是”；(2)导函数是否有变号零点，即“有没有”；(3)导函数的变号零点是否在函数定义域或指定区间内，即“在不在”；(4)导函数的变号零点之间的大小关系，即“大不大”.牢记：十二字方针“是不是，有没有，在不在，大不大”.考点一导主一次型【例题选讲】例1已知函数7(x)=-

2、Hnx(ER),讨论函数人工)的单调性.解析At)的定义域为(0,+8),/(x)=l-三=二3，令/(x)=0,得x=”,当好0时，/(x)X)在(0,+o0)上恒成立，J(x)在(0,+8)上单调递增，当X)时，x(0,)时，/(x)0,综上，当0时，人劝在(0,+8)上单调递增，当a0时，/)在(0,)上单调递减，在(,+上单调递增.【对点训练】1.已知函数/(x)=HnXar3(RR).讨论函数/(X)的单调性.1)1 .解析函数凡。的定义域为(0,+oo),且/(X)=-,令/(x)=0,得x=l,当40时，/)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减；当。0),当0时，/(

3、X)=：-a0,即函数段)在(0,+)上单调递增.I1(XXI当40时，令/(x)=q-Q=-1.=O,可得X=*,1-QX1(XX当(XXq时，/=0；当心7时，/(%)=一0时，於)在(0,上单调递增，在6+上单调递减.考点二导主二次型【方法总结】此类问题中，导数的解析式通过化简变形后，通常可以转化为一个二次函数的含参问题.对于二次三项式含参问题，有如下处理思路：(1)首先需要考虑二次项系数是否含有参数.如果二次项系数有参数，就按二次项系数为零、为正、为负进行讨论；(2)其次考虑二次三项式能否因式分解，如果二次三项式能因式分解，这表明存在零点，只需讨论零点是否在定义域内，如果由，及都在定义

4、域内，则讨论个零点用，及的大小；如果二次三项式不能因式分解，这表明不一定存在零点，需讨论判别式J0和/X)分类讨论；【例题选讲】命题点1是不是+有没有+在不在例2(2021全国乙节选)已知函数i(x)=jx2+r+l.讨论区)的单调性.解析由题意知y的定义域为R，f(x)=3x2-2x+af对于)=0,J=(-2)2-43a=4(l-3a).当W时，/(x)0,AX)在R上单调递增；当O,则Xal或XM；令Fa)0,则XX)在(0,+口)上单调递减.当42时，令/=。，得X=睡三或X=若三.当x(,+J时，/(x)VO；当三,时，)o.所以/W在(o,七坐三)，(妇普三，+j上单调递臧，在尸尹

5、，书三)上单调递增.综合可知，当a2时，危)在(,。一干一4),g零三，+j上单调递减，在(纥哮三，妇哗可上单调递增.例4设函数r)=HnX+皆1,其中。为常数.讨论函数Ar)的单调性.上1.皿”“f、,a12OX2+(2+2)x+解析函数/W的正乂域为(o，+)=-+u.+2=石方当生O时，/(x)0,函数%)在(0,+8)上单调递增.当VO时，令g(x)=+(2+2)x+,由于/=(2+2)2-4=4(2+1).1-1F(1)当。=-5时，/=0,Jf(X)=My+)2a，函数y在9,+8)上单调递减.(2)当。一：时，J0,g(x)VO,/(X)V0,函数外)在(O,+oo)上单调递减.

6、(3)当一T0.设Xi,X2(xV%2)是函数g()的两个零点，rl._(+l)+*2+(+l)-y2a+1则为=0=ct,4+1-2+12+2a+1-2+l由XI=0,所以aaxe(0,Xl)时，g(x)V0,/(x)O,0,函数段)单调递增；X(X2,+),g()V0,/()V0,函数/U)单调递减.综上可得：当0时，函数y在(O,+8)上单调递增；当好一：时，函数TW在(O,+8)上单调递减;当一TVaVo时，段)在(0,(二12声亘，+j上单调递减，在(3+l)+24+1-(+l)-2+l1单调递增a,a)【对点训练】3.(2020全国HI节选)已知函数兀O=X3丘+A2.讨论大彳)的

7、单调性.3 .解析由题意，得了(x)=3x2-K当长0时，/(x)K)恒成立，所以Kr)在(-8,+8)上单调递增；当Qo时，令/(x)=0,得x=专,令/(x)V0,得一JVxVJ?令/(x)O,得XVJ?或vy?所以凡T)在(一稽，、份上单调递减，在(-8,一、/1)，(、/!，+J上单调递增.24 .已知函数Kl)=K+1Hn%,a0.讨论Ar)的单调性.5 .解析由题意知，段)的定义域是(0,+8),导函数/(x)=l+二”设g(x)=2-r+2,二次方程g(x)=0的判别式/=。28.当/0,即00.此时兀0是(0,+)上的单调递增函数.当/=0,即=25时，仅对x=5有/(x)=0

8、,对其余的Qo都有/(x)0.此时Ar)是(0,+8)上的单调递增函数.当心0,即a25时，方程g(x)=O有两个不同的实根内=纥普三，X2=y,OaR2,x(0,M)时，/(-)0,函数兀0单调递增；x三(x,及)时，/()V0,函数KX)单调递减；X(X2,+8)时，/()0,函数7U)单调递增.此时大幻在(0,纥哗三)上单调递增，在卢斗三，里等三)上单调递减，在件里三，OO上单调递增.6 .己知函数凡V)=(I+加修-1，当40时，讨论函数Kr)的单调性.5.解析由题易得f(x)=(cr+20rl)er,当a=0时，/(x)=et0,此时KX)在R上单调递增.当a0时，方程r+2ar+l

9、=0的判别式/=4-44.当0Vl时，J0,加+20r+l0恒成立，所以/(x)0,此时/(x)在R上单调递增；当时，令，(X)=0,解得汨=12=-+yi-x(-,Xl)时，/(x)o,函数y(x)单调递增；X(X,及)时,/(x)0,函数Ar)单调递增.所以兀O在（一co,-1y1-9和（-1+*j1-5综上，当03l时,凡1)在R上单调递增；当时在上单调递增，在上单调递减.-1+命题点2是不是+在不在+大不大例5已知函数代T)=InX+加一(2+l)x.若0,试讨论函数7(%)的单调性E、r、12ax1-(2a-l)x1(2a-l)(x-1)解析因为y(x)=lnx+ar(24+l)x,

10、所以/(X)=.由题意知函数火人)的定义域为(0,),令/(x)=0得X=I或X=/,若土1,即斗由得QI或04，由/(x)。得/Wl即函数Kr)在(0,/(1,+8)上单调递增，在彷，1)上单调递减；若方1，即00得x五或O1，由/(x)0得14%，即函数KO在(0,1),恁，+8)上单调递增，在(1,金)上单调递减；若=1.即则在(，+8)上恒有/(X)O,即函数段)在(0,+8)上单调递增.综上可得，当OqT时，函数TW在(。，/)上单调递增，在CI)上单调递减，在(1,+8)上单调递增.例6已知函数4x)=fe公一1(。是常数)，求函数y=(x)的单调区间.解析根据题意可得，当。=0时

11、，yu)=2-,函数在(0,+oo)上单调递增，在(一8,0)上单调递减.当和时，f(x)=2xev+(-a)ear=ear(ajr+2x).2因为屋0,所以令g(x)=x2+2x=0,解得X=O或X=,.(1)当0时，函数g(x)=4f+2在(-8,0)和弓，+s)上有g()O,即/(x)0,函数y=7(x)单调递减;函数g(x)=r2+Zr在,皆上有g(x)O,即/(x)0,函数y=r)单调递增.(2)当O,即/(x)0,函数y=r)单调递2增；函数g(x)=-G2+Zt在%,0)上有g(x)O,即/(x)0,函数y=y(x)单调递减.综上所述，当=0时，函数y=(x)的单调递增区间为(O,+),单调递减区间为(一8,0)；当AO时，函数y=(x)的单调递减区间为(一8,0),+oo),单调递增区间为,J;当1时，凡。在(0,J)上单调递减，在七，1)上单调递增，在(1,+oo)上单调递减.例8已知函数次X)=Hn(X+1)ar2,讨论“K)在定义域上的单调性.-M+竽)解析型尸-of=