21 相似模型之梅涅劳斯(定理)模型与塞瓦(定理)模型(教师版).docx
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1、21相似模型之梅涅劳斯(定理)模型与塞瓦(定理)模型梅内劳斯(Meneiaus,公元98年左右),是希腊数学家兼天文学家,梅涅劳斯定理是平面几何中的一个重要定理。梅涅劳斯(定理)模型;如图1,如果一条直线与4BC的三边A8、BC、CA或其延长线交于尸、D、E点,那么会黑弓二1.这条直线叫48C的梅氏线,AABC叫梅氏三角形梅涅劳斯定理的逆定理:如图I,若F、D、E分别是4BC的三边A8、BC、CA或其延长线的三点,如果则R。、七三点共线.塞瓦(GGO1647-1734)是意大利数学家兼水利工程师.他在1678年发表了一个著名的定理,后世以他的名字来命名,叫做塞瓦定理。塞瓦(定理)模型:塞瓦定理
2、是指在AABC内任取一点G,延长AG、BG、CG分别交对边于。、E、F,JtrlCEllFBDCE4如图2,则而.而嬴=1。注意:梅涅劳斯(定理)与塞瓦(定理)区别是塞瓦定理的特征是三线共点,而梅涅劳斯定理的特征是三点共线;我们用梅涅劳斯(定理)与塞瓦(定理)解决的大部分问题,也添加辅助线后用平行线分线段成比例和相似来解决。例1.(2023.浙江九年级期中)如图,在AABC中,Ao为中线,过点C任作一直线交48于点F,交Ao于点、E,求证:AE.ED=2AF.FB.【解析】,直线人”是AABD的梅氏线,.AEDCBF1,=1EDBCFADC1AEBFlltlAE2AF而=-,.=1,即=.BC
3、2ED2FAEDBF【点睛】这道题也是梅氏定理的直接应用,但是对于梅氏定理的应用的难点,在于找梅氏线.例2.(2023.重庆九年级月考)如图,在AABC中,NACB=90o,4C=BC.AM为BC边上的中线,CD1AM于点D,C。的延长线交A8于点E求常【解析】:HR:是的梅氏线,由题设,在Rt4MC中,CD1AM,AC=2CM,由射影定理盥=孚4丝=黑=4.对448M和截线EOa由梅涅劳斯定理,DMDMAMCM2普2AEBCMD,u,1AE21EBCMDAEB14【点睛】这道题也是梅氏定理的直接应用,但是对于梅氏定理的应用的难点,在于找梅氏线.例3.(2023.湖北九年级期中)如图,点、E分
4、别在A4BC的边AC、AB上,AE=EB,=gBD与CE交十点F,SXABC=40.求SAEFD.【解析】对“和截线BF。,由梅氏定理得:1*1.IyrDC即蓝=1.噌=(Sabfe=;Sa8EC=ESM8cAEFD=S&aBDSABEF=ODsMBC=非4。=11.【点睛】这道题主要考查梅氏定理和面积问题.例4.(2023.江苏九年级月考)已知AO是AABC的高,点。在线段BC上,且8D=3,CD=1,作。EIAB于点E,DFj1.Ae于点、F,连接M并延长,交BC的延长线于点G,求CG.【解析】如图,设CG=x,MG是ARBC的梅氏线则由梅涅劳斯定理雷低嗡=1.显然崎鸣谓=缁于是产=】,得
5、T【点睛】这道题主要考查梅内劳斯定理和射影模型的综合.例5.(2023.广东九年级专项训练)如图,在a48C中,4的外角平分线与边8C的延长线交于点P,的平分线与边CA交于点Q,NC的平分线与边A8交于点R,求证:P、Q、R三点共线.【解析】”是/R4C的外角平分线,则2=等BQ是48C的平分线,则盖=%CR是2CB的平分线,则黑=等X酬空.丝.竺=丝.些卫=1,PCQARBCAABBC因K在44上,Q在CA上,户在8C的延长线上,则根据梅涅劳斯定理的逆定理得:A。、K三点共线.【点睛】这道题主要考查梅氏定理和角平分线定理的综合应用.例6.(2023上广东深圳九年级校联考期中)梅涅劳斯(Men
6、aaUC是古希腊数学家,他首先证明了梅涅劳斯定理,定理的内容是:如图1,如果一条直线与AABC的三边A8,8C,&4或它们的延长线交于尸、D、E三点,那么一定畸喘嗤=1.下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程:证明:如图2,过点A作TlGIl8C,交加的延长线于点G,则有警=煞生=会FBBD4AG*AGFBDF,AAGESACDE,FBBDCEDCEAAGBDCDDCAG请用上述定理的证明方法解决以下问题:(1)如图3,C三边CB,AB,AC的延长线分别交直线!于XZZ三点,证明:等CZAYZAYB1.请用上述定理的证明方法或结论解决以下问题:(2)如图4,等边力BC的边长为3,点
7、。为BC的中点,点产在48上,且8户=2AC/与40交于点E,试求AE的长.(3)如图5,A48C的面积为4,尸为AB中点,延长BC至。,使CD=BC,连接F。交Ae于E,求四边形BCEF的面积.【答案】(1)详见解析;(2)4E=jg;(3);43【分析】过点C作CV屹交于点N,根据平行线分线段成比例定理列出比例,化简计算即可二(2)根据定理,勾股定理,等边三角形的性质解答即可.(3)根据定理,计算比值,后解答即可.【详解】(1)证明:如图,过点C作v立交Ay于点N,m,lBXBYCZYN4,BXCZAYBYYNAY,IJII=故-=1XCYNZAAYXCZAYBYNAYYB(2)解:如图,
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